第七节数学的全面繁荣.ppt

1、本节的目的和要求，1 .了解现代资本主义大型产业的建立对现代数学的贡献；理解数学史上建立解析几何的划时代意义。3.完全理解微积分的发展线索，牛顿和莱布尼兹分别关注建立微积分的过程和特性。4.注重深入了解非欧几何的创立过程，理解科学发展的内在逻辑。现代变量数学发展的线索，分析几何非欧洲几何-拓扑学微积分(牛顿，莱布尼茨)-分析类的分支概率统计，变量数学的兴起，数学的转折点是笛卡尔的变量。有变量，运动进入数学，有变量，辩证法进入数学，需要导数和积分.在所有的理论成就中，像17世纪后半期微积分的发现一样，可能不再是人类精神的最大胜利，如果我们在某个地方看到人类精神的纯真和唯一的功绩，就在这里。恩格斯

2、的第一，分析几何学的创立，导致了17世纪数学科学发生了根本性的变化，这个转折点实质上是社会生产力迅速发展造成的。数学的一个根本转折点是解析几何的诞生。解释形象的创始人是笛卡尔和费马。他们都抱怨欧氏几何的局限性：古代几何过于抽象，过于依赖图形。他们的代数也过分约束于法则和公式，批评缺乏直觉性。同时，他们都认识到几何学提供了真实世界的知识和真理，代数可以用来推理抽象的未知量，代数学是一门潜在的方法科学。所以在代数和几何中，可以把所有的本质结合起来，得到长的和短的。这样，新科学诞生了。第一，是法国的费马(1601-1665)和笛卡尔(1596-1650)独立建立的解释形象的创立。费马将代数应用于几何

3、，采用在一个坐标系中用一系列数字表示曲线轨迹的方法。费马的业绩是死后才公布的。费马、笛卡尔、笛卡尔的理论和笛卡尔的分析几何成就体现在1637年发表的方法论上，以两种思想为基础的：是坐标思想。另一种是方程和曲线的想法，即用未知数表示的两个代数方程可以看作平面上的一条曲线；相反，曲线可以用曲线上任意点(x，y)坐标之间的方程关系表示。笛卡尔将代数方法：应用于几何问题，研究了几何轨迹问题，并提出可以在由两条直线组成的平面坐标系中将几何转换为二元方程，从而用代理数学处理平面几何问题。解析几何的整数在于用代数方程表示几何曲线，同时用代数的研究方法研究几何。相同的路径，费马在代数方程中寻找轨迹，笛卡尔为了

4、寻找代数方程，从轨迹出发，是数学发展的唯一途径。过去的数学只能描述一定的量，解析几何，使变量的描述成为可能，这是数学发展史上的质的飞跃。分析几何出现后不久，还发现了微积分。微积分不仅是数学的伟大发现，而且为近代科学开辟了光明的道路；微积分不仅是17世纪的伟大发现，还是世界人类文明史上最辉煌的发现。第二，微积分的诞生，16，17世纪科学和生产面临的许多重要问题促进了微积分的诞生和发展。微积分的来源是科学发展的数学要求的必然：速度、距离、重心；切线、长度、面积、体积；极值问题等。，速度正切，微分，距离体积，积分，第二，微积分的诞生，微积分的历史足迹，古希腊时代的伟大数学家，力学为阿基米德，中国古代

5、数学家刘徽，祖先，父子等积分思想的形成和发展做出了重要贡献，他们的工作引领了欧洲数学家一千多年的工作。16-17世纪是微积分发展最活跃的时期，代表伽利略、开普勒、卡瓦莱里、费马和巴罗。他们的工作为牛顿，莱布尼兹(gotfried wilhelelm leib niz 1646-1716)建立微积分理论奠定了基础。牛顿的微积分，创立于17世纪60年代的微积分。他称之为流数术，其基本原理是把数学的量看作连续的轨道运动，不再把它看作无限的小元素。牛顿使用了无穷小的增长，但没有对这个概念提出明确的规则或严格的数学证明。微分和积分：无限系列的公式微积分的应用，牛顿寻找积分：二项式定理，牛顿的微积分，莱布

6、尼兹的微积分，莱布尼兹在1684年发表了微积分结果。据说，他是求同存异的方法和求和的方法。其基本思想是将一条曲线下的区域分成几个小矩形，矩形和曲线之间的小直角三角形两边各有曲线上两个相邻点的纵坐标和横坐标的区别，如果这两个差值无限减小，曲线上两个相邻点就会无限接近。连接这两点时，曲线在该点的切线就是求差方法。差异的反面是聚合。莱布尼茨的微积分、发明权纠纷、牛顿和莱布尼茨的微积分发明权之争，导致英国数学家和大陆数学家之间的对立、学术上的门户形成、严重阻碍科学的进步，应作为教训。牛顿和莱布尼兹都采用了一种基于无限小增长的方法，这种方法在应用上很有效，但直到19世纪法国的柯西(1789-1857)和

7、德国的比斯特拉斯(1815-1897)等提出了“极限”概念后，微积分才给出了严格的依据。柯西，wellstras，微积分的伟大意义，1，微积分改变了数学的研究对象、方法和方法，带来了数学史无前例的持续繁荣！展示了数学内部辨证统一的深层哲学。2、促进了科学技术的发展。微积分成为物理学的基本语言。其他学科，如力学、天文学和化学，获得了无限的推动力。3、对人类物质文明做出了巨大贡献。数学方法的应用和更新通过其他学科对人类的进步起到了前所未有的作用。第三，概率论的建立，概率论的建立，首先是费马及其同时代帕斯卡的功绩。他们在游戏和赌博中掷骰子进行了调查，在大量偶然性事件中找到了其统计必然性，创立了概率论

8、。第四，为了消除非欧洲几何的出现，英国高斯、俄罗斯罗巴切夫斯基、匈牙利包皮、德国雷曼分别打破了非欧洲几何的世界，扩大并加深了对空间的理解。公理系统，公理系统的一个组必须具有以下三种性质：(1)完善：使整个学说中使用的一切都完全归于公理，使任何其他默许的假设都不存在。(2)相容性：不能从公理中拿出两个相互矛盾的定理。(3)独立性：任何公理都不是其他公理的推论。欧几里得集合原本中出现的欧几里得几何的公理体系在2200年后希尔伯特在几何基础完成。这段时间，很多数学家做了很多公理系统的完整性工作。但不相信这个公理系统的第五个公理，即平行公理的独立性，是个问题。因为欧几里得自己也发现了尽量避免它。所以人

9、们开始从三个方面研究平行公理。(1)为了绕过这个困难，想提供新的平行线定义。(2)想用比平行公理缺点少的其他公理代替；(等效或包含)(3)试图以不同的公里推出。第三个问题得到了最多的研究，但没有结果。，第五个公立的证据：在非欧洲几何的萌芽，公立和公理的基础上建立的欧几里得几何被公认为数学严谨性的模型。但是数学家们也感到欧几里得几何有某种缺陷。其中，第五个使数学家感到最不舒服的是公安。第五条所描述的事实并不像其他几条那么明显，规定一条所必须的不证自明。人们不怀疑其真实性，但怀疑作为进攻者的资格。所以很多人想证明第五个公共场所。非欧洲形象的建立，1792年高斯(Carl Friedrich Gau

10、ss 1777-1855)开始考虑第15个公共建立问题。大约在1816年，他获得了非欧洲几何的基本思想，并确信有与欧几里得几何不同的几何。创始人？但是科斯莫斯在任何情况下都有将自己的结果保密一段时间的习惯。因此，在数学史上，最先确立非欧几何的是其他两位数学家罗巴切夫斯基和福耶。高斯可能因为其他原因这样做，以避免产生愚蠢的偏见.因为他说：“公开会引起傻瓜的喊声。”公开发表非欧几何论文的第一位罗巴切夫斯基，确实付出了相当大的代价。罗巴切夫斯基，罗巴切夫斯基尼古拉艾薇诺洛夫斯基(1793-1856)，在1815年左右开始研究第五个公共建立问题。罗巴切夫斯基以深刻的洞察力提出了导致几何革命的新思想。他

11、大胆地预言，第五次公说的否命题出发的结果代表了新的几何学。1826年2月11日，洛瓦切夫斯基在喀山大学物理数学系会议上宣读了题为几何学原理简述及平行线定律的严格证明的论文。否定第五个公理，假设相反的一条“已知直线以外的一条或多条直线可以与已知直线平行”，建立了新的几何学。这是自2000年以来的重大突破。但是在普通人的心中，甚至在数学家的心中，欧几里德要塞也是如此坚固。罗巴切夫斯基的工作得到了很多数学人的嘲笑和讽刺。波艺(1802-1860，Jnos Bolyai)，非欧洲形象的另一个创始人是匈牙利数学家波艺。就读于维也纳理工学院的博耶醉心于第五公设问题。大约在1820年，他相信制作一套新的几何

12、图形是完全可能的。波阿和罗巴切夫斯基描述的非犹太形像，通常称为罗巴切夫斯基形像或双曲线几何。承认罗巴切夫斯基形状的基本特征，(1)空间弯曲，任何直线都是曲线，任何平面曲面；(2)空间曲率始终等于非零常数。意思是空间到处弯曲，均匀。(3)将平面上的一点视为无数条直线和已知直线不相交，这些直线不能与已知直线保持相同的距离。(4)三角形的三个内角之和小于180度。(5)圆的周长与半径不成比例，增加速度比半径快。1826-1866年，雷曼Bernhard riman，非欧洲形象创建后的3-40年间被学界完全忽视，直到19世纪中期，雷曼工作取得了突破。riemann空间，riemann在高斯的指导下研究

13、。利曼认为非欧洲几何不只是一件事。他概括了表面的高斯曲率，建立了黎曼空间的曲率概念。在一般黎曼空间中，空间中每个点的曲率不同。也就是说，黎曼空间在本质上并不统一。在黎曼曲率为常数，黎曼曲率为常数的特殊情况下，空间分为三种类型：(1)零曲率空间，即欧氏几何空间。(2)负曲率空间，即Roche几何空间；(3)正曲率空间，即窄黎曼几何空间或椭圆几何空间。欧几里得几何和玫瑰几何成为更普通的黎曼几何的特例。reman几何的特征、reman几何中的uclead的第五个公共设置被替换为：不能通过已知直线外部的一点绘制与已知直线平行的直线。在黎曼空间中，可以通过两点画出无限多的线。没有无限长线的概念。三角形的

14、三个内角之和共大于180度。1854年，只有一位听众发表了名为利曼关于作为几何学基础的假设的就职演说，并正式提出和确立了利曼几何学。演讲的题目是高斯指定的。他的听众中除了老人课程外，没有人能听懂他在说什么。雷曼的演讲发表于1868年，他去世两年后。同年(1868年)，意大利数学家伯托拉米在1835-1899年提出了对罗斯几何学的欧几里得解释。克莱因(klain克莱因，1849-1925年)在1870年提出了另一个更直观的模式，使人更容易理解原本复杂、难以接受的思想。以维特拉米和克莱恩的工作为契机，非欧洲几何在数学领域的地位得到了牢固确立。1，解决了并行公理的独立性问题。研究了一般公理系统的独立

15、性、相容性、完整性问题，促进了数学基础这一更深层次数学分支的形成和发展。2、对公理方法本身的研究证明可以促进数学的发展，理性思维、严谨、逻辑、完美的追求促进了科学的进步。在数学内部，各部门被公认为最难的概率论等，建立了自己的公理体系，20世纪30年代也建立了自己的公理体系。实际上，功利的研究又孕育了元数学的出现和发展。非欧洲形象的重大意义，3，非欧洲几何实际上预示了相对论的出现，就像微积分预告卫星一样。非欧洲几何和相对论及融合是科学史上的里程碑。有人认为爱因斯坦创立了相对论，但也许爱因斯坦更了解他，这也是他和一群数学家一起做的。出现了时钟延迟，标尺缩短，时空弯曲的现象。这些是非欧洲几何和相对论的