3.1.3导数的几何意义 (2)

1、1.1.3导数的几何意义,平均变化率,函数y=f(x)的定义域为D,x1.x2D,f(x)从x1到x2平均变化率为:,割线的斜率,以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,2.导数的概念,一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化率是,由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择 哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,回顾,P,Q,割线,切线,T,导数的几何意义:,我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割线

2、PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.,设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.,即:,这个概念: 提供了求曲线上某点切线的斜 率的一种方法; 切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.,要注意,曲线在某点处的切线:,1)与该点的位置有关;,3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.,2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;,因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤: 求出P点

3、的坐标; 利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; 利用点斜式求切线方程.,练习1如图已知曲线 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.,即点P处的切线的斜率等于4.,(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,2.求抛物线y=x2过点 的切线方程.,解：设切点为(x0, x02),则,x0=2,3,k=4,6,切线方程为:y=4x-4,y=6x-9,3.在曲线y=x2上过哪一点的切线 （1）.平行于直线y=4x-5 （2）.垂直于直线2x-6y+5=0,4.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x

4、2的切线方程。,在不致发生混淆时，导函数也简称导数,函数导函数,由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到, f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:,如何求函数y=f(x)的导数?,看一个例子:,下面把前面知识小结:,a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,b.要切实掌握求导数的三个步骤： （1）求函数的增 量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。,（3）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。,小结:,（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 。,（1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。,c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数” 之间的区别与联系。,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲 线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即,d.求切线方程的步骤：,小结:,无限逼