概率论与数理统计--- 边缘分布

1、1,小结,联合 分布 函数,离散型 连续型, 联合分布列 联合概率密度,X 与Y 的联合分布,2,解,3,1.均匀分布,定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度,则称( X , Y )在 D 上服从均匀分布.,四、两个常用的分布,(X,Y)落在D中某一区域A内的概率P(X,Y)A,与A的面积成正比而与A的位置和形状无关.,4,解:,例2,设(X,Y)服从圆域 x2+y24上的均匀分布. 计算P(X,Y)A, 这里A是图中阴影部分的区域,圆域x2+y24的面积d=4 区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域

2、x2+y24之内,面积=0.5 P(X,Y)A=0.5/4=1/8,5,2.二维正态分布,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,6,3.2 边缘分布,联合分布F(X,Y),二维联合分布F(X,Y)全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.,问题：二者之间有什么关系吗?,分别称为(X,Y) 关于X和Y的 边缘分布函数,但作为一维随机变量, X, Y 也有自己的分布函数.,由联合分布可以确定边缘分布,由边缘分布一般不能确定联合分布,反之?,转化为一维时的情形,7,解 (X,Y)关于X的边缘分布函数,二、二维离散型随机变量的边缘分布,二维离散型随机变量(X,Y)的分布律 为: P

3、X=xi,Y=yj=pij (i, j=1,2,),则:,PX=xi=PX=xi,Y+,=pi,同理:,分别称pi (i=1,2,)和pj (j=1,2,) 为X和Y的边缘分布律,另有:,=pj,FY (y)= F(+,y),FX (x)= F(x,+),10,例1 设(X,Y)的分布律如下:,求 X和Y的边缘分布律,解:,X的边缘分布律:, i=0, i=1, i=2, j=0, j=1,Y的边缘分布律:,pi=,pj=,或直接在表格上:,1/2 7/24 5/24,13/24 11/24,14,FX ( x ) = F(x, +),X 和Y 的联合分布函数为F(x,y ),则(X,Y )关

4、于X 的边缘分布函数为,(X,Y) 关于Y 的边缘分布函数为,三、连续型二维随机变量的边缘概率密度,(X,Y )关于Y 的边缘概率密度为,则(X,Y )关于X 的边缘概率密度为,例2 设随机变量(X,Y)的概率密度为,求: X和Y的边缘概率密度,解:,0 ,其它,=,0x1,=,0 ,其它,0y2,在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分.当联合密度是分段函数时，在计算积分时应特别注意积分限 .,17,例3,设(X,Y )服从椭圆域 上的均匀分布,求,(1) 求(X,Y )的边缘密度函数,解 (1),由题知(X,Y )的概率密度为,同理可得,(2),(2)

5、,其中A为区域:,X 与Y 不服从均匀分布,二维均匀分布的两个边缘密度未必是均匀分布的,二维正态分布的边缘密度仍服从正态分布,G,x+y =a,二维正态分布的边缘分布仍是正态 分布,例4 设(X,Y)服从二维正态分布,其概率 密度为:,求: X和Y的边缘概率密度,x+, y+,解:,令,得:,同理,得:,可见, (X,Y)N(1,2,12,22,),XN(1 ,12), YN(2 ,22),21,说明,对于确定的1,2,1,2 ,当不同时，对应了不同的二维正态分布。,对这个现象的解释是:边缘概率密度只考虑了单个分量的情况,而未涉及X与Y之间的关系.,(X1 ,X2 )N(1,2, ,) X1 X2 (与参数无关),22,例5 若二维随机变量(X,Y)的概率密度为,求边缘密度函数,解,同理, ,二维正态分布性质,二维正态分布的两个边缘密度仍是正态分布的,正态分布的联合分布未必是正态分布,但反之不真,23,X与Y之间的关系这个信息是包含在(X,Y)的联合概率密度函数之内的. 在下一章