第7章 应力状态和强度理论

1、1,第七章应力状态和强度理论,目录,2,第七章应力状态和强度理论,7.1概述7.2平面应力状态的应力分析，主应力7.3空间应力状态的概念7.4应力与应变间的关系7.5空间应力状态下的应变能密度7.6强度理论及其相当应力*7.7莫尔强度理论及其相当应力7.8各种强度理论的应用,目录,目录,3,低碳钢,塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？,铸铁,7.1概述,目录,4,脆性材料扭转时为什么沿45螺旋面断开？,低碳钢,铸铁,7.1概述,目录,5,拉中有剪,根据微元的局部平衡：,目录,6,剪中有拉,目录,7,重要结论,不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上

2、的应力。,目录,8,应力的三个重要概念,1、应力的点的概念;2、应力的面的概念;3、应力状态的概念.,目录,9,横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。,目录,10,微元平衡分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念,目录,11,应力,指明,过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态,目录,12,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,一点应力状态的描述,微元,目录,13,三向（空间）应力状态,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,14,平面（二向）应力状态,7.2平面应力状态的应力分析，主应力

3、,目录,15,单向应力状态,纯剪应力状态,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,16,三向应力状态,平面应力状态,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,17,点的应力状态的描述,示例一：,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,18,S平面,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,19,示例二,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,20,S平面,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,21,目录,22,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,23,单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力称为主应力，分别用表示，并且。该单元体称为主应力单元。,7.2平

4、面应力状态的应力分析，主应力,目录,24,空间（三向）应力状态：三个主应力均不为零,平面（二向）应力状态：一个主应力为零,单向应力状态：两个主应力为零,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,25,一.斜截面上的应力,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,26,列平衡方程,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,27,利用三角函数公式,并注意到化简得,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录,28,正负号规则,正应力：拉为正；反之为负,切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。,角：由x轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,目录

5、,29,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,二.应力圆,利用三角关系式，可以将前面所得的关于和的方程中的消去，得：,这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆,目录,30,二.应力圆,目录,31,应力圆的画法,二.应力圆,目录,32,几种对应关系,点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力；转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。,目录,33,20,A,D,三.主应力与主平面,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,主平面：，应力圆上和横轴交点对应的面,目录,34,主应力：主平面上的正应力,三.主应力与主平面,目录,3

6、5,三.主应力与主平面,20,目录,36,主方向,负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向,三.主应力与主平面,主平面的方向,目录,37,tmax,四.面内最大切应力,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”。,目录,38,7.2平面应力状态的应力分析，主应力,最大切应力所在平面的方向,因：,所以：与正交,即最大切应力所在平面与主平面夹角,1时，主应力是否为零？,目录,39,例题7-1,两端密封的圆柱形压力容器，圆筒部分由壁厚为，宽度为b的塑条滚压成螺旋状并熔接而成。圆筒的内径为D，且D，容器承受的内压压强为p，若熔接部分承受的

7、拉应力不得超过塑条中最大拉应力的80%，试求塑条的许可宽度。,解：（1）分析筒上任意点的应力状态，如图。,计算环向和轴向应力st和sm。,目录,40,pDl,例题7-1,得：,得：,目录,41,（在筒得内侧表面，存在沿径向的正应力,筒上各点均为平面应力状态。,（2）由斜截面上得应力计算公式，得：,因：,由：得,例题7-1,目录,42,例题7-2,梁发生横力弯曲，M与Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置,解：梁横截面上各点的弯曲正应力和切应力分别为：,主应力：,目录,截面上各点的应力状态单元体、主应力及主平面位置,目录,44,例题7-3,求图示单元体的主应力及主平面的位置(单位：MPa)

8、,解：(1)应力坐标系如图,(3)AB的垂直平分线与轴的交点C即是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆,(2)在坐标系内画出点,目录,45,例题7-3,(4)按图计算圆心坐标和半径OC=(A横坐标+B横坐标)/2=70,(5)计算主应力及方位角,(6)在图上画主单元体、主应力,目录,46,试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。,一点处的平面应力状态如图所示。,已知,例题7-4,目录,47,解：,（1）斜面上的应力,例题7-4,目录,48,（2）主应力、主平面,例题7-4,目录,49,主平面的方位：,代入表达式可知,主应力方向：,主应力方向：,例题7-4,目录

9、,50,（3）主应力单元体：,例题7-4,目录,51,定义,三个主应力都不为零的应力状态,7.3空间应力状态的概念,目录,52,7.3空间应力状态的概念,s1,s2,s3,目录,53,最大主应力：max=1,极值切应力：,最大切应力：max=1,3,极值切应力所在平面与主平面夹角45,7.3空间应力状态的概念,目录,54,例题7-5,求图示单元体的主应力和最大剪应力（MPa）,解：(1)由图知yz面为主平面之一,（2）建立应力坐标系，画应力圆,目录,55,1.基本变形时的胡克定律,1）轴向拉压胡克定律,横向变形,2）纯剪切胡克定律,7.4应力与应变间的关系,一、各向同性材料的广义胡克定律,目录

10、,56,2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,7.2广义胡克定律与应变能密度概念,目录,57,7.2广义胡克定律与应变能密度概念,目录,58,3、广义胡克定律的一般形式,7.2广义胡克定律与应变能密度概念,目录,59,二、各向异性材料的广义胡克定律,7.4应力与应变间的关系,正交各向异性,各向异性Cij=Cji,目录,60,三、各向同性材料的体应变,7.4应力与应变间的关系,体积应变与应力分量间的关系,体积应变：,目录,61,代入本构关系，得到体积应变与应力分量间的关系:,对于平面纯剪应力状态，1=-3=，可见，这种情况的=0,三、各向同性材料的体应变,目录,62,例题7-6,为测量薄壁容器所

11、承受的内压力，用电阻应变片测得容器表面环向应变t=350l0-6；容器平均直径D=500mm，壁厚=10mm，E=210GPa，=0.25。求：1.横截面和纵截面上的正应力表达式；2.内压力,目录,63,解：由例7-1的结果可知，容器的环向和轴向应力为,以应力应变关系求内压：,例题7-6,目录,64,7.5空间应力状态下的应变能密度,在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能，用V表示。,某点处单位体积内的应变能称为该点的应变能密度，用v表示。,单向应力状态(轴向拉伸)的应变能密度：,目录,65,7.5空间应力状态下的应变能密度,空间应力状态(轴向拉

12、伸)的应变能密度：,目录,66,7.6强度理论及其相当应力,（拉压）,（弯曲）,（弯曲）,（扭转）,（切应力强度条件）,杆件基本变形下的强度条件,目录,67,7.6强度理论及其相当应力,目录,68,强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。,为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。,目录,7.6强度理论及其相当应力,69,构件由于强度不足将引发两种失效形式,(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最

13、大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。,关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论,(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。,关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论,目录,7.6强度理论及其相当应力,70,1.最大拉应力理论（第一强度理论）,材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值,构件危险点的最大拉应力,极限拉应力，由单拉实验测得,目录,7.6强度理论及其相当应力,71,断裂条件,最大拉应力理论（第一强度理论）,铸铁拉伸,铸铁扭转,目录,72,2.最大伸长线应变理论（第

14、二强度理论）,无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。,构件危险点的最大伸长线应变,极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得,目录,73,实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。,强度条件,最大伸长拉应变理论（第二强度理论）,断裂条件,即,目录,74,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。,3.最大切应力理论（第三强度理论）,构件危险点的最大切应力,极限切应力，由单向拉伸实验测得,目录,75,屈服条件,强度条件,最

15、大切应力理论（第三强度理论）,低碳钢拉伸,低碳钢扭转,目录,76,实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。,局限性：,2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。,1、未考虑的影响，试验证实最大影响达15%。,最大切应力理论（第三强度理论）,目录,77,无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。,4.形状改变比能理论（第四强度理论）,构件危险点的形状改变比能,形状改变比能的极限值，由单拉实验测得,目录,78,屈服条件,强度条件,形状改变比能理论（第四强度理论）,实验表明：对塑性材

16、料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。,目录,79,强度条件的统一表达式：,相当应力分别为,目录,7.6强度理论及其相当应力,80,解：危险点A的应力状态如图,直径为d=0.1m的铸铁圆杆受力T=7kNm,P=50kN，=40MPa,用第一强度理论校核强度。,安全,例题7-7,目录,81,例题7-8,薄壁圆筒受最大内压时,测得x=1.8810-4，y=7.3710-4,用第三强度理论校核其强度。(E=210GPa,=170MPa,=0.3),解：由广义虎克定律得,目录,82,所以，此容器不满足第三强度理论,不安全,主应力,例题7-8,目录,83,例题7-9,在纯剪切应

17、力状态下：用第三强度理论求出：塑性材料的许用切应力与许用拉应力之比用第四强度理论求出：塑性材料的许用切应力与许用拉应力之比,目录,84,解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为,第三强度理论的强度条件为：,由此得：,剪切强度条件为：,按第三强度理论可求得：,例题7-9,目录,85,第四强度理论的强度条件为：,由此得：,剪切强度条件为：,按第三强度理论可求得：,例题7-9,目录,86,*7.7莫尔强度理论及其相当应力,以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据，建立起来的经验性强度理论。,图（a）中各应力圆为材料在各种应力状态下破坏时，由最大、最小主应力画出的极限应力圆，它们的包络线ABC，即为判

18、断材料破坏与否的依据，当某点的应力不超过ABC时，则认为该点不破坏。,（a）,目录,87,由于得到该包络线需要大量的试验，工程中常采用单向拉伸和压缩两个应力圆的切线代替该包络线。图（b）所示。,（b）,强度计算时引入适当的安全因数，即,*7.7莫尔强度理论及其相当应力,目录,88,（c）,对于图（c）应力圆O3代表的任意应力状态，强度条件表达式为：,或写成：,*7.7莫尔强度理论及其相当应力,目录,89,填空题1,冬天自来水管冻裂而管内冰并未破裂，其原因是冰处于应力状态，而水管处于应力状态。,三向压,二向拉,目录,90,填空题2,石料在单向压缩时会沿压力作用方向的纵截面裂开，这与第强度理论的论述基本一致。,二,目录,91,填空题3,一球体在外表面受均布压力p=1MPa作用，则在球心处的主应力1=MPa，2=MPa，3=MPa。,1,1,1,目录,92,填空题4,三向应力状态中，若三个主应力都等于，材料的弹性模量和泊松比分别为E和，则三个主应变为。,目录,93,填空题5,第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为r3及r4，对于纯剪应力状态，恒有r3r4。,目录,94,填空题6,危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应