第三讲第二节凸函数与凹函数_第1页
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1、3.2 凸函数与凹函数,凸函数,严格凸函数,设,是非空凸集，,若对任意的,及任意的,都有：,则称函数,为,上的严格凸函数。,注：将上述定义中的不等式反向，可以得到严格凹函数的定义,凸函数,几何性质,f(X),X,f(X1),f(X2),X1,X2,f(X),X,f(X1),f(X2),X1,X2,x1+(1-)x2,f(x1+(1-)x2 ),f(X),X,f( x1 ) +(1- ) f( x2),f(X1),f(X2),X1,X2,x1+(1-)x2,f(x1+(1-)x2 ),f(X),X,f(X1),f(X2),X1,X2,任意两点的函数值的连线上的点都在曲线的上方,x1+(1-)x2

2、,f(x1+(1-)x2 ),f( x1 ) +(1- ) f( x2),例4.2.1,(a) 凸函数 (b)凹函数,凸函数,凸函数,凸函数,性质,詹生(Jensen)不等式,凸函数,定理2,性质,正线性组合,凸函数,凸函数,凸函数,凸函数的判别定理,凸函数,严格凸函数(充要条件)?,凸函数,凸函数的判别定理-一阶条件,注：定理4提供了一个判别可微函数是否为凸 函数的依据.,凸函数,定理4-几何解释,一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方.,凸函数,定理4-几何解释,一个可微函数是凸函数当且仅当函数图形上任一点处的切平面位于曲面的下方.,凸函数,凸函数的判别定理-二阶条件,例：,凸函数,凸函数的判别定理-二阶条件,凹函数,凸集的上等值集，或者直观的说，凹函数就是凸集的边界,凹函数的经济意义,消费者问题,边际效用递减,生产者问题,边际产量递减,N维问题,边际替代率递减,凹函数的例子,CD生产函数：,投入组合1：,投入组合2：,混合的投入：,凹函数的例子,注意：只对要素价格w是凹的。,第一种要素价格上升，减少其投入量，增加第二种要素投入，但它的价格维持不变，所以总成本上升

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