矢量分析课件

1、本章中，1.1向量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3标量场的梯度1.4向量场的流束和分散度1.5向量场的环流和旋转度1.6无旋转场和无色散场1.7拉普拉斯运算和格林定理1.8亥姆霍兹定理，第一章向量分析，1 .标量和向量向量的代数表示：1.1向量代数，向量：具有大小和方向特性的物理量，黑体字符和带箭头的字符表示常用。 矢量的几何表示：矢量可以用有方向性的线段表示。 注意，单位向量不一定是常规向量。 常向量：大小和方向都不变的向量。 另外，向量由坐标成分表示，(1)向量的加减运算、两个向量的加减运算在几何学上是将这两个向量作为邻接边的平行四边形的对角线。 向量的加减与交换律、2 .向量的代

2、数运算、直角坐标系下的两向量的加法与减法：结律、交换律、(2)标量乘向量、(3)向量的积(点积)、向量的积符合交换律、分律、分配由三条正交曲线组成的三维空间中任意点的位置的体系，称为正交曲线坐标系，表示三条正交曲线称为坐标轴的坐标轴的量称为坐标变量。 1.2三种常用的正交曲线坐标系，1 .正交坐标系、位置向量、面元向量、线元向量、体积元、坐标变量、坐标单位向量、位置向量、线元向量、体积元、面元向量、圆柱坐标系、圆柱坐标系中的线元、面元和体积元，2 .圆柱坐标系线性向量、体积元素向量、球坐标系、球坐标系中的线性元素、面元素和体积元素、3 .球坐标系、直角坐标和圆柱坐标系、圆柱坐标和球坐标系、直角

3、坐标和球坐标系、4 .坐标单位向量的关系，如果物理量是标量，则将此情况称为标量场。 例如温度场、电位场、高度场等。 如果物理量是向量，则将其称为向量场。 例如流速场、重力场、电场、磁场等。 场被称为静态场，而与时间无关，相反地被称为时变场。 据说确定空间区域上的所有点都对应于确定物理量，该区域中定义了字段。标量场和向量场、1.3标量场的梯度、时变标量场和向量场分别为：从数学上看，场为空间区域定义的函数：静态标量场和向量场分别为：1.3标量场的梯度，1 .标量场的等值面，等值面：标量面等值面方程：常数c取一系列不同的值，得到一系列不同的等值面，形成等值面族的标量场的等值面满足整个场的空间，标量场

4、的等值面不相互交叉。 等值面的特征：含义：图像直观地表示了物理量在空间中的分布状态。 意义：方向导数表示场沿某个方向的空间变化率。 概念： u(M )向方向增加， u(M )向方向减少， u(M )向方向没有变化。 特征：方向导数与点M0有关，与方向有关。 问题：在哪个方向上变化率最大，其最大的变化率是多少？ 2 .方向导数、梯度公式：圆柱坐标系、球坐标系、直角坐标系、意义：描述标量场某一点处的最大变化率及其变化最大的方向的概念：其中取最大值的方向，3 .标量场的梯度(gradu或)，标量场的梯度是向量场，它是空间标量场的某个方向的导数在该方向上投影梯度。 梯度运算的基本式：标量场的梯度与通过

5、该点的等价面(或切线平面)垂直，可以根据梯度的性质、解(1)梯度计算式求出p点的梯度，作为标量函数(x，y，z )=x2 y2-z描述了空间标量场。 (1)计算函数在点p (1，1，1 )处的梯度，以及表示梯度方向的单位向量。 (2)求出该函数沿单位向量方向的方向导数，并将点p (1，1，1 )处的方向导数值与该点的梯度值进行比较，求出相应的结论。 已经明白了，例如1.2.1，根据表示其方向的单位向量，(2)方向导数与梯度的关系式，沿el方向的方向导数为，该点的梯度值描述了梯度在p点处的标量函数的最大变化率，即最大的方向导数对于给定的p点，上述方向导数在该点取值，1 .向量线，意思：视觉上记述

6、了向量场的空间分布状态。 向量线方程式：概念：向量线是曲线，其各点的切线方向表示该点向量场的方向。 1.4向量场的通量和分散度，问题：如何定量地描述向量场的大小？ 引入通量的概念。 助焊剂概念，面积元的法线单元向量穿过面积元素的助焊剂。 如果曲面s闭合，则曲面的法线向量从闭合曲面内指向外，向量场的闭合曲面的通量，2 .向量场的通量通过闭合曲面出现网络的向量线，网络的向量线进入，通过闭合曲面出现向量场矢量场通过闭合曲面的通量有3种可能性的结果，闭合曲面的通量在宏观上确立了矢量场通过闭合曲面的通量和在曲面内形成矢量场的源的关系。 通量的物理意义需要建立场空间的任意点(小体积元)的通量源和向量场(小

7、体积元曲面的通量)的关系，以定量研究场和源的关系。 利用极限法得到这个关系：称为矢量场的分散度。 分散度是向量通过包括该点在内的任何闭合小曲面的通量与曲面元素体积之比的极限。 3、从矢量场的分散度、圆柱坐标系、球坐标系、直角坐标系、分散度相关的式：分散度的式子中可知，穿透前和后两侧面的净通量，不失去一般性，而是将p点周围的微小体积v一直作为长方体。 并且，直角坐标系中的分散度式的导出，根据定义，直角坐标系中的分散度式同样是通过分析穿过另两个侧面的网流束合成的，从点p穿过该六面体的网流束，根据分散度的定义，向量场的空间上的任意闭合曲面的流束， 包含在这个闭合曲面中的体积中与矢量场的分散度相等的体

8、积分，即分散度定理是闭合的曲面积分与体积分之间的变换关系，被广泛应用于电磁理论中。 4 .分散度定理，1 .矢量场环流和涡源，如流速场。 并非所有的矢量场都是通量源激发的。 存在与流束源不同种类的向量源，产生的向量场的力线是闭合的，闭合的曲面的流束为零。 但是，在由位置定义的空间中，封闭路径的积分不是零。 1.5矢量场的环流和旋转度，如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过由闭合曲线包围的曲面的电流成比例，即上式确立了磁场的环流和电流的关系。 如果矢量场的任意闭合回路的环流为零，则该矢量场也称为无旋转场，也称为保养场。 矢量场对闭曲线c的环流定义为该矢量对闭曲线c的线积分，即，如果矢量场对闭曲线的环流

9、不为零，则将该矢量场称为有旋转矢量场，能够激发旋转矢量场的源称为涡源。 电流是磁场的旋涡源。 环流的概念，矢量场的环流显示了矢量场和积分电路包围的曲面内涡源的宏观联系。 为了给出空间任意点的矢量场和涡源的关系，导入了矢量场的旋转度。(1)环流面密度在向量场的点m被称为沿着方向的环流面密度。 特征：其值与点m处的方向有关。 通过点m为微小的曲面s，将其边界曲线设为c，曲面的法线方向和曲线的缠绕方向成为右手螺旋法则。 s0的情况下，极限、2 .矢量场的旋转度以及导出的图像如图所示。 直角坐标下的旋转度成分的公式，同样可以得到，因此概念：向量场在m点的旋转度是向量，其数值是m点的环流面密度最大值，其

10、方向是取环量密度最大值时面积要素的法线方向，即物理意义：涡源密度向量。 性质：(2)矢量场转速、转速计算公式、转速关系公式、斯托克斯定理是闭曲线积分与曲面积分之间的变换关系式，在电磁理论中也被广泛应用。 从旋转度的定义来看，向量场沿任意闭合曲线的环流，向量场的旋转度与其闭合曲线包围的曲面通量相等，即3 .斯托克斯定理，4 .分散度和旋转度的不同，1 .向量场的源，分散度源：标量，产生的向量等于该封闭面内包围的源的总和，在某个定点处的(体)密度等于(或成比例)向量场在该点处的分散度。 旋转源：向量，所产生的向量场具有漩涡的性质，通过曲面的旋转源等于(或成比例)沿着该曲面边界的闭环量，在给定点处，

11、该源的(面)密度等于(或成比例)向量场在该点处的旋转度1.6无回转场和无分散场，(1)无回转场，性质：线积分与路径无关，是保守场。 只有分散源而没有旋转源的矢量场，无旋转场可以用标量场的梯度表示，例如，静电场，2 .矢量场按源进行分类，(2)没有分散场，只有旋转源而没有分散源的矢量场，即性质：无分散场是另一矢量场的旋转度，例如有旋转场在这种情况下，无旋转场部分和无分散场部分，1 .拉普拉斯运算，标量拉普拉斯运算，概念：拉普拉斯运算符，直角坐标系，计算式：圆柱坐标系，球坐标系，1.7拉普拉斯运算和绿色定理，矢量拉普拉斯运算，概念：即注意：对非直角成分例如，假定存在任意两个标量场和区域v上连续的二次偏振导数，则根据方向导数和梯度的关系，上式还可以写，上式被称为标量第一格林定理。 式中的s是包围v的封闭曲面，是标量场的s表面的外法线方向的偏振函数。 2 .根据格林定理、上式得到以下2式：上2式被称为标量第二格林定理。 绿色定理说明了区域v中的场与边界s中的场之间的关系。 因此，利用绿色定理，可以将地区中场的求解问题转化为边界出场的求解问题。 另外，绿色定理反映了两种标量场之间满意的关系。 因此，如果知道一个场的分布，就可以利用绿色定理来解开另一个场