正弦定理、余弦定理和解斜三角形

1、第五章 三角比,5.5.4 二倍角与半角的正弦、余弦和正切,5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,正弦定理,三角形中，,三角形面积公式,三角形面积等于两边与夹角正弦的乘积的一半,各边与它对角的正弦的比相等,例1.在 中，,求 和该三角形的面积.,解：,同理：,解毕,(结果保留至个位数),例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边.,(1),(2),解:(1),或,(结果精确到0.01),例2.根据下列条件，求三角形的其余角和边.,(2),解:(2),或,(结果精确到0.01),当 时，,当 时，,解毕,一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做,利用正弦定理,(I)已知两角及任一边，求其他角

2、和边；,(II)已知两边与其中一边的对角，求其他角和边.,解三角形,三角形的元素，,元素的过程叫做解三角形.,可以解决以下两类解三角形问题：,已知三角形的几个元素求其他,课堂练习,1.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm),(1),(2),2.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm),(1),(2),3.在 中，已知,试判断 的形状.,课堂练习答案,1.(1),(2),2.(1),(2),或,3.等边三角形,第五章 三角比,5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,余弦定理,三角形任一边的平方等于其他两边的平方和减去,这两边与它们夹角的余弦的

3、积的两倍.,另一种形式：,例1.在 中， 求 .,(角度精确到 ，边长精确到1),解：,解毕,例2.在 中，已知 ，求各,解:,角及其面积(精确到0.1),同理，得,解毕,课堂练习,1.解三角形(角度精确到 ，边长精确到1cm),(1),(2),3.已知 中， ，求,2.已知三角形三边之比为 ，求最大内角.,4.在 中， 是锐角，求证：,课堂练习答案,1.(1),(2),2.,3.解：,解得,4.证：,证毕,一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做,利用余弦定理及其变形,(I)已知两边及夹角，求夹角的对边；,(II)已知三边，求角.,解三角形,三角形的元素，,元素的过程叫做解三角形.,可以解决

4、以下两类解三角形问题：,已知三角形的几个元素求其他,(III)已知两边及一边的对角，求边.,第五章 三角比,5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,扩充的正弦定理,一边与它对角的正弦的比值等于外接圆的直径长,证：,(同弧所对圆周角相等),(半圆弧所对圆周角为直角),证毕,例1.在 中， ，判断,的形状.,解：根据正弦定理得,代入条件并化简得,即,或者,得 或,所以 为等腰三角形或直角三角形.,解毕,例1.在 中， ，判断,的形状.,解法二：根据余弦定理得,代入条件并化简得,所以 为等腰三角形或直角三角形.,解得 或,解毕,例2.若锐角 的三边长分

5、别是 ，,试确定 的取值范围.,解：,由两边之和大于第三边，,解得,由最大角为锐角，得,解得,综上，当 时，边长满足条件.,解毕,课堂练习,1.已知三角形边长为 ，求外接圆半径R.,2.三角形满足 ，判定其形状.,3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度,数.(精确到 ),4.在 中，求证：,课堂练习答案,解：,1.已知三角形边长为 ，求外接圆半径R.,得,2.三角形满足 ，判定其形状.,解：,得,该三角形为等腰三角形. 解毕,解毕,课堂练习答案,3.边长为连续正整数的钝角三角形，求钝角的度,数.(精确到 ),解：设边长为,且,化简得,且,因此,最大角余弦值为 ，,角度约为,解毕,课堂练习

6、答案,4.在 中，求证：,证：左边=,=右边,证毕,第五章 三角比,5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形,例1.设 两点在河的两岸，要测量两点之间的,距离，测量者与 在同侧，选定所在河岸一点 ，,测出 距离 ，,求 两点间的距离(精确到 ),解：由正弦定理，得,答略 解毕,问题一 测量可视但不可达的距离,分析 根据例1 测出,再测出,解：在河岸选定两点,测得,问题一 测量可视但不可达的距离,例2.设 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一,种测量 两点间距离的方法.,问题一 测量可视但不可达的距离,例2.设 两点都在河的对岸(不可到达)，设计一,种测量 两点间距离的方法.,解：在 中，,同理在 中,解毕,问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度,例3.河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高,的方法.,分析 根据例1的方法测出,再测出仰角,解：在河岸选定两点,测得,仰角,问题二 测量底部和顶部可视不可达的物体的高度,例3.河对岸矗立着一座塔 ，设计一种测量塔高,的方法.,解:在 中,在 中，,因此,解毕,(选用)问题三 测量角度,例4.一艘海轮从 出发，沿北偏东 的方向航行,67.5海里后到达海岛 ，然后从 出发，沿北偏,东 的方向航行54.0海里后到达海岛 .如果下次,航行