材料力学弯曲内力

1、第四章 弯曲内力,41 平面弯曲的概念,42 梁的剪力和弯矩,43 剪力图和弯矩图,44 剪力、弯矩与荷载集度间的关系,45 按叠加原理作弯矩图,41 平面弯曲的概念,一、弯曲的概念,1. 弯曲: 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2. 梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,3. 工程实例,二、平面弯曲,杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。,三、简单静定梁,悬臂梁,简支梁,外伸梁,火车轮轴简化,梁的载荷与支座,车削工件,吊车大梁简化,受均布载荷,4

2、2 梁的剪力和弯矩,f,a,b,a,l,f,a,b,fax,fay,fb,荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。,p,a,b,a,l,将梁从位置截开，取左侧。,x,a,fay,fs,m,x,因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用fs 表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用m 表示之。,剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；,弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。,fs,fs,fs,fs,m,m,m,m,剪力正负的规定,弯矩正负的规定,内力通过平衡方程计算。,a,fay,fs,m,x,计算

3、梁内力的步骤：, 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；, 将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；, 画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；, 列平衡方程 fx= 0，求剪力fs ； m= 0，求弯矩。,例1 求图示梁1、2、3、4截面的内力。,a,b,c,d,2m,2m,2m,f=12kn,q=2kn/m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：取整体，,fa,fb,11截面,fa,1,1,fs1,m1,a,由1 1 截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩m=0。,c,p=12kn,22截面,fa,2,2,fs2,m2,a,fa,3,3,fs3,m3,a,3

4、3截面,d,2,2,3,3,p,fs3,m3,fs2,m2,由2、3 截面的内力计算可得如下结论：, 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；, 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。,c,4,4,m4,fs4,44 截面,由44 截面的内力计算可得如下结论：, 自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：f=0 ；, 自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：m=0 。,例2 求图示梁1、2、3 截面的内力。,解：取整体，,11截面,fa,1,1,fs1,a,m1,m1,fa,2,2,fs2,m2,a,3,3,fs3,m3,b,m1,22截面

5、,33截面,fb,由2、3 截面的内力计算可得如下结论：, 集中力偶两侧截面的的剪力相等；, 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。,c,2,2,3,3,fs3,m3,fs2,m2,m2,例3 求图示梁1、2、3 截面的内力。,解：取整体,11截面,fa,1,1,fs1,m1,a,b,fa,2,2,fs2,m2,a,m,22截面,3,3,fs3,m3,fb,q,33截面,b,43 剪力图和弯矩图,q,x,q,l-x,l,fs(x),m(x),图示梁任一截面的内力。,截面剪力是截面坐标的函数，称为剪力方程。,截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩

6、方程。,q,x,l,剪力方程 的函数图象称为剪力图。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。,剪力图,ql,x,fs,弯矩方程 的函数图象称为弯矩图。,-ql2/2,弯矩图,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩 方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,4,例题5,图示简支梁c点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,fayf b/ l fbyf a/l,2写出剪力和弯矩方程,ac,cb,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题6,图示简支梁c点受集中力偶作用

7、。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,faym / l fby -m / l,2写出剪力和弯矩方程,ac,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题7,简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,fay fby ql/2,2写出剪力和弯矩方程,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题8,44 剪力、弯矩与荷载集度间的关系,a,b,dx,x,q(x),m(x)+d m(x),fs(x)+d fs(x),fs(x),m(x),dx,o,取微段dx ，受力如图。,a,b,dx,x,略去高阶微量得：, 当q = 0 ，fs =常数， f

8、s 图为平直线；,m 为一次函数，m 图为斜直线；, 当q =常数 ， fs为一次函数， fs 图为斜直线；,m 为二次函数，m 图为抛物线；,当m 图为抛物线时，画m 图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。,由：,可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。,1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变化，成为一个转折点。 2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶矩数值。 3、 的绝对值可能发生在剪力等于0处，也可能发生在集中力作用处，还有集中力偶处。,根据m、fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。,另外：,根据m、 fs与q之间的关系画剪力图

9、和弯矩图的步骤如下：, 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；, 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；, 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由fs = 0确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；, 用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩 连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。,例9 画图示梁的剪力图和弯矩图。,解：取整体,fs图,m图,fs,m,1,2,3,4,=,=,0,0,b,a,c,2m,m=12kn.m,q=6kn/m,4,4,2,2,3,fa=6kn,f

10、b=18kn,3,4m,1,1,fs图,m图,fs,m,1,2,3,4,5,=,=,0,0,fa,2,2,fs2,m2,a,6,6,6,12,b,fs图,m图,fs,m,1,2,3,4,=,=,0,0,6,6,-18,12,fa,3,3,fs3,m3,a,m,24,b,4,4,m4,fs4,fb,6,a,c,2m,m=12kn.m,q=6kn/m,4,4,2,2,3,fa=6kn,fb=18kn,3,4m,1,1,fs图,m图,fs,m,1,2,3,4,5,=,=,0,0,6,6,-18,12,24,b,6,6kn,18kn,3m,5,5,5,5,fs5,m5,fb,q,0,27,12kn.m

11、,24kn.m,27kn.m,b,例10 画图示梁的剪力图和弯矩图。,a,c,2m,f=6kn,q=3kn/m,6,6,2,2,3,fa,fb,3,2m,1,1,解：取整体,fs图,m图,fs,m,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,b,4,4,5,5,d,6,=,=,=,a,c,2m,f=6kn,q=3kn/m,6,6,2,2,3,fa=5kn,fb=7kn,3,2m,1,1,fs图,m图,fs,m,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,b,4,4,5,5,d,6,=,=,=,5,-7,5,fa,3,3,fs3,m3,a,f,-1,-1,-1,10,10,5kn,1kn,7kn,1

12、0kn.m,a,c,2m,f=6kn,q=3kn/m,6,6,2,2,3,fa=5kn,fb=7kn,3,2m,1,1,fs 图,m图,fs,m,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,b,4,4,5,5,d,6,=,=,=,5,-7,5,ra,4,4,fs 4,m4,a,p,-1,-1,-1,10,10,5kn,1kn,7kn,10kn.m,8kn.m,8,8,例11 画图示梁的内力图。,a,b,c,4m,2m,p=4kn,q=2kn/m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：取整体，,fb,ma,fs图,m图,fs,m,1,2,3,4,=,=,0,0,8,4,4,a,b,c,4m,2m,p

13、=4kn,q=2kn/m,1,1,2,2,3,3,4,4,fb=12kn,fs图,m图,fs,m,1,2,3,4,=,=,0,0,8,4,4,ma=8kn.m,p=4kn,2,2,fb,fs2,m2,-8,-8,-8,4kn,8kn,8kn.m,8kn.m,c,b,例12 画图示梁的内力图。,a,b,c,d,3m,4m,2m,f=3kn,q=1kn/m,1,1,2,2,3,3,6,6,解：取整体，,fa,fc,4,4,5,5,m=6kn.m,fs图,m图,(kn),(kn.m),a,b,c,d,3m,4m,2m,p=3kn,q=1kn/m,1,1,2,2,3,3,6,6,fa=2.5kn,fc

14、 =6.5kn,4,4,5,5,m=6kn.m,fs 图,m图,(kn),(kn.m),2.5,3,3.5,a,b,c,d,3m,4m,2m,p=3kn,q=1kn/m,1,1,2,2,3,3,6,6,fa=2.5kn,fc =6.5kn,4,4,5,5,m=6kn.m,fs图,m图,(kn),(kn.m),2.5,3,3.5,fa,3,3,fs3,m3,a,m,q,9,4,a,b,c,d,3m,4m,2m,p=3kn,q=1kn/m,1,1,2,2,3,3,6,6,fa=2.5kn,fc =6.5kn,4,4,5,5,m=6kn.m,fs图,m图,(kn),(kn.m),2.5,3,3.5,

15、fa,2,2,fs2,m7,a,q,9,4,2,2.5m,fa,7,7,fs7,a,q,7,7,3.125,m2,二、按叠加原理作弯矩图,q,m,a,b,l,m,a,b,l,q,a,b,l,=,+,fa=m/l,fb=m/l,fa=ql/2,fb=ql/2,fs图,m图,m/l,m,ql/2,ql/2,ql2/8,m/l+ ql/2,m/l- ql/2,m,ql2/8,=,+,+,=,mmax,p,m,a,b,l/2,m,a,b,a,b,=,+,fa=m/l,fb=m/l,ra=p/2,fb=p/2,fs图,m图,m/l,m,p/2,p/2,pl/4,m/l+ p/2,m/l- p/2,m,p

16、l/4,=,+,+,=,l/2,l/2,l/2,l/2,l/2,p,应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况：,l/2,l/2,a,b,ma,mb,p,l/2,l/2,a,b,ma,mb,q,pl/4,ma,mb,mb,ma,ql2/8,m图(b),m图(a), ab段梁中间作用一集中力p ，两端弯矩为ma、mb，该段梁的弯矩图如图（a）所示；, ab段梁作用于均布荷载 ，两端弯矩为ma、mb，该段梁的弯矩图如图（b）所示。,例13 用叠加法画图示梁的弯矩图。,q=2kn/m,a,p=4kn,6m,2m,1,1,2,2,3,3,4,4,b,c,m 图,解：将梁分为ab ，bc两段。,8kn.m,9k

17、n.m,不必求支座反力。,例14 用叠加法画图示梁的弯矩图。,q=2kn/m,a,p=4kn,4m,2m,1,1,2,2,3,3,4,4,c,b,m 图,2m,8kn.m,解：将梁分为ac ，bc两段。,先求支座反力。,fa,fb,q=2kn/m,a,p=4kn,4m,2m,1,1,2,2,3,3,4,4,c,b,m 图,16kn.m,4kn.m,2m,8kn.m,4kn.m,8kn.m,fa=6kn,fb=6kn,例15 用叠加法画图示梁的弯矩图。,3kn,10kn,2kn/m,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,a,b,c,d,2m,2m,2m,2m,m 图,解：将梁分为ab、bc、cd三段。,不必求支座反力。,6kn.m,4kn.m,10kn.