3.1.1《数系的扩充和复数的概念》课件2.ppt

1、第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念,1.复数 (1)表示方法:复数通常用z表示，即z=_. (2)代数式中各字母的名称:,a+bi(a，bR),实部,虚部,虚数单位,(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件 _b=0， 复数abi(a，bR) 纯虚数a=0，b0， _b0 非纯虚数a0，b0.,实数,虚数,2.复数的相等 abicdi_(a，b，c，dR). 3.复数集 (1)定义：由_所构成的集合叫做复数集 (2)表示：通常用大写字母_表示 (3)关系：用图形表示N，Z，Q，R间的关系,ac且bd,全体复数,C,R,Q,Z,N,

2、1判一判 (正确的打“”，错误的打“”) (1)若a，b为实数，则z=a+bi为虚数.( ) (2)若a为实数，则z= a一定不是虚数.( ) (3)bi是纯虚数( ) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( ),【解析】(1)错误，若b=0，则z=a+bi为实数. (2)正确.因为a为实数，所以z=a中没有虚部，一定不是虚数.它是实数. (3)错误，若b=i，则bi=i2=-1.故bi不一定是纯虚数. (4)正确，由复数相等的概念可得. 答案：(1) (2) (3) (4),2做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若a+bi=0，则实数a=_，实数b=_.

3、 (2)(1 )i的实部与虚部分别是_. (3)若复数(a1)(a21)i(aR)是实数，则a_.,【解析】(1)由复数相等的概念得a=0，b=0. 答案：0 0 (2)(1 )i可看作0(1 )iabi， 所以实部a0，虚部b1 答案：0，1 (3)(a1)(a21)i(aR)为实数的充要条件是a210， 所以a1. 答案：1,【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类 1.数系扩充的脉络 自然数系整数系有理数系实数系复数系.,2.虚数单位i性质的两个关注点 (1)i21的理解：并没有规定 还是 或 在今后的学习中，我们将知道 但不 能说 (2)i与实数之间可以进行四则运算：这条性质是数系扩充

4、的 原则之一，这里只提到加、乘运算，没提到减、除运算，并 不是对减法与除法不成立，而是为了后面讲复数的四则运 算时，只对加法乘法法则作出规定，而把减法、除法作为 加法、乘法的逆运算的做法相一致,3.实部与虚部的要求：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部,【知识拓展】数系扩充的原则 数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集. (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)依然适用. (3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系保持不变. (4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾,【微思考】 (1)复数

5、mni的实部是m，虚部是n吗？ 提示：不一定，只有当m，nR时，m才是实部，n才是虚部 (2)i可以除以任何实数吗？ 提示：不可以.i既然与实数之间建立了四则运算关系，运算与实数一致，由于在实数运算中0不能作除数，故i不可以除以任何实数.,【即时练】 完成下列表格(分类栏填实数、虚数或纯虚数),【解析】,知识点2 复数的相等 对复数相等的两点说明 (1)两个复数相等的充要条件的理解 若z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，dR).则z1=z2a=c且b=d.利用这一结论，可以把复数问题转化为实数问题进行解决，并且一个复数等式可以转化为两个实数等式，通过解方程组得到解决. (2)不能比较大

6、小:一般对两个虚数只能说相等或不相等；不能比较大小.由于i20与实数集中a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.,【微思考】 (1)z1，z2是复数，z1-z20，那么z1z2，这个命题是真命题吗？ 提示:假命题.例如，z1=1+i，z2=-2+i，z1-z2=30，但z1z2无意义， 因为虚数不能比较大小. (2)若z1，z2R， 则z1=z2=0，此命题对z1，z2C还成立 吗？ 提示:不一定成立.比如z1=1，z2=i满足 但z10，z20.,(3)两个复数一定不能比较大小对吗？ 提示:不一定，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较

7、大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系.,【即时练】 如果(x+y)i=x-1，则实数x，y的值分别为( ) A.x=1，y=-1 B.x=0，y=-1 C.x=1，y=0 D.x=0，y=0 【解析】选A.由已知得 所以x=1，y=-1.,【题型示范】 类型一 复数的概念 【典例1】(1)给出下列三个命题:若zC，则z20；2i-1虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为() A.0B.1C.2D.3 (2)(2014启东高二检测)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是.,(3)判断下列命题的真假. 若x，yC，则x+yi=1+2i的充要条

8、件是x=1，y=2； 若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应； 实数集的补集是虚数集.,【解题探究】1.题(1)中虚数的平方是否大于等于0，代数式中的虚部是否一定为实数？ 2.题(2)中复数z=a2-(2-b)i实部与虚部分别是什么？ 3.题(3)中实数能否比较大小？中数x，y是否一定为实数？ 【探究提示】1.虚数的平方不一定大于等于0，实数的平方一定大于等于0，代数式中的虚部一定为实数. 2.实部为a2，虚部为-(2-b). 3.实数能够进行大小比较.数x，y不一定为实数也可能是虚数.,【自主解答】(1)选B.对于，当zR时，z20成立，否则不成 立，如z=i，z2=-10，所以为假

9、命题； 对于，2i-1=-1+2i，其虚部为2，不是2i，所以为假命题； 对于，2i=0+2i，其实部是0，所以为真命题. (2)由题意得:a2=2，-(2-b)=3，所以a= b=5. 答案: 5 (3)由于x，y都是复数，故x+yi不一定是代数形式，因此不符合 两个复数相等的充要条件，故是假命题. 当a=0时，ai=0为实数，故为假命题. 由复数集的分类知，正确，是真命题.,【方法技巧】判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例:判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答. (2)化代数式:对于复数实部、虚部的

10、确定，不但要把复数化为a+bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.,【变式训练】下列命题中: 1+i2=0； 若a，bR，且ab，则a+ib+i； 若x2+y2=0，则x=y=0； 两个虚数不能比较大小. 其中，正确命题的个数是() A.1B.2C.3D.4 【解析】选B.对于，因为i2=-1，所以1+i2=0，故正确. 对于，两个虚数不能比较大小，故错. 对于，当x=1，y=i时x2+y2=0成立，故错.正确.,【误区警示】复数概念易错点 (1)注意虚部不是bi，而是b.还要特别注意，要保证实部、虚部有意义. (2)形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件bR且b0

11、时，形如bi的数才是纯虚数. (3)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.,【补偿训练】若复数z=3+bi0(bR)，则() A.b0 B.b=0 C.b0，则说明z=3+bi为实数，故b=0.,类型二 复数的分类 【典例2】 (1)复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a，bR)为纯虚数的充要条件 是() A.|a|=|b|B.a0且ab D.a0且a=b (2)实数m取什么值时，复数(m2-3m+2)+(m2-4)i是: 实数；虚数；纯虚数.,【解题探究】1.题(1)中复数z为纯虚数满足的条件是什么？ 2.复数z=a+bi(a，bR)，a，b为什么时z为

12、实数，a，b为什么时z 为虚数？a，b为什么时z为纯虚数？ 【探究提示】1. 2.b=0时z为实数，b0时z为虚数，a=0，b0时z为纯虚数.,【自主解答】(1)选D.a2-b2=0，且a+|a|0.故得a0且a=b. (2)设z=(m2-3m+2)+(m2-4)i. 要使z为实数，必须有m2-4=0， 得m=-2或m=2，即m=-2或m=2时，z为实数. 要使z为虚数，必有m2-40，即m-2且m2.故m-2且m2时，z为虚数.,要使z为纯虚数，必有 所以 所以m1，故m1时，z为纯虚数,【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？ 【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a

13、|=0，而|a|=-a，所以a0.,【方法技巧】 1.解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a，bR)，z为实数b=0； z为虚数b0；z为纯虚数a=0且b0.,2.复数分类的应用 (1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使表达式有意义，其次对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键

14、，解答后进行验算是很必要的. (2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.,【变式训练】m取何实数时，复数 (1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？ 【解析】(1)因为z为实数，所以 所以 所以m5. 所以当m5时，z是实数,(2)因为z为虚数，所以 所以 所以m5且m-3. 所以当m5且m3时，z是虚数 (3)因为z为纯虚数，所以 所以 所以m3或m2. 所以当m3或m2时，z是纯虚数,【误区警示】形如a+bi的复数，一定要注意，只有当a，b是有定义的实数时才

15、能充当复数的实部、虚部，在这个前提下，研究复数的分类才不易出错.,【补偿训练】实数a取什么值时，复数za1(a1)i是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数 【解析】(1)当a10，即a1时，复数z是实数 (2)当a10，即a1时，复数z是虚数 (3)当 即a1时，复数z是纯虚数.,类型三 复数的相等 【典例3】 (1)已知x，y均是实数，且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i，则x=，y=. (2)已知M=(a+3)+(b2-1)i，8，集合N=3i，(a2-1)+(b+2)i，同时满足MN M，MN ，求整数a，b. 【解题探究】1.复数(2x-1)+i的实部与虚部分别是多少？复数-y

16、-(3-y)i的实部与虚部分别是多少？ 2.由条件MN M，MN 能得到的结论是什么？,【探究提示】1.复数(2x1)i的实部为2x1，虚部为1； 复数y(3y)i的实部为y，虚部为(3y). 2.由MN M知两个集合M，N不能相等.由MN 能得到两 个集合M，N中有公共元素. 【自主解答】(1)由复数相等的充要条件得 答案：,(2)由条件MN M，MN 得(a+3)+(b2-1)i=3i； 或8=(a2-1)+(b+2)i. 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i. 由得a=-3，b=2， 当a=-3，b=2时，M=3i，8，N=3i，8+4i满足题意. 经检验，a=-3，

17、b=-2不合题意，舍去.,由得b=-2，a=-3或b=-2，a=3 当b=-2，a=-3时M=3i，8，N=3i，8不合题意，舍去. 当b=-2，a=3时，M=6+3i，8，N=3i，8满足题意. 由得 得a，b不是整数舍去. 故a=-3，b=2或a=3，b=-2.,【方法技巧】化复为实转化求解 应用两个复数相等的充要条件时，首先要把“=”左右两侧的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后确定两个独立参数列出方程，化复数问题为实数问题得以解决.,【变式训练】已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实根， 求实数m的值. 【解析】设x=a为方程的一个实数根. 则有a2+(1-2i

18、)a+(3m-i)=0， 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0. 因为a，mR，由复数相等的充要条件 故实数m的值为,【补偿训练】已知P=-1，1，4i，M=1，(m2-2m)+(m2+m-2)i.若MP=P，求实数m的值 【解析】因为MP=P，所以MP， 即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得m2-2m=-1，m2+m-2=0，解得m=1. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-4i得m2-2m=0，m2+m-2=4，解得m=2. 综上可知，m=1或m=2.,【拓展类型】含有虚数单位i的不等式 【备选例题】若z1=m2-(m2-3m)i，z2=(m2-4m+3)i+10(mR)， z1z2，求实数m的值. 【解析】因为z1z2，所以z1，z2均为实数. 所以解得m=3. 又z1=m2=9z2，故m=3，符合题意. 所以m=3.,【方法技巧】隐含条件的应用 两个虚数不能比较大小，若两个复数能够比较大小，则这两个复数一定为实数，即