数学的魅力-例子

1、1,主讲人：王爱齐E-MAIL:,数学史概论,数学史与数学文化,2,第一章概述第二节数学的魅力,数学的魅力,你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。数学，有无穷的魅力！,3,用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：V+FE=1,4,一、渔网的几何规律,多面体的欧拉公式V+FE=2,5,数学就有这样的本

2、领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。,“存在性命题”：大连市一定存在两个头发根数一样多的人。对于存在性命题，通常有两类证明方法：一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。,6,二、大连至少有两个人头发根数一样多,例如“任意两个正整数都存在最大公约数”这个存在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了求最大公约数的方法。(例：（210，1950）=30)再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一定存在零点”这个存

3、在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。,7,构造性证明：一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。,8,大连至少有两个人头发根数一样多,纯存在性证明：“抽屉原理”证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的”证明“大连市一定存在两个头发根数一样多的人”,9,大连至少有两个人头发根数一样多,车轮，是历史上最伟大的发明之一圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数面积相等的图形中圆的周长最短规尺作图化圆

4、为方不可做,10,三、圆的魅力,这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的，后来又多次说过。所以，这不是随便说的一句话。陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度，这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。,11,四、“三角形三内角之和等于180度，这个命题不好”,三角形三内角之和=180度n边形n内角之和=？n边形n内角之和=180度(n2),12,n边形n外角之和=360度不变量（向量组的秩；矩阵的秩）,13,四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似

5、乎只需要四种颜色就够了。,14,五、四色问题,但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德摩根，希望帮助给出证明。德摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。,15,但德摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在伦敦数学会文集上发表了一篇论地图着色的文章,才引起了更大的注意。,16,1879年，一位英国律师肯泊在美国数学杂志

6、上发表论文，宣布证明了“四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。,17,实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要,重要的是它们的相互位置。下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。,18,19,合理的退让不得已而求其次加强命题的条件或者减弱命题的结论,希伍德证明了“五色定理”,一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜想是

7、正确的。1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。,20,1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。,21,这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳四色足够(FOURCOLORSSUFFICE)，加盖在当时的信件上。由于这是第一次用计算机证明

8、数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。,22,拓展了人们对“证明”的理解,自然数是整个数学最重要的元素。自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素数”。素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数；大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”；1则既不是素数也不是合数。,23,六、素数的奥秘,由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300多年前欧几里得的几

9、何原本第9卷的定理20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。,24,但是，素数的有些规律，虽然表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。）关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定。,25,有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史”。,26,三个关于素数规律的问题,从加法的角度研究素数从乘法的角度研究素数找一个公式来表示素数,两个猜想：每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的奇数都是三个素数的和。后一个猜想1937年已被

10、证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。前者现在也简称为“哥德巴赫猜想”。,27,从加法的角度研究素数,算术基本定理：任一个大于1的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性”的证明。,28,从乘法的角度研究素数,未解之谜：这个问题是：对任一个大于1的自然数，试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于1的自然数。,29,下面用“构造性”证明的思路，来试图找到解决的办法，同时也体会它的困难所在。,30,a是否素数a=bcb是否素数,不严格的

11、地方，或者说“跳步”的地方，就在最前面的两步。即，如何较快地判断“a是否素数”；及当判断出a不是素数后如何较快地找到b，得到a=bc。,31,解决问题的困难,a=bc（b、c是两个很大的素数，比如都是100位的大素数）在造密码时，你可以把a公开，但b、c对外保密，只有“我方”了解。必须知道b、c才能破译密码。,32,这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路,费马素数(1640年)Fn=22n+1关于费马素数，n=5时，Fn=4294967297=6416700417,33,找一个公式来表示素数,梅森素数(1644年)Mn=2n1(n=2、3、5、7、13、17、31、67、127、257）梅森的判断中有五个错误：n=67、257时Mn不是素数；而n=61、89、107时Mn是素数。“梅森数中是否有无穷个素数”的问题，也是未解之谜,34,找一个公式来表示素数,35,七、“蒲丰投针”的故事,“化归”，是把未知的问题，转化为已知的问题；把待解决的问题，归结为已解决的问题，从而解决问题的