电磁场与电磁波第9讲概要

1、1,中北大学 徐美芳,第9讲 均匀平面电磁波,2,本讲内容 9.1 亥姆霍兹方程 9.2 平均坡印廷矢量 9.3 理想介质中的均匀平面波 9.4 波的偏振特性 9.5 色散与群速,3,正弦电磁场的概念,如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。,研究正弦电磁场具有重要意义,在工程上，应用最多的就是正弦电磁场。广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。,任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。,9.1 亥姆霍兹方程,4,9.1.1 正弦

2、电磁场的复数表示,正弦电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题分析得以简化。,设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成,其中,时间因子,利用三角公式,式中的A0为振幅、 为与坐标有关的相位因子。,5,复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量,照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成,各分量合成以后，电场强度为,有关复数表示的进一步说明,6,例 将下列用复数形式表示

3、的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。,7,以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得,将 、 与 交换次序，得,9.1.2 麦克斯韦方程的复数形式,8,从形式上讲，只要把微分算子 用 代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程,9,例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为,式中,解：（1）因为,故电场的复矢量为,试求：（1）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。,10,（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量,磁场强度瞬时值,11,实际的介质都存在损耗： 导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质受到极化时，存在电极化损耗 磁介质

4、受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。,补充： 复电容率和复磁导率,导电媒质的等效介电常数 对于介电常数为 、电导率为 的导电媒质，有,其中c= -j/、称为导电媒质的等效介电常数。,12,电介质的复介电常数 对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。,同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为,磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零的数

5、，表示磁介质的磁化损耗。,13,损耗角正切 工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有,导电媒质导电性能的相对性 导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。, 弱导电媒质和良绝缘体, 一般导电媒质, 良导体,14,9.1.3 亥姆霍兹方程,导电媒质,理想介质,在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。,瞬时矢量,复矢量,15,9.2 平均坡印廷矢量,16,则能流密度为,如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有,先取实部，再代入,17,使用二次式时需要注意的问题,二次式只有实数的形式，没

6、有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应先取实部再代入，即“先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子,18,二次式的时间平均值,在时谐电磁场中，常常要关心二次式在一个时间周期 T 中的 平均值，即,平均能流密度矢量,平均电场能量密度,平均磁场能量密度,在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有,19,则平均能流密度矢量为,如果电场和磁场都用复数形式给出，即有,时间平均值与时间无关,例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出,20,具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它 时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场

7、。,在 中， 和 都是实数形式且是 时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值；而 中的 和 都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。,利用 ，可由 计算 ，但不能直 接由 计算 ，也就是说,关于 和 的几点说明,21,例 已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中k 和 E0 为常数。求：（1）磁场强度复矢量H ；（2）瞬时坡印廷矢量S ；（3）平均坡印廷矢量Sav 。,解：（1）由 得,（2）电场和磁场的瞬时值为,22,（3）平均坡印廷矢量为,或直接积分，得,瞬时坡印廷矢量为,23,例 已知真空中电磁

8、场的电场强度和磁场强度矢量分别为,解:(1),由于,(2),所以,其中E0、H0 和 k 为常数。求：(1) w 和 wav ；(2) S 和 Sav。,24,例 已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为,式中H0 、都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；,（2）平均坡印廷矢量。,解：（1） 和 的瞬时值为,25,（2）平均坡印廷矢量,所以瞬时坡印廷矢量,26,9.3 理想介质中的均匀平面波,27,由于,9.3.1 均匀平面波方程及其解,设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电磁强度和磁场强度均不是 x和 y 的函数，即,结论：均匀平面波的电

9、场强度和磁场强度都垂直于波的传播 方向 横电磁波（TEM波）,28,设电场只有x 分量，即,其解为：,可见， 表示沿 +z 方向传播的波。,解的物理意义,第一项,第二项,29,由 ，可得,其中 称为媒质的本征阻抗。在真空中,相伴的磁场,结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相 互垂直，且同相位。,30,1、均匀平面波的传播参数,周期T ：时间相位变化 2的时间间隔，即,（1）角频率、频率和周期,角频率 ：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s,频率 f ：,9.3.2 理想介质中均匀平面波的传播特点,31,（2）波长和相位常数,k 的大小等于空间距离2内所包含的波长数目，因此也

10、称为波数。,波长 ：空间相位差为2 的两个波阵面的间距，即,相位常数 k ：表示波传播单位距离的相位变化,32,（3）相速（波速）,真空中：,由,相速v：电磁波的等相位面在空间 中的移动速度,故得到均匀平面波的相速为,33,2、能量密度与能流密度,故,34,3、理想介质中的均匀平面波的传播特点,电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM 波）,无衰减，电场与磁场的振幅不变,波阻抗为实数，电场与磁场同相位,电磁波的相速与频率无关，无色散,电场能量密度等于磁场能量密度， 能量的传输速度等于相速,根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为：,35,36,37,38,所以,磁

11、场强度的瞬时表示式为,式中,因此,39,解：电场强度的复数表示式为,自由空间的本征阻抗为,故得到该平面波的磁场强度,于是，平均坡印廷矢量,垂直穿过半径R =2.5m的圆平面的平均功率,例 自由空间中平面波的电场强度,求在z =z0处垂直穿过半径R =2.5m的圆平面的平均功率。,40,沿+z方向传播的均匀平面波,9.3.3 沿任意方向传播的均匀平面波,沿 传播方向的均匀平面波,41,解：（1）因为 ，所以,则,42,（2）,（3）,（4）,（5）,43,9.4 波的偏振特性,波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变 化的特性, 是电磁理论中的一个重要概念。,在电磁波传播空间给定点处

12、，电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹。,波的偏振（极化）,44,一般情况下，沿+z方向传播的均匀平面波 ，其中,电磁波的极化状态取决于Ex和Ey的振幅之间和相位之间的关系，分为：线偏振、圆偏振、椭圆偏振。,偏振的三种形式,线偏振：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段,圆偏振：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆,椭圆偏振：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆,45,1 直线偏振,条件： 或,合成波电场的模,合成波电场与+ x 轴的夹角,特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢 端，轨 迹与x轴的夹角始终保持不变。,结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的 线极化波，当它们的相位相同或相差为 时，其

13、合 成波为线极化波。,46,2 圆偏振,则,条件：,合成波电场的模,合成波电场与+ x 轴的夹角,特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变 化，电场的矢端在一个圆上并以角速度 旋转。,结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的 线极化波，当它们的振幅相同、相位差为/ 2 时， 其合成波为圆极化波。,47,右旋圆偏振：若xy/2，则电场矢端的旋转方向与 电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波,左旋圆偏振：若xy/2，则电场矢端的旋转方向与 电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波,48,3 椭圆偏振,可得到,特点：合成波电场的大 小和方向都随时间 改变，其端点

14、在一 个椭圆上旋转。,49,合成波偏振的小结,直线偏振： = 0、 ； = 0，在1、3象限， = ，在2、4象限,椭圆偏振：其它情况； 0，右旋， 0，左旋,圆偏振： = /2，Exm = Eym； 取“”，右旋圆极化，取“”，左旋圆极化,电磁波的偏振状态取决于Ex和Ey的振幅Exm、Eym和相位差 xy,对于沿+ z 方向传播的均匀平面波：,50,例 说明下列均匀平面波的极化方式。,( 1 ),( 2 ),( 3 ),( 4 ),解：（1）,（2）,（3）,（4）,51,4 极化波的分解,任何一个线极化波都可以表示成旋向相反、振幅相等的两圆极化波的叠加,即,任何一个椭圆极化波也可以表示成旋

15、向相反、振幅不等的两圆极化波的叠加，即,任何一个线极化波、圆极化波或椭圆极化波可分解成两个线极化波的叠加,52,电磁波的极化在许多领域中获得了广泛应用。如：,5 极化波的工程应用,在雷达目标探测的技术中，利用目标对电磁波散射过程中改变 极化的特性实现目标的识别,无线电技术中，利用天线发射和接收电磁波的极化特性，实现 最佳无线电信号的发射和接收。,在光学工程中利用材料对于不同极化波的传播特性设计光学偏 振片等等,53,垂直极化,水平极化,水平金属栅网,金属反射板,玻璃钢罩,馈源,抛物面,/4,出,极化扭转天线示意图,45金属栅网,入,54,9.5 色散与群速,色散现象：相速随频率变化,群速：载有信息的电磁波通常是由一个高频载波和以载频为中心 向两侧扩展的频带所构成的波包，波包包络传播的速度就 是群速。,单一频率的电磁波不载有任何有用信息，只有由多个频率的 正弦波叠加而成的电磁波才能携带有用信息。,电磁波的传播特性与介质参数(、 和 )有关，当这些参数和 传播常数随频率变化时，不同频率电磁波的传播特性就会有 所不同，这就是色散效应，这种媒质称为色散媒质。,55,两个振幅均为Em、角频率分别为 + 和 、相位常数分别为 + 和 的同向行波,振幅，包络波