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文档简介

1、1、第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）,2、第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）,3、两类曲线积分之间的联系：,第一类曲线积分的求法,1.基本方法：,由积分曲线的表达式求出弧微分元素，,定积分定限：下限小于上限.,将积分曲线代入被积函数，,第二类曲线积分的求法,1.基本方法：,由积分曲线的表达式确定定积分的积分变量，,将积分曲线代入被积表达式，,定积分定限：起点对应下限，终点对应上限.,-,-,4、格林公式、曲线积分与路径无关的条件,5、曲线积分与路径无关的条件,2.利用格林公式,(1)积分曲线为封闭曲线,直接化为二重积分,（满足定理条件）,(2)积分曲线为非封闭曲线,添加曲线(较简单),使之成

2、为封闭曲线, 原曲线积分化为一个,二重积分减去在添加曲线上的曲线积分.,例1,解,例2,解,例3,解,-,解,-,解,-,记L所围的区域为D，易知 D是边长为 的正方形区域.,例6 设L为,的反时针方向，则,(A)0； (B)2； (C)4； (D)1,解,由已知，,则由格林公式，得,B,解 为用格林公式,它与L所围区域为D , 则,原式,添加辅助线段,原式,4. 有奇点的曲线积分,例4 设,取逆时针方向，,求,解 取,构造l：,顺时针,已知,于是，,由格林公式,6、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）,7、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）,第一类曲面积分的求法,由积分曲面表达式确定曲面向一坐

3、标面投影，,将积分曲面代入被积函数，,求出曲面面积元素,向xoy面投影：,1.基本方法：,第二类曲面积分的求法,上侧取“+”,下侧取“ ”,对坐标 x,y 的积分：,积分曲面向xoy坐标面投影，,将积分曲面代入被积函数，,由积分曲面的侧确定二重积分的符号.,分三项计算,1.,8、两类曲面积分之间的联系,的法向量,9、第二类曲面积分的坐标转换,合一投影法,例19,1: x=0 2: y=0 3: z=0 4: x+y+z=1,解:,6.高斯公式 曲面积分与三重积分的关系,2.利用高斯公式,(1)积分曲面为封闭曲面,直接化为三重积分；,(2)积分曲面为非封闭曲面,添加曲面(较简单),使之成为封闭曲面, 原曲面积分化为一个,三重积分减去在添加曲面上的曲面积分.,例6 计算,解,曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式,原式,故所求积分为,3. 坐标转换,下侧,把三个积分合并, 只向坐标面xoy投影,分析,解,把三个积分合并,只向坐标面xoy投影,下侧,两类曲面积分之间的关系,是 的法向量.,7、常数项级数敛散性的判定,8、幂级数的收敛半径、收敛域,9、求幂级数的和函数,10、傅立叶级数的和函数（包括一般周期）,2：1、求幂级数,的收敛域及其和函数,（2）求常数项级数 的和,两边积分,即

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