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文档简介
1、函函数数值值域域求求法法十十一一种种 在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究 函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数 的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉 及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起 到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1 1. . 直直接接观观察察法法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x 1 y 的值域。 解: 0 x
2、0 x 1 显然函数的值域是: ), 0() 0 , ( 例2. 求函数 x3y 的值域。 解: 0 x 3x3 , 0 x 故函数的值域是: 3 , 2 2. . 配配方方法法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 2 , 1x, 5x2xy 2 的值域。 解:将函数配方得: 4) 1x(y 2 2 , 1x 由二次函数的性质可知:当x=1时, 4ymin ,当1x时, 8ymax 故函数的值域是:4,8 3 3. . 判判别别式式法法 例4. 求函数 2 2 x1 xx1 y 的值域。 解:原函数化为关于 x的一元二次方程 0 x) 1y(x) 1y( 2 (1)当 1
3、y 时,Rx 0) 1y)(1y(4) 1( 2 解得:2 3 y 2 1 (2)当y=1时, 0 x ,而 2 3 , 2 1 1 故函数的值域为 2 3 , 2 1 例5. 求函数 )x2(xxy 的值域。 解:两边平方整理得: 0yx) 1y(2x2 22 (1) Rx 0y8) 1y(4 2 解得: 21y21 但此时的函数的定义域由 0)x2(x ,得 2x0 由 0 ,仅保证关于 x的方程: 0yx) 1y(2x2 22 在实数集 R有实根,而不能确保其实 根在区间 0,2上,即不能确保方程(1)有实根,由 0 求出的范围可能比 y的实际范围大,故不能确 定此函数的值域为 2 3
4、, 2 1 。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 2x0 0)x2(xxy 21y, 0ymin 代入方程( 1) 解得: 2 , 0 2 2222 x 4 1 即当2 2222 x 4 1 时, 原函数的值域为: 21 , 0 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域, 将扩大的部分剔除。 4 4. . 反反函函数数法法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x5 4x3 值域。 解:由原函数式可得: 3y5 y64 x 则其反函数为:3x5 y64 y ,其定义域为:5 3 x 故所求函数的
5、值域为: 5 3 , 5 5. . 函函数数有有界界性性法法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。 例7. 求函数1e 1e y x x 的值域。 解:由原函数式可得: 1y 1y ex 0ex 0 1y 1y 解得: 1y1 故所求函数的值域为 ) 1 , 1( 例8. 求函数3xsin xcos y 的值域。 解:由原函数式可得: y3xcosxsiny ,可化为: y3)x(xsin1y2 即 1y y3 )x(xsin 2 Rx 1 , 1)x(xsin 即 1 1y y3 1 2 解得:4 2 y 4 2 故函数的值域为 4 2 , 4 2
6、6 6. . 函函数数单单调调性性法法 例9. 求函数 )10 x2(1xlog2y 3 5x 的值域。 解:令 1xlogy,2y 32 5x 1 则21 y,y 在2,10上都是增函数 所以21 yyy 在2,10上是增函数 当x=2时,8 1 12log2y 3 3 min 当x=10时, 339log2y 3 5 max 故所求函数的值域为: 33, 8 1 例10. 求函数 1x1xy 的值域。 解:原函数可化为: 1x1x 2 y 令 1xy , 1 xy 21 ,显然21 y,y 在 , 1 上为无上界的增函数 所以1 yy ,2 y 在 , 1 上也为无上界的增函数 所以当x=
7、1时,21 yyy 有最小值2,原函数有最大值 2 2 2 显然 0y ,故原函数的值域为 2, 0( 7. 换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式 模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例11. 求函数 1xxy 的值域。 解:令 t1x , )0t ( 则 1tx 2 4 3 ) 2 1 t (1tty 22 又 0t ,由二次函数的性质可知 当 0t 时, 1ymin 当 0t 时, y 故函数的值域为 ), 1 例12. 求函数 2 ) 1x(12xy 的值域。 解:因 0) 1x(1 2 即 1
8、) 1x( 2 故可令 , 0,cos1x 1cossincos11cosy 2 1) 4 sin(2 4 5 4 0 , 0 211) 4 sin(20 1) 4 sin( 2 2 故所求函数的值域为 21 , 0 例13. 求函数1x2x xx y 24 3 的值域。 解:原函数可变形为: 2 2 2 x1 x1 x1 x2 2 1 y 可令 tgx ,则有 2 2 2 2 cos x1 x1 ,2sin x1 x2 4sin 4 1 2cos2sin 2 1 y 当82 k 时,4 1 ymax 当82 k 时,4 1 ymin 而此时 tan 有意义。 故所求函数的值域为 4 1 ,
9、4 1 例14. 求函数 ) 1x)(cos1x(siny , 2 , 12 x 的值域。 解: ) 1x)(cos1x(siny 1xcosxsinxcosxsin 令 txcosxsin ,则 ) 1t ( 2 1 xcosxsin 2 22 ) 1t ( 2 1 1t) 1t ( 2 1 y 由 )4/xsin(2xcosxsint 且 2 , 12 x 可得: 2t 2 2 当 2t 时, 2 2 3 ymax ,当2 2 t 时,2 2 4 3 y 故所求函数的值域为 2 2 3 , 2 2 4 3 。 例15. 求函数 2 x54xy 的值域。 解:由 0 x5 2 ,可得 5|x
10、| 故可令 , 0,cos5x 4) 4 sin(10sin54cos5y 0 4 5 44 当 4/ 时, 104ymax 当 时, 54ymin 故所求函数的值域为: 104 ,54 8 8. . 数数形形结结合合法法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若 运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例16. 求函数 22 )8x()2x(y 的值域。 解:原函数可化简得: |8x|2x|y 上式可以看成数轴上点P(x)到定点 A(2) , )8(B 间的距离之和。 由上图可知,当点 P在线段AB上时, 10|AB|8x|2x|y 当
11、点P在线段AB的延长线或反向延长线上时, 10|AB|8x|2x|y 故所求函数的值域为: ,10 例17. 求函数 5x4x13x6xy 22 的值域。 解:原函数可变形为: 2222 ) 10()2x()20()3x(y 上式可看成 x轴上的点 )0 , x(P 到两定点 ) 1, 2(B),2 , 3(A 的距离之和, 由图可知当点 P为线段与 x轴的交点时, 43) 12()23(|AB|y 22 min , 故所求函数的值域为 ,43 例18. 求函数 5x4x13x6xy 22 的值域。 解:将函数变形为: 2222 ) 10()2x()20()3x(y 上式可看成定点 A(3,2
12、)到点P(x,0)的距离与定点 ) 1 , 2(B 到点 )0 , x(P 的距离之差。 即: |BP|AP|y 由图可知:( 1)当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时,如点 P,则构成ABP,根据三角 形两边之差小于第三边,有 26) 12()23(|AB| BP| AP| 22 即: 26y26 (2)当点P恰好为直线 AB与x轴的交点时,有 26|AB|BP|AP| 综上所述,可知函数的值域为: 26,26( 注:由例 17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之 差时,则要使 A,B两点在x轴的同侧。 如:例17的A,B两点坐标分别为:
13、(3,2) , ) 1, 2( ,在x轴的同侧;例 18的A,B两点坐标分别 为( 3,2) , ) 1, 2( ,在x轴的同侧。 9 9. . 不不等等式式法法 利用基本不等式 abc3cba,ab2ba 3 )Rc, b, a ( ,求函数的最值,其题型特征 解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边 平方等技巧。 例19. 求函数 4) xcos 1 x(cos) xsin 1 x(siny 22 的值域。 解:原函数变形为: 5 2xcotxtan3 xcotxtan3 xsecxces1 xcos 1 xsin 1 )xcosx(siny
14、223 22 22 22 22 当且仅当 xcotxtan 即当4 kx 时 )zk( ,等号成立 故原函数的值域为: ), 5 例20. 求函数 x2sinxsin2y 的值域。 解: xcosxsinxsin4y xcosxsin4 2 27 64 3/ )xsin22xsinx(sin8 )xsin22(xsinxsin8 xcosxsin16y 3222 222 24 当且仅当 xsin22xsin 22 ,即当3 2 xsin 2 时,等号成立。 由27 64 y2 可得:9 38 y 9 38 故原函数的值域为: 9 38 , 9 38 1 10 0. . 一一一一映映射射法法 原
15、理:因为 )0c ( dcx bax y 在定义域上 x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量 范围,就可以求另一个变量范围。 例21. 求函数1x2 x31 y 的值域。 解: 定义域为 2 1 x 2 1 x|x或 由1x2 x31 y 得 3y2 y1 x 故 2 1 3y2 y1 x 或 2 1 3y2 y1 x 解得2 3 y 2 3 y或 故函数的值域为 , 2 3 2 3 , 1 11 1. . 多多种种方方法法综综合合运运用用 例22. 求函数3x 2x y 的值域。 解:令 )0t (2xt ,则 1t3x 2 (1)当 0t 时, 2 1 t 1 t 1 1t t
16、y 2 ,当且仅当 t=1,即1x时取等号,所以2 1 y0 (2)当t=0时, y=0。 综上所述,函数的值域为: 2 1 , 0 注:先换元,后用不等式法 例23. 求函数 42 432 xx21 xxx2x1 y 的值域。 解: 42 3 42 42 xx21 xx xx21 xx21 y 2 2 2 2 x1 x x1 x1 令2 tanx ,则 2 2 2 2 cos x1 x1 sin 2 1 x1 x 2 1sin 2 1 sinsin 2 1 cosy 22 16 17 4 1 sin 2 当4 1 sin 时,16 17 ymax 当 1sin 时, 2ymin 此时2 ta
17、n 都存在,故函数的值域为 16 17 , 2 注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 sin 的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方 法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。 难点磁场难点磁场 ()设 m 是实数,记 M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+). 1 1 m (1)证明:当 mM 时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义, 则 mM. (2)当 mM 时,求函数 f(x)的最小值. (3)求证:对每个 mM,函数 f(x)的
18、最小值都不小于 1. 案例探究案例探究 例例 1设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为(1),画 面的上、下各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使 宣传画所用纸张面积最小?如果要求 ,那么为何值时,能使宣传画所用纸 4 3 , 3 2 张面积最小? 命题意图:本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题,同时考查运用所学知 识解决实际问题的能力,属级题目. 知识依托:主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识. 错解分析:证明 S()在区间上的单调性容易出错,其次不易把应用问题转 4 3 , 3 2 化为函数的最值问题来
19、解决. 技巧与方法:本题属于应用问题,关键是建立数学模型,并把问题转化为函数的最值 问题来解决. 解:设画面高为 x cm,宽为x cm,则x2=4840,设纸张面积为 S cm2,则 S=(x+16) (x+10)=x2+(16+10)x+160,将 x=代入上式得:S=5000+44 (8+),当 1022 10 5 8=,即=1)时 S 取得最小值.此时高:x=88 cm,宽:x=88=55 5 8 5 ( 8 5 4840 8 5 cm. 如果可设10, 21 8 5 3 2 21 5 S(1)S(2)0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.) 命题意图:本题主要考查函数的最小值以及单调
20、性问题,着重于学生的综合分析能力 以及运算能力,属级题目. 知识依托:本题主要通过求 f(x)的最值问题来求 a 的取值范围,体现了转化的思想与 分类讨论的思想. 错解分析:考生不易考虑把求 a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决. 技巧与方法:解法一运用转化思想把 f(x)0 转化为关于 x 的二次不等式;解法二运用 分类讨论思想解得. (1)解:当 a=时,f(x)=x+2 2 1 x2 1 f(x)在区间1,+ 上为增函数,) f(x)在区间1,+ 上的最小值为 f(1)=.) 2 7 (2)解法一:在区间1,+ 上,f(x)= 0 恒成立x2+2x+a0 恒成立.) x axx
21、2 2 设 y=x2+2x+a,x1,+) y=x2+2x+a=(x+1)2+a1 递增, 当 x=1 时,ymin=3+a,当且仅当 ymin=3+a0 时,函数 f(x)0 恒成立,故 a3. 解法二:f(x)=x+2,x1,+ x a ) 当 a0 时,函数 f(x)的值恒为正; 当 a0 时,函数 f(x)0 恒成立,故 a3. 歼灭难点训练歼灭难点训练 一、选择题一、选择题 1.()函数 y=x2+ (x)的值域是( ) x 1 2 1 A.(,B.,+ 4 7 4 7 ) C.,+D.(, 2 233 ) 3 2 2 3 2.()函数 y=x+的值域是( )x21 A.(,1B.(
22、,1 C.RD.1,+) 二、填空题二、填空题 3.()一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地 铁路线长 400 千米,为了安全,两列货车间距离不得小于()2千米 ,那么这批物资全部 20 V 运到 B 市,最快需要_小时(不计货车的车身长). 4.()设 x1、x2为方程 4x24mx+m+2=0 的两个实根,当 m=_时, x12+x22有最小值_. 三、解答题三、解答题 5.()某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元,而每生产 100 台产品时 直接消耗成本要增加 2500 元,市场对此商品年需求量为 500 台,销售的收入函数为 R(x)
23、 =5xx2(万元)(0 x5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台) 2 1 (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本? 6.()已知函数 f(x)=lg(a21)x2+(a+1)x+1 (1)若 f(x)的定义域为(,+),求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)的值域为(,+),求实数 a 的取值范围. 7.()某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周 (按 120 个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台.已知生产家 电产品每台所需工时和每台产值如下表:
24、家电名称空调器彩电冰箱 工时 2 1 3 1 4 1 产值(千元)432 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以 千元为单位) 8.()在 RtABC 中,C=90,以斜边 AB 所在直线为轴将ABC 旋转一周 生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为 S1,ABC 的内切圆面积为 S2,记 =x. AB CABC (1)求函数 f(x)=的解析式并求 f(x)的定义域. 2 1 S S (2)求函数 f(x)的最小值. 参考答案参考答案 难点磁场难点磁场 (1)证明:先将 f(x)变形:f(x)=log3(x2m)2+m+, 1 1 m 当 mM 时,m
25、1,(xm)2+m+0 恒成立,故 f(x)的定义域为 R. 1 1 m 反之,若 f(x)对所有实数 x 都有意义,则只须 x24mx+4m2+m+0,令0,即 1 1 m 16m24(4m2+m+)0,解得 m1,故 mM. 1 1 m (2)解析:设 u=x24mx+4m2+m+,y=log3u 是增函数,当 u 最小时,f(x)最小. 1 1 m 而 u=(x2m)2+m+,显然,当 x=m 时,u 取最小值为 m+,此时 f(2m)=log3(m+ 1 1 m1 1 m )为最小值. 1 1 m (3)证明:当 mM 时,m+=(m1)+ +13,当且仅当 m=2 时等号成立. 1
26、1 m1 1 m log3(m+)log33=1. 1 1 m 歼灭难点训练歼灭难点训练 一、1.解析:m1=x2在(,)上是减函数,m2=在(,)上是减函数, 2 1 x 1 2 1 y=x2+在 x(,)上为减函数, x 1 2 1 y=x2+ (x)的值域为,+ . x 1 2 1 4 7 ) 答案:B 2.解析:令=t(t0),则 x=.x21 2 1 2 t y=+t= (t1)2+11 2 1 2 t 2 1 值域为(,1 . 答案:A 二、3.解析:t=+16()2/V=+2=8. V 400 20 V V 400 400 16V 16 答案:8 4.解析:由韦达定理知:x1+x
27、2=m,x1x2=,x12+x22=(x1+x2) 4 2m 22x1x2=m2 =(m)2,又 x1,x2为实根,0.m1 或 m2,y=(m 2 2m 4 1 16 17 )2在区间(,1)上是减函数,在2,+ 上是增函数又抛物线 y 开口向上且以 4 1 16 17 ) m=为对称轴.故 m=1 时, 4 1 ymin=. 2 1 答案:1 2 1 三、5.解:(1)利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R(x)与其总成本 C(x)之 差,由题意,当 x5 时,产品能全部售出,当 x5 时,只能销售 500 台,所以 y= ) 1( 25 . 0 12 )50( 5 . 0
28、2 1 75 . 4 )5)(25 . 0 5 . 0()5 2 1 55( )50)(25 . 0 5 . 0( 2 1 5 2 2 2 xx xxx xx xxxx (2)在 0 x5 时,y=x2+4.75x0.5,当 x=4.75(百台)时, 2 1 a b 2 ymax=10.78125(万元) ,当 x5(百台)时,y120.255=10.75(万元) , 所以当生产 475 台时,利润最大. (3)要使企业不亏本,即要求 025 . 0 12 5 05 . 075 . 4 2 1 50 2 x x xx x 或 解得 5x4.750.1(百台)或 5x48(百台)时,即企业年产量
29、在 105625.21 台到 4800 台之间时,企业不亏本. 6.解:(1)依题意(a21)x2+(a+1)x+10 对一切 xR 恒成立,当 a210 时,其充 要条件是, 1 3 5 11 , 0) 1(4) 1( 01 22 2 aa aa aa a 或 或 即 a1 或 a.又 a=1 时,f(x)=0 满足题意,a=1 时不合题意.故 a1 或 a为 3 5 所求. 3 5 (2)依题意只要 t=(a21)x2+(a+1)x+1 能取到(0,+)上的任何值,则 f(x)的值域为 R,故有,解得 1a,又当 a21=0 即 a=1 时,t=2x+1 符合题意而 a=1 时不 0 01
30、 2 a 3 5 合题意,1a为所求. 3 5 7.解:设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,由题意得: x+y+z=360 120 4 1 3 1 2 1 zyx x0,y0,z60. 假定每周总产值为 S 千元,则 S=4x+3y+2z,在限制条件之下,为求目标函数 S 的 最大值,由消去 z,得 y=3603x. 将代入得:x+(3603x)+z=360,z=2x z60,x30. 再将代入 S 中,得 S=4x+3(3603x)+22x,即 S=x+1080.由条件及上式知,当 x=30 时,产值 S 最大,最大值为 S=30+1080=1050(千元).得 x=
31、30 分别代入和得 y=36090=270,z=230=60. 每周应生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值最大,最大产值为 1050 千元. 8.解:(1)如图所示:设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h=, c ab S1=ah+bh=,) 2 (),( 2 2 cba Sba c ab f(x)= 2 2 1 )( )(4 cbac baab S S 又 ) 1( 2 2 2 222x c ab cxba cba x c ba 代入消 c,得 f(x)=. 1 )(2 2 x xx 在 RtABC 中,有 a=csinA,b=ccosA(0
32、A,则 2 ) x=sinA+cosA=sin(A+).1x. c ba 2 4 2 (2)f(x)= +6,设 t=x1,则 t(0, 1),y=2(t+)+6 在(0, 1 2 ) 1(2 1 )(2 2 x x x xx 2 t 2 1 上是减函数,当 x=(1)+1=时,f(x)的最小值为 6+8.2222 E D O C B A 第 3 题 B C A 第 5 题图 圆 一、选择题。一、选择题。 1 1、 (2010 南通)南通) 如图,O 的直径 AB=4,点 C 在O 上,ABC=30,则 AC 的长是( ) A1B CD223 2 2、 (2010 浙江嘉兴)浙江嘉兴)如图,A
33、、B、C 是O 上的三点, 已知,则( )60OC AB CD20253045 3、 (2010 湖南郴州)湖南郴州)如图,是的直径,为弦,于,则下ABCDCDABE 列结论中不成立的是( ) AD CEDE90ACB CEBD 4、如图,PA、PB 是 O 的切线,切点分别是 A、B,如果P60,那么AOB 等于( ) A.60 B.90C.120D.150 5、 (2010 山东青岛市)如图,在 RtABC中,C = 90,B = 30,BC = 4 cm,以点C为圆心,以 2 cm 的长为半径作圆,则C与AB的位置关系是( ) A相离B相切 C相交D相切或相交 O AB C A B CD
34、 O M 第 8 题图 二、填空题。 6、 (2010 重庆綦江县)如图所示,A、B、C、D 是圆上的点,168, A40则D_ 7 7、 (2010 黄冈)黄冈)如图,O 中, 的度数为 320,则圆周角 MAN MAN_. 8 8 (2010 福建宁德)福建宁德)如图,在直径 AB12 的O 中,弦 CDAB 于 M,且 M 是半径 OB 的中点,则弦 CD 的长是_(结果保留根号). 9 9、 (2009 年娄底)如图 6,已知 AB 是O 的直径,PB 是O 的切线,PA 交O 于 C,AB=3cm,PB=4cm,则 BC= . 1010、 (2010 陕西西安)陕西西安)如图是一条水
35、平铺设的直径为 2 米的通水管道横截面, 其水面宽为 1.6 米,则这条管道中此时最深为 米。 三、解答题。 11、 (2010 福建福州)如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,点 P 在 O 上,1C (1)求证:CBPD; (2)若 BC3,sinP ,求O 的直径 3 5 1 D C B A 第 6 题图 第 7 题图 第 10 题图 12、 (2010 广东中山)广东中山)如图,PA 与O 相切于 A 点,弦 ABOP,垂足为 C,OP 与O 相交于 D 点,已知 OA=2,OP=4 (1)求POA 的度数; (2)计算弦 AB 的长 13、如图,AB 是O 的直径,BD
36、是O 的弦,延长 BD 到点 C,使 DC=BD, 连结 AC,过点 D 作 DEAC,垂足为 E. (1)求证:AB=AC; (2)求证:DE 为O 的切线; (3)若O 的半径为 5,BAC=60,求 DE 的长. 14、如图,O 的直径 AB=6cm,D 为O 上一点,BAD=30,过点 D 的 E O DCB A A B C D 图7 O 切线交 AB 的延长线于点 C。 求:(1)ADC 的度数; (2)AC 的长。 15、如图,在的外接圆中,是弧 BC 的中点,交于点,连ABCODADBCE 结BD (1)列出图中所有相似三角形; (2)连结,若在弧 BAC 上任取一点(点除外)
37、,连结DCKABC, 交于点,是否成立?若成立,给出证明;CKDKDK,BCFDKDFDC 2 若不成立,举例说明 A B C D E O 圆知识点总结圆知识点总结 圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的圆与三角形、四边形一样都是研究相关图形中的线、角、周长、面积线、角、周长、面积等知识。包括等知识。包括 性质定理与判定定理及公式性质定理与判定定理及公式。 一一 集合:集合: 圆:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二二 轨迹:轨迹: 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是:以
38、定点为圆心,定长为半径的圆; 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是:线段的中垂线; 3、到角两边距离相等的点的轨迹是:角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条 r d d C B A O d rd=r r d 图 1 r R d 图 2 r R d 图 3 rR d 图 4 r R d 图 5 r R d O C D A B O E DC B A 直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的 一条直线 三三 位置关系:位置关系: 1 点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点 A 在圆外 2 直线与圆
39、的位置关系: 直线与圆相离 dr 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 dR+r 外切(图 2) 有一个交点 d=R+r 相交(图 3) 有两个交点 R-rdR+r 内切(图 4) 有一个交点 d=R-r 内含(图 5) 无交点 dR-r 四四 垂垂 径定径定 理理: 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论 1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理:此定理中共 5 个
40、结论中,只要知道其中 2 个即 可推出其它 3 个结论,即: AB 是直径 ABCD CE=DE 推论 2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在O 中,ABCD AA BCBD AA ACAD F E D C B A O C B A O D C B A O C BA O C BA O NM A O 五五 圆心角定理圆心角定理 六六 圆周角定理圆周角定理 圆周角定理:同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即:AOB 和ACB 是 所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB 圆周角定理的推论: 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对 的弧是等弧 即:在O 中,C、D 都是所对的圆周角 C=D 推论 2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半 圆,所对的弦是直径 即:在O 中,AB 是直
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