第3章 控制系统的能控性和能观性幻灯片.ppt

1、3.1能控性的定义，3.2线性时不变系统的能控性判别，3.3线性连续时不变系统的能观性，3.4离散时间系统的能控性和能观性，3.5时变系统的能控性和能观性，3.6能控性和能观性的对偶性，3.7状态空间表达式的能控性和能观性，3.8线性系统的结构分解，3.9传递函数矩阵3.10传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性的关系，1，3.1能控性的定义， 1线性连续时不变系统可控性的定义，线性连续时不变系统：如果有一个分段连续输入可以使系统在有限的时间间隔内从初始状态转移到任何指定的终端状态，那么这个状态是可控的。 如果系统的所有状态都是可控的，那么系统就可以说是完全可控的，或者简单可控的。一些解释：

2、1)在线性时不变系统中，为了简单起见，可以假设初始时间和初始状态是，并且任何终端状态被指定为零状态。也就是说，2，2)也可以假设为=0，并且它是任意的终端状态。换句话说，如果存在不受约束的控制效果，它可以在有限的时间内从零状态被驱动到任意状态。在这种情况下，它被称为状态可达性。3)在讨论可控性时，控制函数在理论上是无约束的，并且它的值不是唯一的，因为我们只关心它是否能被驱动，而不管它的轨迹如何。2线性连续时变系统的可控性的定义，线性连续时变系统：3离散时间系统，其中只考虑单输入N阶线性时不变离散系统：3，3.2.1约旦标准系统的可控性判别，1单输入系统，单输入系统与约旦标准系统矩阵，状态方程为

3、：线性时不变系统可以被控制另一种方法是直接根据状态方程的A和B矩阵来确定其可控性。为简明起见，下面列出三个具有上述类型的二阶系统，并分析它们的可控性。对于公式(3)的系统，系统矩阵A是对角的，其标量微分方程形式如下：2)对于公式(4)的系统，系统矩阵A是Jordan型，微分方程系统是Jordan型；3)对于式(5)的系统，虽然系统矩阵是Jordan型，但控制矩阵第二行的元素是0，这是微观的，3.2.2从A和B直接判断系统的可控性，1。单输入系统，线性连续时不变单输入系统：当且仅当由A和B组成的能控性矩阵是满秩的，即能被控制。否则，在那个时候，系统是无法控制的。对于多输入系统，其状态方程为：可控

4、性的充要条件为矩阵：其中b为阶矩阵；是r维列向量。的等级是。(14)，(15)，8，3.3线性连续时不变系统的可观测性，3.3.1可观测性的定义，可观测性表示输出反映状态向量的能力，这与控制效果没有直接关系，所以在分析可观测性时，我们只需要从齐次状态方程和输出方程开始，也就是说，如果对于任何给定的输入，在有限的观测时间内，如果系统的每一个状态都是可观测的，那么系统就说是完全可观测的，或者说是简单可观测的。(1)、(9)、(3.3.2)还有两种方法来判断稳定系统的可观性。一种是转换系统的坐标，将系统的状态空间表达式转换成约当标准型，然后根据标准型下的C矩阵判断其可观测性。另一种方法是根据A矩阵和

5、C矩阵直接判断其可观测性。1变成乔丹的标准形式。线性时不变系统状态的空间表达式为：在两种情况下描述如下：(1)A是对角矩阵，(2)，10，然后公式(2)以房屋租赁的形式表示，可以是：(3)，(4)，11，从而得到如图所示的结构图。通过将等式(3)引入输出等式(4)，我们得到：(2)A是乔丹标准矩阵，以三阶为例：(12)。这时，状态方程的解是：(13)。从等式(5)可以知道，当且仅当输出矩阵C的第一列中的元素不全为零时，y(t)包含整个系统。2、直接从A矩阵和C矩阵判断系统的可观测性，约旦标准系统具有一系列结构，如图所示：14、3.4、3.4离散时间系统的可控性和可观测性，3.4.1可控性矩阵m

6、，离散时间系统的状态方程如下：(1)、3.4.2可观测性矩阵n、离散时间系统的可观测性，其中，是维列向量；c是输出矩阵，其余与公式(6)相同。(2)、当系统是单输入系统时，公式中的标量控制动作是维列向量；g是系统矩阵；是状态向量。根据第3.3节中可观测性的定义，如果你知道有限采样周期内的输出，你可以唯一地确定任何初始状态向量，那么系统是完全可观测的。现在，可观测性条件是根据这个定义导出的。从公式(1)中，有：如果系统可以被观察到，那么当它是已知的，它应该能够被确定，并且现在它可以从公式(7):(3)中获得，以矩阵形式写：16，当并且仅当有唯一解时，它的系数矩阵的秩等于。这个系数矩阵叫做可观测性

7、矩阵。模拟连续时间系统，表示为n，即(4)、(5)、(17)、(3.5)时变系统的能控性和能观性，(3.5.1)能控性判别，(1)线性时变系统能控性的一些解释。这个限制是为了保证系统状态方程解的存在性和唯一性。3)根据可控性的定义，可以导出可控状态与控制动作之间的关系。4)非奇异变换不改变系统的可控性。2)在定义中，它是系统在允许控制的作用下从初始状态转移到目标状态(原点)的时刻。1)定义中允许的控制在数学上要求其元素在区间内是绝对平方可积的，即18，5)如果它是可控的，它也是可控的，并且它是任何非零实数。7)根据线性代数中线性空间的定义，系统中的所有可控状态构成状态空间中的一个子空间。这个子

8、空间称为系统的可控子空间，表示为。6)如果总和是可控的，它必须是可控的。判断线性连续时变系统的可控性。时变系统的状态方程如下：非奇异。系统在上部状态下完全可控的充要条件是非奇异的格拉姆矩阵。(1)，(2)，19，3.5.2可观测性的判别，1线性时变系统可观测性的讨论，2)根据不可观测性的定义，不可观测状态的数学表达式可以写成：这是一个非常重要的关系表达式，并由此导出以下推论。3)在不改变系统可观性的情况下，对系统进行线性非奇异变换。5)如果和都不能被查看，它们也不能被查看。1)时间间隔是识别初始状态所需的观察时间。对于时变系统，这个区间的大小与初始时间的选择有关。4)如果它是不可观察的，并且是

9、任何非零实数，它也是不可观察的。6)根据前面的分析，可以看出系统的不可观测状态构成了状态空间的一个子空间，(3)20，2线性连续时变系统在可观测性判断上是非奇异的。上态完全可观性的充要条件是Gramm矩阵，3.5.3连续时变系统的能控性和可观性判据与连续时不变系统的判据之间的关系，(5)，21，众所周知，是一个矩阵，因此，这个矩阵的列向量是线性无关的，是非奇异等价的。其中，是列向量，并且列向量是线性独立的，当且仅当由组成的Gramm矩阵是非奇异的。现在，22，3，6中能控性和能观性的对偶关系有其内在的联系，这是由卡尔曼提出的对偶原理决定的。利用对偶关系，系统的可控性分析可以转化为分析，23，其

10、中是维度状态向量；r和m维控制向量；每个都是一个与维输出向量；是系统矩阵；每个都是一个，和，维度控制矩阵；每个都是和维度输出矩阵。24，3.6.2对偶原理，3.6.3时变系统的对偶原理，时变系统的对偶关系与稳定系统的对偶关系略有不同，其对偶原理的证明要复杂得多。对偶原理是现代控制理论中一个非常重要的概念。利用对偶原理，从系统能控性分析中得到的结论可以应用到其对偶系统中，从而可以很容易地得到其对偶系统能观性的结论。系统和是对偶系统，那么它的能控性等价于它的能观性，而它的能观性等价于它的能控性。换句话说，如果状态是完全可控的(完全可观测的)，它就是完全可观测的(完全可控的)。3.7.1单输入系统的

11、可控标准是困难的，如果系统是完全可控的，即它满足：对于一般时不变系统：1可控标准，(1)，如果线性时不变单输入系统是可控的，则存在线性非奇异变换。其中，特征多项式的系数为：28，如果线性时不变单输入系统：2。可控标准型，(6)，相应的状态空间表达式(6)被转换成：(7)，它是可控的，然后有线性非奇异转换：(8)，29，(10)，(11)，它们被称为公式(8)。在公式(9)中是系统特征多项式的系数，即系统的不变量。在公式(11)中，它是乘法的结果，即：(12)、30、3.7.2单输出系统的可观测标准型类似于转化为可控标准型的条件。只有当系统是完全可观测的，也就是说，可观测的标准形才能从系统的状态

12、空间表达式中导出。如果线性时不变系统：是可观测的，则有非奇异变换：(13)，(14)，1。状态空间表达式的可观测范式也有两种形式，可观测范式和可观测范式，分别与可控范式和可控范式相对。31，以便它的状态空间表达式(13)可以变成：(15)，(17)，(18)，32，取变换矩阵：直接验证它，或用对偶原理证明它。证明过程如下：首先构造对偶系统，然后写出对偶系统的可控范式。状态空间表达式的可观测规范形是可控规范形，即对应于(19)，33，的可控标准类型I的系数矩阵；2可观测标准类型，(20)，如果线性时不变单输出系统是可观测的，则存在非奇异变换，其中，它是对应于系统的可控标准类型II的系数矩阵；(2

13、1)，(34)，从而其状态空间表达式(20)被转换成：(22)，(24)，(25)，并且具有公式(22)形式的状态空间表达式被称为可观测标准。35，3.8线性系统的结构分解，3.8.1根据能控性分解，让线性时不变系统，(1)，其能控性决定矩阵的秩：然后有一个非奇异变换，(2)，36，并将状态空间表达式(1)变换成，(3)这个状态结构的分解如图所示，由于遗憾效应，它只作不受控制的自由运动。显然，如果不考虑维数子系统，可以得到低维可控系统。对于非奇异变换矩阵，(7)，其中列向量可以如下构造，前一列向量是可控性矩阵m中线性独立的列，而其它列在它们是非奇异的条件下是完全任意的。39，3.8.2根据可观

14、测性分解，让线性时不变系统：其状态不是完全可观测的，及其可观测性判别矩阵，秩，(8)，然后有非奇异变换，(9)，40，并将状态空间表达式(8)变换成：(10)，(12)显然，如果不考虑其维数不能观测的子系统，就得到一个。可观察的维度系统。，和不可观测的，维子系统：42，非奇异变换矩阵构造如下，取，(14)，43，3.8.3按可控性和可观测性分解。1)如果线性系统不是完全可控和可观测的，如果系统同时按可控性和可观测性分解，则系统可以分解为可控性和可观测性。当然，并不是所有的系统都可以分解成四个部分。2)变换矩阵R确定后，系统可以同时按能控性和能观性进行分解，但R矩阵的构造需要涉及更多的线性空间概

15、念。3)结构分解的另一种方法：首先，将待分解的Jordan范式系统化，然后根据能量空间判别规则和能量管判断每个状态变量的可控类型和可观测性，最后按照可控和可观测、可控和不可观测、不可控和不可观测四种类型进行分类和排列，形成相应的子系统。44，3.9传递函数矩阵的实现，3.9.1实现问题的基本概念。对于给定的传递函数矩阵，如果存在状态空间表达式，则状态空间表达式称为传递函数矩阵的实现。3.9.2可控标准实现和可观测标准实现，(1)3.7节已经介绍过，一旦给出系统的传递函数，可控标准实现和可观测标准实现就可以直接写成。本节介绍如何将这些标准实现扩展到多输入多输出系统。为此，传递函数45和维数矩阵必

16、须以类似于单输入单输出系统的形式写成，即在公式中，它是一个维数常数矩阵；分母多项式是传递函数矩阵的特征多项式。显然，W(s)是一个严格的真有理分式矩阵，此时，W(s)对应于单输入单输出系统的传递函数。式中传递函数矩阵的可控标准形式为：(3)、46、(4)、(5)，类推，其可观测标准形式为：(6)、(7)、(8)、其中和。是零矩阵和单位矩阵；是输入向量的维数。47，3.9.3最低实施，1。最小实现的定义，传递函数W(s)的一种实现：如果在W(s)中没有其他实现：(9)、(10)，因此(9)的维数小于的维数，那么公式(9)的实现称为最小实现。2.寻求最小实现的步骤，传递函数矩阵W(s)的实现，48，是最小实现，当且仅当(a，b，c)是可控制和可观察的，并且省略了这个定理的证明。根据这个定理，用严格的真有理数来确定任何传递函数矩阵的最小实现都是方便的。一般来说，可以如下进行。1)对于给定的传递函数矩阵W(s)，首先选择实现(a，b，c):通常，选择可控标准实现或可观测标准实现是最方便的。2)对于上面选择的实现(a，b，c)，找出完全可控和可观测的部分，因此这个可控和可观测的部分是W(s)的最小实现。零极点对消与状态能控性和能观性之