动态电力系统分析第二章 小干扰稳定

1、,North China Electric Power University,Department of Electrical Engineering,Baoding 2008.5-7,动态电力系统分析与控制,目 录,一电力系统数学模型及参数,二电力系统小干扰稳定性分析,五直接法在暂态稳定分析中的应用,三电力系统次同步谐振分析,四电力系统暂态稳定性分析,六电力系统电压稳定性分析,七线性最优控制系统,八非线性控制系统,九电力系统控制,第二章电力系统小干扰稳定性分析目录,一概述,二小干扰分析法,五低频振荡模式及PSS参数设置,三多机电力系统的静态稳定计算(一),四多机电力系统的静态稳定计算(二),

2、电力系统的稳定性在不同的系统工况，不同的扰动下具有不同的性质。电力系统稳定性的分类，根据不同的分类标准和方法而有不同的结果。IEEE的电力工程协会（Power Engineering Society）所属的电力系统工程委员会（Power System Engineering Committee）于1981年提出了关于稳定性分类的意见，将系统稳定性分为两类：小干扰的静态稳定性和大干扰的暂态稳定性。,一概述,静态稳定性的定义为： A power system is steady-state stable for a particular steady-state operation conditi

3、on if, following any small disturbance, it reaches a steady-state operation condition which is identical or close to the prediturbance operating condition. 静态稳定性又称为小干扰稳定性（small disturbance stability）或小信号稳定性（small signal stability）,一概述,对于小干扰，IEEE的定义为： A small disturbance is one for which the equation

4、s that describe the dynamics of the power system may be linearized for the purpose of analysis.,一概述,我国对于静态稳定性的研究侧重于电力系统稳定极限的研究。2001年7月1日起正式执行的新的电力系统安全稳定导则（Guide on security and stability for power system）（DL755-2001）对电力系统静态稳定性的定义为： （静态稳定）是指电力系统受到小干扰后，不发生非周期性失步，自动恢复到初始运行状态的能力。,一概述,由于在稳定性分析中，电力系统稳定极限的

5、研究和电力系统低频振荡问题及其它一些振荡问题都可以统一到用小干扰分析法进行研究。因此本章先介绍小干扰稳定性分析的一般方法，然后再具体介绍各种不同的稳定问题。研究内容包括系统稳定极限，低频振荡。,一概述,2.1. 系统状态方程 诸如电力系统这样的动态系统可以用如下一组n个一阶非线性微分方程来描述它的行为： (2-1) 式中： 是系统的阶数， 是系统输入的个数。 方程(2-1)可写成矩阵形式： (2-2) 式中：,二小干扰分析法,列向量 是状态向量，其元素 是状态变量；列向量 是系统的输入向量，它代表所有影响系统状态的外部信号。时间用t表示， 表示状态变量x对时间t的变化率。如果一系统的所有状态变

6、量x的变化率都不是时间t的显函数，则称该系统为自治系统。此时方程(2-2)可简化为： (2-3),二小干扰分析法,集合x1,x2,xn是系统(1-1)的一个状态。系统的状态是描述该系统行为的一组最少信息。当已知系统在任意时刻t0的状态x0后，就可根据系统tt0时的输入描述该系统tt0后的行为，而不需要知道系统tt0时的输入。 任意一组n个线性独立的系统变量都可以用来表示系统的状态，这些变量称为状态变量。系统的任何其它变量都可以通过状态变量来表示。,二小干扰分析法,系统的状态变量可以是该系统的物理变量，也可以是描述该系统的纯粹数学变量。尽管在任意时刻系统的状态是唯一的，但系统状态变量的选择不是唯

7、一的，即描述系统状态的信息不是唯一的。 描述系统状态的n维欧氏空间称为该系统的状态空间。当选择不同的状态变量表示系统时意味着选择不同的坐标系统。,二小干扰分析法,当系统的状态随时间变化时，在状态空间代表系统状态的点将构成一轨迹，称为状态轨迹。 当系统所有状态变量对时间t的变化率都为0时，系统所有状态变量都保持不变。系统状态轨迹上对应的点x0在状态空间静止不动。这一点称为系统的平衡点或奇异点。 系统的平衡点必须满足方程 (2-4) 式中：x0是状态向量x在平衡点的值。,二小干扰分析法,如果方程(2-3)是线性函数，即方程(2-3)可表示为： (2-5) 那么它表示的系统就是线性的。当该线性系统的

8、矩阵非奇异时，该线性系统只有一个平衡点。而非线性系统有可能有多个平衡点。,二小干扰分析法,2.2. 非线性状态方程的线性化 设x0，u0分别是非线性系统(1-3)在所关注平衡点的状态向量和输入向量。因此x0和u0满足式(2-3)，即： (2-6) 若此时系统受到一小干扰，使得： 这个新状态也满足式(2-3)，因此： (2-7),二小干扰分析法,将非线性函数 在平衡点作Taylor展开。由于是小干扰，因此Taylor级数在忽略二次及以上高次项后，仍能以足够的精度逼近函数 。所以有： 由于 ，有： (2-8),二小干扰分析法,因此，非线性系统(2-3)的线性化状态方程为： 把 分别重新记为 有：

9、(2-9),二小干扰分析法,2.3. 状态方程的本征特性 231特征根与特征向量 前面指出，对于一个动态系统，当选择不同的状态变量时，它的状态方程相应的具有不同的形式。为了对系统特性有更好的了解，我们把系统的状态方程变换成一个标准型。 设 是线性动态系统状态方程的系数矩阵。将 做为 维空间的线性变换，找到这么一个非零向量 ，使变换关系 （2.10） 成立。式中 为标量。 式（2.10）可写成 （2.11）,二小干扰分析法,若 ，则式（2.11）有 维向量 的非零解。满足这个方程的标量 为矩阵 的特征根。特征根可以是实数或复数，若 为实矩阵，则 的复特征根是共轭的。一个动态系统不同的状态方程有相

10、同的特征根。 满足方程 的非零向量 为矩阵 的对应于特征根 的右特征向量。有 2.12） 其中： 。 由于式（2.11）是齐次方程，如果 是特征向量，则 也是特征向量。,二小干扰分析法,相似的，如果 维向量 满足方程 （2.13） 则非零向量 为矩阵 的对应于特征根 的左特征向量。 对应于不同特征根的右特征向量和左特征向量是正交的，即 。而对应于同一特征根的右特征向量和左特征向量有关系 ，其中 是非零常数。若做归一化处理，则有 （2.14）,二小干扰分析法,构造如下模态矩阵： ， ， 则式（2.12）和（2.14）将扩展为： （2.15） ， 从式（2.15）有,二小干扰分析法,当外部输入为0

11、时，线性动态系统的自由运动可从方程 （2.16） 得出。但是从实际物理条件得到的上述形式的方程往往不是分析系统自由运动的最好形式，因为任何一个状态变量的变化率都是所有状态变量的线性组合。由于状态之间的交叉偶合，因此要分析哪些参数对该自由运动有显著影响是非常困难的。 为了消去状态变量之间的交叉偶合，用变换式 （2.17） 构造一个新的状态向量 代替原来的状态向量 。其中 为矩阵 的模态矩阵。,二小干扰分析法,将变换式（2.17）代入方程 ，有 ，即 （2.18） 这是系统状态方程的一种标准型。式（2.18）与式（2.16）的最大区别为 是对角阵，而 往往不是。 方程（2.18）是 个已解偶的一阶

12、方程： ，其解为： 。式中： 是 的初值。,二小干扰分析法,变换式（2.17）的作用是解偶状态方程。回到方程（2.17） 因为： ，即 。当 时，有 。其中 是标量。 所以 。即 （2.19） 式（2.19）给出了由特征根和左特征向量，右特征向量构成的系统自由运动的时间响应表达式。,二小干扰分析法,系统的自由响应（或初值响应）是对应于系统 个特征根的 个动态模式的线性组合。标量 是第 个模式由初值条件产生的激励幅值。如果初始条件正好对应第 个特征向量，则 。此时自由运动仅激励了第 个模式。如果初始条件不是特征向量，则它可以表示为 个特征向量的线性组合，系统的响应将是 个响应的和。如果对应于某个

13、特征向量的分量为0，则相应的模式就没有被激励。,二小干扰分析法,232特征根与系统稳定性 由于对应于特征根 的系统动态模式特性为 ，系统的稳定性与特征根的关系如下： 实数特征根对应于非振荡模式。负实数特征根对应于衰减模式，特征根的幅值越大，衰减越快。正实数特征根对应于非周期失稳。 对应于实数特征根的特征向量和标量 都是实数。 复数特征根以共轭形式出现，每一对对应于一个振荡模式。对应于复数特征根的特征向量和标量 都是相应的复数，使 在任一瞬间都是实数。,二小干扰分析法,特征根的实数分量为阻尼系数，虚数分量为振荡角频率。特征根的实数分量为负数表示一个阻尼振荡模式，而正数表示一个振幅增大的振荡模式。

14、因此，对于一对复数特征根 ，其以 为单位的振荡频率 ，阻尼率为 ，衰减时间常数为 ，即振幅从初值衰减到 倍所用的时间为 秒或 周期。,二小干扰分析法,233模式分布形态，灵敏度和参与因子 状态变量 与 的变换式为 （2.20A） 或 （2.20B） 变量 是表示系统动态响应的原始状态变量。变量 是变换后的状态变量， 仅对应于第 个系统动态模式。即变换后的状态变量 是直接对应于系统动态模式的状态变量。,二小干扰分析法,从式（2.20A）可以看出：右特征向量给出了系统动态模式的分布形态。即某一被激励的模式在各状态变量 中的相应强度。也就是说：右特征向量的元素 的幅值表示第 个动态模式在第 个状态变

15、量 中的幅度， 的角度给出了状态变量 相对于第 个动态模式的角度偏移。 的模大，反映了 对 的可观性强。 从式（2.20B）可以看出：左特征向量 的元素表示第 个状态变量 在第 个动态模式中的比重。 的模大，反映了 的变化可使 有较大变化，可控性强。,二小干扰分析法,下面讨论灵敏度问题。将式（2.12）对矩阵 的元素 求导，有 。 左乘 ，并注意到 和 ，则上式可简化为 因为除了矩阵 第 行第 列对 求导为1外，其它所有的 。所以 即特征根 对矩阵 的元素 的灵敏度等于左特征向量的元素 和右特征向量的元素 的乘积。,二小干扰分析法,采用左，右特征向量来鉴别状态和模式间的关系的困难之一是特征向量

16、的元素决定于状态变量的单位和换算。解决问题的方法之一是使用参与矩阵 。参与矩阵是由左特征向量和右特征向量按如下方式构成的： ，式中 元素 称为参与因子。它表示第 个状态变量参与第 个动态模式的程度，反之亦然。 参与因子 是无量纲的，因此状态变量单位的变换对它没有影响。另外有： 。,二小干扰分析法,234可控性与可观性 系统的状态方程和输出方程为： 用变换后的状态变量 表示，有 （2.21） （2.22） 式中： ， 。,二小干扰分析法,从式（2.21）可以看出，如 的第 行为0，则输入量对第 个模式不起作用。这时就称第 个模式为不可控的动态模式。 从式（2.22）可以看出，如 的第 列为0，则

17、第 个模式对输出量没有贡献，即输出量不反映第 个模式。这时就称第 个模式为不可观的动态模式。这就解释了为什么有些弱阻尼模式从暂态响应监测器上观测不到。,二小干扰分析法,阶矩阵 称为动态模式可控性矩阵， 阶矩阵 称为动态模式可观性矩阵。 根据 和 ，系统的动态模式可分为4类：可控可观的，可控不可观的，不可控可观的和不可控不可观的。,二小干扰分析法,235特征值与传递函数的关系 考虑一个阻尼正弦函数： 式中： 的单位为弧度/每秒， 的单位为弧度。 的单位一般用无量纲单位奈培(NP)，用来纪念数学家John Napier。因此 的单位为奈培/每秒。 对于阻尼正弦函数我们可以参照表示正弦函数的方法，用

18、相量表示法来表示。因为阻尼正弦函数也具有相量表示法所需的性质，即阻尼正弦函数的代数和仍是阻尼正弦函数，阻尼正弦函数的微分或不定积分也还是阻尼正弦函数。在这些运算中 和 可以是变化的，但是 和 是固定不变的。,二小干扰分析法,类似于正弦函数的相量表示法，对阻尼正弦函数有： 用 代替，有： 式中： 。 用这种表示法，我们可以象处理正弦函数那样处理阻尼正弦函数。只不过用 代替 。 由于 是复数，所以称之为复频率。 称之为广义相量。 所有相量表示法中使用的概念，如阻抗，导纳，戴维南定理和诺顿定理，迭加原理等，都可应用到广义相量。,二小干扰分析法,在 平面，二端网络的电压相量和电流相量满足以下关系： 。其中： 是广义阻抗