第9讲 第2章第6节 置换群_第1页
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文档简介

1、近世代数(AbstractAlgebra),主讲教师：蔡炳苓,（河北师范大学数学与信息科学学院),第9讲,第6节置换群,定义1：一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。定义2：一个有限集合的若干个置换构成的群称为一个置换群。定义3：一个含有n个元素的有限集合的所有置换构成一个群，称为n次对称群。记作Sn,一、置换和置换群,定理2任何有限群都同一个置换群同构。,定理1：n次对称群Sn的阶是n！。,注：置换群是有限群。,二、置换的矩阵表示,置换,可表示为,其中,是,的全排列.,考虑任意有限集合，不妨设,称作一个n阶置换或n次置换。,注：一个n阶置换可以有n!种不同的表示形式。,例1,设,求A的全体

2、置换.,三次对称群为：,完全类似地可有：,关于置换的运算,1.置换的乘积：,2.单位（恒等）置换：,3.置换的逆：,注意：置换乘法没有交换律。如,是有限非交换群.,是最小的有限非交换群.因为我们,而且，可以说,后面会看到，阶数小于6的群都是交换的。,设是两个置换，其中则,命题2,则,命题1,定义,中的一个将,变到,，,变到,变回到,，而其余元素（如果还有其他元素）不发生,变化的置换，叫做k循环(置换)或轮换，记为,注：循环置换的表示一般也不是唯一的。,习惯上，称2-轮换为对换；单位置换常记为,三、循环置换及置换的循环置换分解表示,例三次对称群为：,三次对称群中所有置换都是循环置换,注：并不是每个置换都是循环置换。,不是循环置换，但,设,和,都是循环置换,如果,是不相连（交）的.,则称,与,定义,定理3,每个置换都可表成不相连循环置换之积.,证：,注：将置换写成不相连的循环置换之积是,表示置换的第二种方法.,1-循环,3-循环,4-循环,2-循环,混合循环,例：将S4中的置换写成循环置换乘积的形式。,练习,求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶,（4）,四、循环置换的性质,性质3两个不相连的循环置换是可以交换的.,性质

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