猜想、证明与拓广

1、猜想、证明与拓广,课题学习,没有伟大的猜想、就没有伟大的发现与发明-牛顿,矩形周长和面积倍增(2倍）问题,一、正方形“倍增”问题,问题1： 任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？,分析：设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,若面积变为2a2,则其边长应为 此时周长应为 它不是已知给定的正方形的周长的2倍.所以无论从哪个角度考虑,都说明不存在这样的正方形.,任意给定一个正方形，不存在另一个 正方形,它的周长和面积分别是已知正方 形周长和面积的2倍.,结论:,问题一,问题2 任意给定一个矩形,是否存在另一个 矩形,它的周长和面积分

2、别是已知矩形周 长和面积的2倍?,二、矩形 “倍增”（2倍）问题探究,要求：1、四人小组用同一数据展开研究。 比如：可以以长宽比为2:1类型，如果已知矩形的长和宽分别为2和1,那么是否存在另一个矩形,它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍. 2、独立思考后小组合作交流，小组代表汇报交流的成果。,思考：矩形的形状有很多种，我们应该如何 展开探究？,分小组验证以下情况,请大家分组完成上述计算,总结如下:有三种思路可以选择 （1）先固定所求矩形的周长,将问题化为一元二次 方程x(8-x)=3是否有解的问题.,以研究已知矩形长为3宽为1，是否存在另一个矩形它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍

3、为例。,(2)先固定所求矩形的面积,将问题转化为分式方程x+6/x=8是否有解的问题.,我们就能由此说明以下结论是正确的吗？ 任意给定一个矩形,必然存在另一个矩形, 它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的 2倍.,问题3 对于一个长和宽分别为m和n的矩形,是 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别 是已知矩形周长和面积的2倍.,二、矩形 “倍增”（2倍）问题探究,结论: 任意给定一个矩形,必然存在另一个 矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周 长和面积的2倍。,二、矩形“倍增” 探究,同学们,把我们对上述问题探究过程中的思路、方法和感受与同伴进行交流,探讨一下我们学到了什么？,几何直观,结论,证

4、明,猜想,方程（组）,形,数,结合,1、我们除了研究矩形”倍增”问题以外，还可以研究哪些图形的“倍增”问题？ 2、除了研究图形的“倍增”问题，我们还可以研究图形的什么问题？ 3、根据本节课的研究，你能提出其他的猜想吗？,矩形“倍增”问题的 拓 广,1、通过本节课矩形“倍增”问题的 探究过程， 你认为研究一个数学问 题一般要经历哪些过程？ 2、通过本节课的学习，你体会到了 哪些数学思想方法？,总结反思，方法提炼,（2）本节课学习的数学方法:猜想、证明、拓广、感受由特殊到一般，数形结合的思想方法，体会证明的必要性.,（1）本节课的问题解决综合运用了所 学知识,体会知识之间的内在联系.,总结反思，方法提炼,（3）一个几何存在性问题，可以转化为方程是否有解的问题，两种列方程的思路源于优先“固定”所求矩形的周长或优先“固定”所求矩形的面积，同时也让学生感受到对同一个问题存在不同的解决方法。,四、