弹性力学-第二章第二节

1、2-4 广义Hooke定律(物理方程, 本构方程),由材料力学已知，Hooke定律可表示为：,单向拉压,纯剪切,E为拉压弹性模量,横向与纵向变形关系,G为剪切弹性模量,为泊松比,一. 各向同性材料的广义Hooke定律,对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：,考虑x方向的正应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,叠加,同理：,剪应变：,物理方程：,说明： 1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系，称为广义Hooke定义。也称为本构关系或物理方程。 2.方程组在线弹性条件下成立。,二. 体积应变与体积弹性模量,令：,则：,令：,sm称为平均应力; q

2、称为体积应变,三. 物理方程的其他表示形式,物理方程：,用应变表示应力：,或：,各种弹性常数之间的关系,四. 广义Hooke定律(物理方程)的一般表达式,广义虎克定律(物理方程)描述应力与应变的关系, 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。,当自变量(应变)很小时，式（）中的各表达式可用泰勒级数展开略去二阶及以上的高阶微量，则式（）中的第一式展开为：,表示应变分量为零时的值，由基本假设，初始应力为零故,表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值，等于一个常数,故, 式（）可用一个线性方程组表示,式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一

3、点的应力与应变的一般关系式,式（）中的系数 称为弹性常数，共有个,由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然因此 为常数，其数值由弹性体材料的性质而定,式（）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等,式(3)可用简写为,称为弹性矩阵.,式（）可用矩阵表示,物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极少见),五. 弹性常数,1. 极端各向异性体:,由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数之间存在关系,即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个弹性常数也不是全部独立

4、.,36个弹性常数减少到21个. 弹性矩阵是对称矩阵.,弹性矩阵为,极端各向异性体的特点:,(1) 当作用正应力 时, 不仅会产生正应变 , 还会引起剪应变 。,(2) 当作用剪应力时, 不仅会产生剪应变, 也会引起正应变。,2.正交各向异性体,如在均匀体内, 任意一点都存在着一个对称面, 在任意两个与此面对称的方向上, 材料的弹性性质都相同。 称为具有一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面, 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。,具有一个弹性对称面的各向异性体, 弹性常数有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。,如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面,

5、这种物体称为正交各向异性体。如: 煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等,正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为,3.横观各向同性体,如物体内任意一点, 在平行于某一平面的所有各个方向都有相同的弹性性质, 这类正交异性体为横观各向同性体。如不同层次的土壤、复合板材等。,横观各向同性体只有五个弹性常数, 弹性矩阵为,物体内任意一点, 沿任何方向的弹性性质都相同。,4.各向同性体,各向同性体只有两个独立的弹性常数, 弹性矩阵为:,可见:,2-5 斜面应力公式与应力边界条件,已知物体在任一点P的六个应力分量 ， 求经过P点的任一斜面上的应力。,令平面ABC的外法线为N，其方向余弦为,设三角形AB

6、C的面积为S，则三角形BPC、CPA、APB的面积分别为lS 、mS、 nS。四面体PABC的体积用V表示。三角形ABC上的应力 在坐标轴方向的分量用XN、YN、ZN代表。根据四面体的平衡条件 ，得,除以S，移项后，得,当斜面ABC趋近于P点时，由于V是比S更高一阶的微量，所以V/ S趋于零。于是得出下式中的第一式。同样，由平衡条件 可以得出其余两式。,设三角形ABC上的正应力为N , 则由投影可得,将上式代入，得,斜面应力(Cauchy)公式,设三角形ABC上的剪应力为N，由于,所以有,在物体的任意一点，如果已知六个应力分量 就可以求得任一斜面上的正应力和剪应力。就是说，六个应力分量完全决定

7、了一点的应力状态。,如果ABC是物体的边界面，则XN、YN、ZN成为面力分量 ，于是得出,即弹性体的应力边界条件。 它表明了应力分量的边界值与表面力分量之间的关系。,2-6 位移边界条件,在位移边界问题中，位移分量在边界上还应当满足位移边界条件,在给定位移的表面Su上,注：在给定某方向的面力后，就不能再给定该方向的位移；反之亦然。但可某些方向给定位移，其它方向给定面力，即混合边界条件。,前几节中给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法； 这是一种公认的弹性力学参量表示方法。,2-7 弹性力学参量的指标表示法,近年来，数学理论中的指标表示法开始出现在力学文献及教科书中

8、。 指标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。,一.指标表示法,1. 指标符号,具有相同性质的一组物理量，可以用一个带下标的字母表示：,如：位移分量u、v 、w表示为u1 、u2、u 3，缩写为ui（i=1,2,3）,坐标x、y、z表示为x1、 x2、 x3 ，缩写为xi（i=1,2,3）。,单位矢量i、j、k表示ei（i=1,2,3）。,应力分量：,可表示为：,缩写为：,同理，应变分量可表示为：,向量 表示为,三阶线性方程组,可表示为,缩写为,2.爱因斯坦求和约定,在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。重复指标称为哑指标（简称哑标）,例,说明：,

9、（1）对于重复次数大于1的指标，求和约定无效。 例： （2）哑标的有效范围仅限于本项。 （3）多重求和可采用不同的哑标表示。 例： （4）哑标可局部地成对替换。 （5）自由指标必须整体换名。 （6）当自由指标恰好在同一项中重复出现一次，为避免混淆，应声明对该指标不求和。 例,3.求导数的简记方法,微分算符简记法,例:,求和约定,4.克罗内克(Kroneker)符号,具有如下性质,(1),(2),也称换名算子,同理:,4. 置换符号,表示，有个分量。定义：,有两个以上的指标相同,置换符号用于简化公式的书写,行列式：,二. 弹性力学方程的指数表示,(1) 平衡(运动)微分方程,(2) 几何方程,(

10、3) 物理方程,(4) 边界条件,力边界条件:,位移边界条件:,1. 迭加原理: 弹性体受几组外力同时作用时的解(应力、应变和位移)等于每一组外力单独作用时对应解的和.,2-8 弹性力学的几个基本定义,(1) 迭加原理成立的条件是微分方程和边界条件是线性的.,说明:,(2) 对大变形问题, 几何方程将出现二次非线性项, 平衡方程将受到变形的影响, 迭加原理不再适用。,(3) 对非线弹性或弹塑性材料, 应力应变关系为非线性, 迭加原理不成立。,(4) 对非线性边界条件, 迭加原理也失效。,2. 解的唯一性定理：,在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如物体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。,无论何方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。,3.圣维南原理: 提法一：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则 此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生 影响只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。,提法二：若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，该 力系在物体中引起的应力将随离力系作用部分的距离 的增大而迅速衰减，在距离相当远处，其值很小，可 忽略不计。,提法三：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效 的力系(具有相同的主矢和主矩)代替，则离此区域较 远的部分所受影响可以忽略不计