角平分线的性质与判定

1、.,12.3角平分线的性质,福田河中学八年级数学组夏玉焰,.,什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？,操作与思考1：,C,.,信不信由你,如图，ABAD，BCDC，沿着AC画一条射线AE，AE就是BAC的角平分线，你知道为什么吗？,.,分别以，为圆心大于的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于,如何用尺规作角的平分线？,A,作法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,作射线OC,则射线即为所求,探究,.,探索1,将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?,O,A,B,.,角平分线上的点到角的两边的距离相等。,在AOB的

2、平分线OC上任取一点P，然后，作点P到AOB两边的垂线段PD、PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？,画一画,想一想,议一议,.,命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,题设：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.,.,角平分线的性质,定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,1=2PDOA，PEOBPD=PE.,.,1.如图，OC是AOB的平分线，PD=PE,PDOA，PEOB,.,2.如图所示，在ABC中，C=90，AD是B

3、AC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_。,.,3.在RtABC中，BD平分ABC，DEAB于E，则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与DE相等？为什么？若AB10，BC8，AC6，求BE，AE的长和AED的周长。,.,练一练,3在ABC中，ACBC，AD为BAC的平分线，DEAB，AB7，AC3，求BE的长。,E,D,C,B,A,.,4.ABC中,C=900,AD平分CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,（点D到AB的距离是3）,.,如图，由于点D，于点E，PD=PE，可以得到什么结论？,议一议,到一个角的两边的距离相等的

4、点，在这个角的平分线上。,已知：如图，垂足分别是A、B，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。,.,解：设要截取的长度为m,则：,要在区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺1：20000）,解得：0.025m2.5cm,则点即为所求的点,想一想,.,到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,已知：如图，垂足分别是D、E，PD=PE，求证：点P在的角平分线上。,证明：,作射线OP,点P在角的平分线上,在RtPDO和RtPEO中，,（HL）,（全等三角形的对应角相等）,OP=OP（公共边）,PD=PE（已知）,角平分线的判定,.,

5、角平分线的判定的应用书写格式：,OP是的平分线,PD=PE,（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）,.,角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。,PD=PE,用途：证线段相等,用途：判定一条射线是角平分线,.,例1.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。,.,4.已知：如图，C=C=90，AC=AC.求证（1）ABC=ABC；（2）BC=BC.（要求不用三角形全等的判定）,B,.,5已知：如图，BEAC于E，CFAB于F

6、，BE、CF相交于D，BD=CD。求证：AD平分BAC。,课堂练习,.,例已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、FBM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知）PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等,D,E,F,.,练习：如图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？,.,拓展与延伸,1、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.,.,2、已知PA=PB，1+2=1800，求证：OP平分AOB,A,O,B,P,1,2,E,F,.,3已知：如图，ABC的B的外角的平分线BD和C的外角平分线CE相交于点P。求证：点P在BAC的平分线上。,D,E,.,课堂小结,1.角平