2017届高考数学大一轮总复习 第七章 立体几何 7.7.1 证明平行与垂直课件 理

1、,第七章立体几何,第七节立体几何中的空间向量方法,最新考纲1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；3.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)；4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。,J基础知识自主学习,1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一向量作为它的方向向量。(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为_,非零,2用向量证明空间中的平

2、行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l2(或l1与l2重合)_。(2)设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量1和2，则l或l_。(3)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l或l。(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则。,12,存在两个实数x，y，使x1y2,u,u1u2,3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l2_。(2)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l_。(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则_。,12,120,u,u1u2,u1u20,4夹角的计算(1)直线间的夹角两直线的夹角：当两条直线l

3、1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在_内的角叫作两直线的夹角。异面直线的夹角：当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作ABl2，我们把的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角。,直线l1和直线AB,设s1，s2分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则,0s1，s2,s1，s2,s1，s2,(2)直线与平面的夹角平面外一条直线与它的夹角叫作该直线与此平面的夹角。设直线l的方向向量为s，平面的法向量为n，直线l与平面的夹角为，则sin|coss，n|_。,在该平面内的投影,(3)平面间的夹角如图所示，平面1与2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面1上作直线l1l，在

4、平面2上作直线l2l，则l1l2R。我们把叫作平面1与2的夹角。,直线l1和l2的夹角,n1，n2,n1，n2,5距离的计算(1)点到直线的距离空间一点A到直线l的距离的算法框图如图：,(2)平行直线间的距离求平行直线间的距离通常转化为求。(3)点到平面的距离空间一点A到平面的距离的算法框图如图：,点到直线的距离,判一判(1)直线的方向向量是唯一确定的。()解析错误。直线的方向向量有无穷多个，不是唯一确定的。(2)两不重合直线l1和l2的方向向量分别为1(1,0，1)，2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行。()解析正确。因为221，所以1与2共线，所以l1与l2的位置关系是平行。,(

5、4)若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2。()解析正确。根据法向量的概念可知，当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面也互相垂直。(5)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角。()解析错误。两直线的方向向量的夹角与这两条直线所成的角相等或互补。(6)直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线与平面的夹角。()解析错误。若直线的方向向量和平面的法向量的夹角为，直线与平面的夹角为，则sin|cos|。,(7)两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角。()解析错误。两个平面的法向量的夹角是这两个平面的夹角或其补角。,解析a(1,0,2)，n(2,0，4)n2a，即an。l。答案B,3在空

6、间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4B2C3D1,4已知平面和的法向量分别是(1,3,4)和(x,1，2)，若，则x_。解析因为，所以两个平面的法向量也垂直，因此(1,3,4)(x,1，2)0，即x5。,5,5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_。,第一课时证明平行与垂直,R热点命题深度剖析,【证明】证法一：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz。,【规律方法】用向量证

7、明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线。(2)线面平行：证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；证明直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示。注：应说明直线在平面外。(3)面面平行：证明两平面的法向量为共线向量；转化为线面平行、线线平行问题。,变式训练1如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点。求证：PB平面EFG。,证明平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形，AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标

8、系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)。,【例2】(2015济南质检)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上。已知BC8，PO4，AO3，OD2。,(1)求证：APBC；【证明】如图所示，以O为坐标原点，以射线OP为z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz。,(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC。,【规律方法】用向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零。

9、(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示。(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示。,变式训练2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。求证：AB1平面A1BD。,利用空间向量解决与垂直、平行有关的探索性问题，是近几年高考考查空间向量应用的一个重要考向；常以是否存在点或参数使线面垂直、平行的形式在解答题中出现。,角度一：探索性问题与平行相结合1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点。(1)求证：B1EAD1；,(2)在棱A

10、A1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。,角度二：探索性问题与垂直相结合,(2)是否存在实数，使得平面AFD平面PCD？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。解因为平面ABCD平面PAC，平面ABCD平面PACAC，且PAAC，所以PA平面ABCD。所以PAAB，PAAD。又因为ABAD，所以PA，AB，AD两两垂直。如图所示，建立空间直角坐标系，因为ABBC1，PAAD2，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，,【规律方法】对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证。另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”。,S思想方法感悟提升,1种思想转化思想在求解立体几何题中的运用用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性