《圆内接四边形》（人教）.ppt

1、圆内接四边形,人民教育出版社 高二选修4-1,第二单元,编写人：南宫中学 王冰,问题1：这个多边形有什么特点？,预设： 此多边形四个顶点都在圆上。,谁想说说？,如果多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形， 这个圆就是多边形的外接圆.,复习回顾,一般地，我们可以从四边形的边的关系、角的关系等来考察，显然，圆内接四边形的角都是圆周角，为了考察这些圆周角的关系，我们可以借助圆周角定理。,问题一：这组图中的四边形都内接于圆，你能从中发现这些四边形的共同特征吗？,新课引入,根据圆周角定理得,圆内接四边形四个角关系,1.首先考察内接四边形的四个角： 显然，四个角都是圆周角，因此可以借助

2、圆周角定理来研究. 如图连接OA,OC,同理可得： A +C=180.,O,问题：根据圆周角定理得到角的关系？,预设：,知识探究,知识要点,圆内接四边形的性质：,定理1 圆的内接四边形的对角互补 .,提出定理,圆内接四边形四个角关系,问题：从补角来考虑内接四边形的四个角是否可以得到EBC=D ？,预设：如图：将AB延长到点E，得如图，, ABC+EBC=180,EBC=D,又 ABC+D=180,知识探究,知识要点,圆内接四边形的性质：,定理2 圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角 .,提出定理,预设：已知：如图圆O1和圆O2相交于E,F 两点，直线DC、 AB 与两圆分别相交.,例1:（1

3、）图中有几个内接四边形？ （2）四边形AFED和四边形FBCE的外角分别是什么？,(1)两个,(2)BEF EFC AEF EFD,例题剖析,圆的内接四边形的对角互补. 讨论：如果一个四边形的对角互补，那么是否可以推出这个四边形存在外接圆？,思 考,圆内接四边形判定定理？,知识探究,假设四边形ABCD中， B+ D=180.求证：A、B、C、D在同一圆周上.,分析:,根据不在同一直线上的三点确定一个圆，所以可以经过A、B、C三点做圆O，如果能证明圆O过点D，那么就证明了结论.,显然，圆O与点D有且只有三种位置关系： （1）点D在圆外； （2）点D在圆内； （3）点D在圆上；只要证明只有（3）成

4、立即可.,知识探究,证明:,（1）假设点D在外部，设E使AD与圆周的交点，连接EC.,预设：AEC+ B=180.,问题1：根据判定定理2，能得出什么结论？,预设：由题设D+ B=180 所以D =AEC.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾，故点D不在圆外.,问题2：由此能否推出矛盾？,知识探究,（2）假设点D在内部，设AD的延长线必与圆相交，设交点为E，连接EC.,预设：则有由题设ADC+ B=180 所以ADC =E.这与“三角形的外角大于任一不相邻的内角”矛盾， 故点D不在圆内.,知识探究,问题1：根据判定定理2，能得出什么结论？,问题2：由此能否推出矛盾？,预设：E+ B=1

5、80.,综上所述：点D不能在圆外，也不能在圆内，根据有且只有三种可能，所以得： 点D只能在圆上，即A、B、C、D共圆.,圆内接四边形的判定定理,知识探究,知识要点,圆内接四边形判定定理：,如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.,提出定理,知识要点,推论：,如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.,提出定理,问题：根据Q、F、P、C四点共圆能否推出结论？,例2：如图，CF是ABC的边AB上的高，FPBC，FQ AC。求证：A、B、P、Q四点共圆。,证明：,连接PQ,在四边形QFPC中， FPBC，FQ AC,FQA=FPC,又CFAB,Q、F、P、

6、C四点共圆,QFC=QPC,QFC与QFA互余,A=QFC,A=QPC,A、B、P、Q四点共圆,例题剖析,问题：根据题意是否可以推出Q、F、P、C四点共圆？,例3、如图，AD、BE是ABC的两条高，求证：CED=ABC,O,F,例题剖析,1.已知的斜边的两个端点分别在轴、轴的正半轴上移动，顶点与原点分别在的两侧，则点的轨迹是（ ）,A圆 B线段 C. 射线 D一段圆弧,B,如图，CAB+ COB=1800 四边形是圆内接四边形，则COA= CBA ，并且是定值，不管怎样移动，直线的斜率不变，又由题意，可得动点的轨迹是线段.,解析,当堂检测,2.若两条直线(a+2)x+(1-a)y-3=0, (

7、a-1)x+(2a+3)y+2=0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a等于？,两条直线与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则有对角互补，又两坐标轴互相垂直，这两直线垂直，即,(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2=1, a=1.,解：,当堂检测,3. 过点(-1，0)作圆(x-1)2+(y-2)2=1的两切线，设两切点为A、B，圆心为C，则过A、B、C的圆方程( ),Ax2+(y-1)2=2 Bx2+(y-1)2=1 C. (x-1)2+y2=4 D(x-1)2+y2=1,解析,PAAC， PBBC, P、A、B、C四点共圆且PC为直径，故圆方程为：x2+(y-1)2=2,A,当堂检测,4.如图，已知四边形是圆内接四边形，是的直径，且EBAD,AD与BC得延长线相交于F， 求证：,证明：,连结 AC, ACB=DAB 弧AB=弧BD，ACB=DAB. 四边形ABCD是圆