方程的根与函数的零点（第一课时）

1、 3.1.1 方程的根与函数的零点,第一课时,制作：moshengli,方程解法史话:数学家方台纳的故事,1535年，在意大利有一条轰动一时的新闻：数学家奥罗挑战数学家方台纳，奥罗给方台纳出了30道题，求解x3+5x=10，x3+7x=14，x3+11x=20，；诸如方程x3+Mx=N，M，N是正整数，比赛时间为20天，方台纳埋头苦干，终于在最后一天解决了这个问题。方程的求解经历了相当漫长的岁月，让我们来感受数学探索的魅力吧！,方台纳,方程,x22x+1=0,x22x+3=0,y= x22x3,y= x22x+1,函数,函 数 的 图 象,方程的实数根,x1=1,x2=3,x1=x2=1,无实

2、数根,(1,0)、(3,0),(1,0),无交点,x22x3=0,y= x22x+3,这里，方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.,y=0,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,判别式 = b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x1 、x2,思考1：任意方程f(x)=0的根与相应函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标都有这样相等的关系吗？,结论：方程的根即为相应函数图象与x轴交点的横坐标.,对于函

3、数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。,函数零点的定义：,注意：零点指的是一个实数,是方程 的实数根,是函数 的零点,的图象与 轴有交点,数,形,对零点的理解：,数的角度：,形的角度：,即是使f(x)=0的实数x的值,即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标,求函数零点的方法：,(1) 方程法：,(2) 图象法：,解方程f(x)=0, 得到y=f(x)的零点,画出函数y=f(x)的图象, 其图象与x轴交点的横坐标是函数y= f(x)的零点,例1.函数 的零点是( ) A. （-1,0) , (3,0) B. C. D.-1和3,你试一试,练习1：求下列函数的

4、零点. (1) (2) (3),D,甲,乙,思考2：观察下列甲、乙两组画面，请你判断一下小王从A到B是否一定渡过这条小河？,A,B,A,B,思考3：将小河抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？,A,X,X,A、B两点在x轴的两侧。,A,B,B,自主探究,观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象(如图),我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间-2, 1上有零点, 计算f(-2)与f(1) 的乘积, 你能发现这 个乘积有什么特点? 在区间2, 4上是否 也具有这种特点呢?,A,B,a,b,思考4：

5、A、B两点在x轴的两侧，如何用数学符号（式子）来表示？,A,B,AB间的函数图象连续不断,且 ，则函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点吗？即函数在（a，b）内一定有零点吗？,a,b,思考5：,A,B,a,b,AB间的函数图象连续不断,且 ，则函数图象在（a，b）内与x轴一定有交点，即函数在（a，b）内一定有零点。,函数零点定理： 如果函数 在区间a, b上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ，那么, 函数 在区间(a, b)内有零点, 即存在 (a, b),使 , 这个c也就是方程 的根,结论,（1） f(a)f(b)0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。,（2） 函数y=f(x)在

6、区间(a,b)内零点，则f(a)f(b)0。 （3） f(a)f(b)0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点。,函数零点存在定理的三个注意点： 1 函数是连续的。 2 定理不可逆。 3 至少存在一个零点。,定理理解：判断正误,错,错,错,对函数零点的存在性定理的理解,(1) 函数零点的存在性定理只能判断函数零点的存在性，不能判断零点的个数.,(2) 只要函数y=f(x)在区间a, b上的图象连续不断，且在区间a, b两端的函数值异号, 则函数y=f(x)在区间a, b上必定存在零点.,(3) 若函数y=f(x)在区间a, b上的图象连续不断, 且函数y=f(x)在区间a, b也存在零点, 则函数y=f(x)在区间a, b两端的函数值可能同号也可能异号.,利用函数零点的存在性定