4 测量误差与数据处理2

1、汽车传感器与测试技术,2020年7月5日,2,第四章 测量数据处理与误差分析,2020年7月5日,3,五 数据处理,三 测量误差的分析与处理,二 不确定度及其表征,一 测量误差概述,本节主要内容,四 测量结果的表达,2020年7月5日,4,一直接测量结果的表达 1. 简单表达 测量工作的目的是要获取被测量的数值。工程上常用测定值的算术平均值 来近似地代替真值X，这时，测量结果可以表达为 这种表达方式常用于粗略的测量中，原因是测定值的算术平均值也存在随机误差。为此，需用数理统计学中区间估计的方法，求得被测参数的真实值在某个置信概率下的置信区间。,4.4 测量结果的表达,2020年7月5日,5,如

2、预先选定置信概率p，即可由t分布表查得 使得 ，由此可得： 所以测量结果可以表达为： 上式的含义为：被测参数的真实值X在置信概率区间 ， 内的置信概率为p。,2020年7月5日,6,如果重复测量次数较多，则 与 的差别可以忽略不计， 可近似地看作标准化正态分布的随机变量。这时，测量结果可以表达为： (p=0.997) (p=0.95) (p=0.68),3.测量次数较多时测量结果的表达,2020年7月5日,7,4. 对测定值进行处理的步骤,1）用系统误差的判定方法判断测量列 ， 中是否含有系统误差，如有，予以消除； 2）求出算术平均值 ； 3）计算各测定值的残差 ，并用残差分析法进一步判断是否

3、存在系统误差，如有，则将其消除； 4）计算测量列的标准误差的估计值 ； 5）用异常数据的取舍准则消除过失误差； 6）计算算术平均值的标准偏差 ； 7）写出测量结果的表达式。,2020年7月5日,8,二、间接测量结果的表达,间接测量是通过对与被测量有固定函数关系的其它量的测量计算出被测量。间接测量可用下式表示： 式中 彼此独立的可以直接测量的量（简称自变量）。 在间接测量中，测量误差是各个直接测量参数误差的函数，即需研究函数的总误差问题。,2020年7月5日,9,已知 ，对 分别进行n次测 量，则将测定值代入函数中，可得间接测量序列 ， ， ， 。如果用 （i1，2，m）表示 测量列的标准误差，

4、以 表示参数Y测量列的标准误差，则 是 的某种组合。根据数理统计学的知识可知： 令 ，称之为误差传递（累积）系数，则上式可写为： 。,1. 平均误差传递（累积定律）,2020年7月5日,10,如果参数Y的间接测定值 服从正态分布，则上式可以表示为： 式中， 可以代表测量列的精密度参数，也可以代表测量结果的精密度参数。即为误差累积定律,2020年7月5日,11,2. 间接测量结果表达,1）间接测量最可信赖值 如果已知 ，对 分别进 行n次测量，则将测定值代入函数中，可得间接测量列 ， ， 。可以证明，在等精密度测量的情况下，将各自变量的算术平均值 代入间接测量函数式，所得的数值等于间接测定值的算

5、术平均值 ，这个值就是间接测量的最可信赖值，即：,2020年7月5日,12,间接测量参数的的真值Y的区间估计比较复杂，如果间接测定值 服从正态分布，而且测量过程的重复次数较多，那么 可近似地看作标准化正态分布的随机变量， 这时，间接测量结果可以表达为 (p=0.68) 式中 算术平均值的标准误差估计值； P 置信概率。,2）间接测量结果的表达,2020年7月5日,13,在极端的情况下，如果对每个自变量只进行一次测量，这时，只能根据测量仪器本身的精密度，估计各自变量的极限误差，并用下式表达间接测量结果。,2020年7月5日,14,3）间接测量的最有利测量条件,间接测量时，测量结果与多个测量因素有

6、关，在怎样的条件下确定这些测量因素才能使测量结果的误差为最小，这就需要确定最有利的测量条件。为了减少间接测量结果的误差，可以从以下两个方面考虑： （1）选择最有利的函数误差公式。在一般情况下，总的函数误差会随着自变量的数目的减少而减少。因此，应选取包含自变量数目最少的函数公式。函数的自变量数目相同，则应选取误差较小的自变量的函数公式。 （2)使各误差传递系数 等于零或为最小。若使各误差传递系数 等于零或为最小，则函数误差可相应减小。 若 ，则该项误差也将为零，即该自变量的误差对函数误差没有影响。 若 为最小，则可减小该自变量误差 对函数误差的影响。,2020年7月5日,15,4.5 数据处理,

7、回归分析解决三个问题： 1、确定函数类型； 2、确定参数值； 3、精度评价,回归分析就是通过对一定数量的观测数据进行统计处理，以找出变量间相互依赖的统计规律。,2020年7月5日,16,一、一元回归分析 为了便于用数学方法研究汽车试验中各被测量之间的规律，在静态测量数据处理中，寻求用简便的经验公式表达各变量之间的关系是很重要的。处理两个变量之间的关系称为一元回归分析。,4.5 数据处理,2020年7月5日,17,如果对两个变量x 和y 分别进行了n次测定，得到n对测定值（ ， ），(i1，2，n)，将其描在直角坐标图上，就得到n个坐标点。若各点都分布在一条直线附近，则可用一条直线来代表变量x与

8、之间的关系。 式中： 回归直线上的理论计算值； 线性回归系数。,4.5 数据处理,2020年7月5日,18,一元线性回归分析的方法和步骤,例：某车辆在水平道路上行驶，测得车辆行驶的距离和时间的数值如表所示。求距离与时间的函数关系。 解：1、回归方程的确定 将表中的数据画在坐标纸上, 如图所示。,2020年7月5日,19,于是可以利用一条直线来代表变量之间的关系 式中： 线性回归系数。 2、确定函数中的各参数 用这条直线算出的 值，代表测定数据的平均值，实测值与平均值之差代表残差，残差值越小说明回归直线越接近理想直线。因此确定回归直线的原则是找出一条直线使其与实测数据之间的误差比任何其他直线与实

9、测数据之间的误差都小，即残差的平方和最小，这就是最小二乘法的基本思想。记为： min,2020年7月5日,20,回归方程的确定就是确定系数a,b,据数学分析知，使Q取最小的a，b必须满足如下方程组： 即,2020年7月5日,21,解得： 或 式中：,2020年7月5日,22,2020年7月5日,23,3、对曲线拟合所得经验公式的精度进行检验,相对误差法： 所谓“精度”，事实上就是相对误差的大小。若能将经验公式的检测结果与实测值之间的相对误差控制在要求的范围内，显然是符合工程上的要求的，即： 式中： 允许的相对误差。,2020年7月5日,24,二、一元非线性回归,1、确定经验公式类型 将测试结果

10、描在坐标图上，并用光滑曲线将其连起来。实验曲线与数学手册上的典型曲线进行比较，选取与试验曲线最接近的曲线方程作为经验公式的类型。 2、将曲线进行直线化变换 如：双曲线方程 令 则： 变为：,2020年7月5日,25,对数曲线 令： 则： 指数曲线 对上式两边取对数得： 令： ， 则： 3、按照前面所介绍的直线（一元线性）拟合的方法进行计算。 4、检验其曲线拟合的精度，若达不到所需精度的要求，则应重新选择曲线类型进行拟合。 5、再将直线方程变换为原曲线方程。,2020年7月5日,26,多项式: 1、多项式次数的确定 多项式次数的确定一般采用差分法。设自变量的取值是等间距的，即： 计算出因变量 的相邻值之间的差值，即一阶差值 二阶差值 三阶差值 n阶差值为,三、将试验结果拟合成多项式,2020年7月5日,27,当某阶差值满足下列关系式时， 式中： 的测量误差。 2、确定多项式的系数-用最小二乘法，即： 令 ， ， ， ，即可求出 ， ， ， 的数值,2020年7月5日,28,3经验公式精度的检验 多项式的曲线拟合，其拟合精度的检验方法与一元线性回归相同。,2020年7月5日,29,三、多元线性回归分析,1、多元线性方程 对一组样本 ，设其与 线性相关，即： 式中： 为待定系数； 为n个相互独立相等精度的正