物理学中的群论基础第一章

1、物理学的分组理论及其应用，所有整数集合检查I=，-3，-2，-1，0，1，2，3检查以下四个特性：(a)集I的两个元素的和仍然是整数，属于此集。I. (b)此集合包含零元素0。具有这些特性。所有元素mi，m 0=0 m=m. (c) I中的任何元素m也有属于I的唯一n，因此m n=n m=0；显然，如果n=-m. (d) m，则n和p是I的三个元素，m(n p)=(m n)p；也就是说，家产符合合法。什么是1.1组？检查其他集合：所有n阶或正矩阵的集合U(n)，n是稳定的有限正整数。此集合包含四个特性：(a)在U和v中任意两个n阶或正矩阵的情况下，乘积UV保持为n阶或正矩阵，属于集合U(n)。

2、(b) U(n)，ui=iu=U(n)。(b c)如果U是u (n)的元素，则存在唯一的v，u (n)中的UV=VU=I. (d) u和W是此集合的三个元素U(VW)=(UV)W，组是合成规则(加)，(a)闭合，(b)恒等存在，(c)逆函数存在，(d)耦合法，组中的元素数称为组的顺序。有限组包含有限元素。包含无限多个元素称为无限组。通常为AB，BA，如果组中的所有元素都匹配，则为Abel组(交换组)，a1，a2，定义：设置由点转换组成的集合g时，符合以下两个条件：也就是说，g中任意两个变换的乘积仍然是g的变换。也就是说，具有闭合性的g的每个变换都有反向变换，g的一个变换。平面上所有转换集平面中

3、围绕一点旋转的所有集平面的所有轴反射集，1.1.2矩形的镜像组，(1)平面上矩形ABCD的镜像转换组S(K)=， F5、F7、F8、F3、F4、f1、f1、f1、F2、F2、F3、f1、f1、f1、F8、F7、F5、F6、F6 这就是所谓的重排定理。这个定理的重要推论：如果f是组元素的任意函数，其中b是有限组g的一个元素，并跨所有组元素求和。1.2.2考虑了有限组的生成元素，一些元素的最小集合，可以使用幂和乘积生成组的所有元素。此集合中的元素将成为组的生成元素。示例：由元素a创建组，只需要An=E，n是满足此关系的最小正整数。a是组的一个元素，因此所有相应的整数功率也必须在此组中。因此，组的新

4、元素，A2、A3、An=E，更高的幂都不能提供新元素。An k=Ak。因为得到了这个组，所以组度数为n。例如：a2=B3=(ab) 2=e。因为A2=E和B3=E是唯一需要的元素，所以此组中的元素E、a、b、B2。还必须包含所有a。b和B2的乘积。因此，两个新元素AB和BA。得到a和b是不对的。否则(AB)2=E，e=aBAb=a2 B2=B2。ab和ba是不同的元素。因此，六个元素E、A、B、B2、AB和BA。可以证明此集合是一个组。也就是说，对于乘法，它是闭合的。，1.3 conjugate元素和类，A、b和C是组元素，当A-1BA=C元素b和C之间存在关系时，称为conjugate元素。

5、此操作称为通过a进行的类似转换。ACA-1=B，例如，先前群组元素之间的此关系为f4-1f5f4=f6、F5和f6。b和c conjugate，对于b和d conjugate，c和d conjugate，b、c和d是conjugate。因此，可以将组分组为多个集合，此组称为共轭类。作为1.3.1类的乘法，Ci=(A1，A2，Am)和Cj=(B1，B2，bn)是组中包含m和n元素的两个类别，其乘积是Ci中任意元素和CJ中任意元素的所有乘积的集合。cicj=(a1 B1，a2 B2，alak、ambn)，1.4子组，组h的所有元素都在组g中，h本身也是同一合成方法的下一组，称为组g的子组。每个组g

6、包含两个常规子组单位元素和g本身。在HG的情况下，如果G的元素多于h，则子组h称为G的实际子组。1.4.1循环组，如果g是有限组，则有限正整数n创建An=E。满足常识的最小非零正整数称为元素a的顺序。前面介绍的组(a、a2、a3、an=e)具有这些特性，其中每个元素都是特定元素的幂。这种组称为循环组。单个元素生成的组是循环组。循环组是Abel组，反之则不一定。1 . 4 . 2 coset，g阶组g的h阶子组h=(h1=e，H2，hh)。将x设置为x的任意元素，配置所有积(例如XE、xh2等)，以构成集合的xh=(xe、XH2、xh3、xhh)有两种情况。x可能在子组h中，也可能不在子组h中。

7、如果x是h的元数，则根据组的定义，集合XH与组h是常量等。集合XH是对h的元素重新排序。XH=h，XH。对于I(1Ih)值，假设XHi属于h，h属于组，Hi-1也属于此组，因此(XHi)Hi-1=X对应于假定非h元素的窗口盾，其中h和XH证明没有公共元素，h和XH不相交，h和x h的交集为0集(.h g，XG，H的左伴集： XH，H的右伴集：hx，1 . 4 . 3 la grange定理，H次组H是g次组g的子组| g |=| h | g :h。证明命令h=(e，H2，H3，hh、x、XH2、xhh)是g的子组。工作集xh，由属于g而不是上h的图元x组成。前面已证明所有元素XHi(1Ih)都

8、属于g而不是h，因此得到了g的h的新元素。这样，g的下两个元素：h-xh=(e，H2，H3，hh、x、XH2、XHh)，则Y(Y属于g，但不属于h和xh)元素来自g的其馀部分YH。同样，YH的所有元素都属于g，且不与h相交。如果YH的元素YHi与xh的元素XHi(1I，jh)相同，则YHi=XHj或y=XH jhi-1xhk。其中，1kh表示y属于xh，但与假设矛盾。总计g的3个元素：h-xh-yh=(e，H2，hh、x、xh2、xhh，y，yh2，yhh)。如果其中一些还不是完整的g，则可以从g的剩馀部分中再取一个元素，继续执行上述步骤。每次都创建属于g的h个新元素。因此，g的顺序必须是h的

9、整数倍。整数GH称为g中子组h的指数。有限群g的一个元素a的阶为n时的已知集(a，a2，an=e)是g的子组，因此有限组中任意元素的阶必须是该组乘积的总系数。，1.4.4常规子组和业务组是g的所有元素x，如果子组h的左右伴随集相同，则称为g的常规子组，或不更改的子组。H可以作为常规子组的条件(XG，XH=HX或X-1HX=H)创建。此条件也可以变更，以便x h的每个元素都与hx的元素相同。XHi=HjX。因此，X-1HjX=Hj。常识是Hi和Hj看到的共轭关系，如果Hi属于g的正规子组h，那么与Hi结合的所有元素也属于h的结论经常是一般子组由较大组的全类构成。那个驿站也成立。清理：如果H是组G

10、的正规子组，则在G/H中定义运算，如下所示：如果xhyh=(x * y) h，则G/H在操作中称为组，g-h中称为业务组。K=GH证明(1)对啊，bH，ch/g/h，是(aHbh) ch=(a * b) HCH=(a * b) * c) h因此组。如果g和h分别是g和h的阶，则k的阶等于g到h的指数g/h。由于1.5的直接乘积，h=(h1e，H2，H3，hh)是h阶数，k=(k1，k2，k3，kk)是k阶，除了e，(i)H和k没有其他公共元素。(ii)H中的每个元素与k中的每个元素配对。将h和k两个组定义为度数(如g=hk)的组g是h中每个元素和k中每个元素的乘积。组的直接乘积为g=hk=(e

11、，ek2，ek3，ekk、h2k2、h2k2，h2kk，hhkk)。显然，h和k是g的正规子群。1.6同形和同形乘法表表征了组中的所有内容，具有相似乘法表的所有组都具有相同的结构，即互为同形，定义同形映射，保持一对一匹配，保持运算，更频繁地遇到多对一映射。如果组G1中的每个元素a对应于另一组G2(a)中的唯一元素(ab)=(a) (b)，则G1到G2的同构存在。(ab)=(a) (b)，a，BG，同构映射：gh定义，对于所有(单个)3354完全(单个)同构，ker，im，n定义，定义集s到s的双快照(s)(替换n次)。通常将n次位移记录为，清理为s=1，2，n如果设置，| sn |=n！每个n

12、阶位移都是n个元素的完整阵列，因此n个元素集合中其他n阶位移的总数等于n个元素的完整阵列类别数n！因此| sn |=n！例如，设置s=1，2，3，4，5将成为第五次替代。称为常数替换，e .通常将s的所有n次位移的集合记录为Sn。的逆序为-1 .n次替换，1.8是指定阶的另一组，同构的组具有相同的分析结构。许多同形的组可以表示完全不同的物理情况。从数学上讲，只需要讨论其中的一个。同构的元素可以是矩阵、位置变化或坐标变换。只研究同类型的一组就足够了。这个组的元素不需要有实际的“意义”。可以从抽象的角度解释。我们整个理论组的四个基本公理与组元素的特定含义无关。该理论称为抽象组理论，根据具体物理条件

13、的需要，对组元素进行随机解释，并得出相应的结果。给定阶n的另一(非同构)组。如果n更快，就很容易做到。n=1。只有一个结构。只有一个单位的组。n=2。同样是一个结构，即组(f1，A)。a2为f1，因为组的阶数为2。任何次组都与组(f1，A)同构，例如(f1，f5)、(f1，f7)、(1，-1)等。N=3。只有一个结构。元素A生成的第三组，(a A、A2、A3、f1)。n=4=4。是两个同类组的最低级别。此组用(f1，A，B，C)表示，讨论两种可能的结构。如1.4.3中所述，元素A、B和c的阶数为2或4。如果元素a的阶为4，则其他三个元素等于a的幂。因此得到结构。a2=b，a3=c，a4=e。这

14、是一个四次循环组(a，A2=B，A3=C，A4=E)。没有第四个元素时，所有元素(单位元素除外)的阶数为2，因此，A2=B2=C2=E，练习(1.11)的结果表示如下：此组是Abel组。产品AB的两个可能的： AB=E和AB=C. AB=E表示B担任A的职务，但是可以由上而下知道A担任A的职务，因此AB=E占据B=A，因此只能为AB=C。因此，两个不同的结构是： (a)四次循环组(a、a2、a3、a4e)。(B)第四阶非循环Abel组(E，A，B，C)；结构a2=B2=C2=e，ab=c，BC=a，ca=B。这是最低阶非循环组。n=5，本例中为一个可能的结构，第五阶循环组(a，a2，a3，a4，a5e)。(VI) n=6，有两个不同的(非同构)