§8.1多元函数概念.ppt

1、多元函数微积分的概念, 理论, 方法是一元函数微积分中相应概念, 理论, 方法的推广和发展, 它们既有相似之处(概念及处理问题的思想方法), 又有许多本质的不同, 要善于进行比较, 既要认识到它们的共同点和相互联系, 更要注意它们的区别, 研究新情况和新问题, 深刻理解, 融会贯通.,第八章 多元函数微分学,上学期, 我们学习了一元函数微积分. 但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数多元函数的形式, 我们需要学习多元函数微积分问题.,函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质上要出现一些新东西, 但从二元函数到二元以上函数则可以类推, 因此这里基本上以讨论二元函数为主.,重点: 多元函数

2、基本概念, 偏导数, 全微分, 复合函数求偏导, 隐函数求偏导, 偏导数的几何应用, 多元函数极值.,难点: 复合函数求偏导, 多元函数极值.,掌握多元函数基本概念, 会表示定义域, 了解二元函数极限, 连续; 深刻理解二元函数偏导数, 能熟练求出一阶和高阶偏导数; 掌握全微分概念; 掌握复合函数, 隐函数的求偏导方法; 会求曲线的切线, 法平面, 曲面的切平面和法线; 掌握求多元函数极值的方法.,基本要求,8.1 多元函数基本概念,一元函数的基本概念是建立在实数集合或数轴上的点的集合之上的. 这些概念包括点集, 两点间的距离,区间, 邻域等概念. 为了介绍多元函数及其微积分的概念, 需要介绍

3、高维空间的相关概念. 我们先介绍2维空间的相关概念, 然后将其推广到n维空间.,一、平面点集与n维空间,平面直角坐标系(xoy平面)中用二元实有序数组(x, y)表示平面上的点. 平面上具有某种性质P的点作为元素构成的集合称为平面点集, 记作 E= (x, y) | (x, y)具有性质P ,例如: C= (x, y) | x2 + y2 r2 ,也可表示为: C= M | |OM|r ,设M0(x0, y0)是xoy平面上的一个点, 是某一正数, 与点M0(x0, y0)的距离小于的点M(x, y)的全体, 称为点M0的邻域, 记为U(M0, ), 即 U(M0, )= M | |M0M|

4、,或,点M0的去心邻域, 记为Uo(M0, ), 即 Uo(M0, )= M | 0 |M0M| ,在几何上, U(M0, )表示xoy平面上以M0为中心, 0为半径的圆内的所有点的全体.,如果不需要强调邻域的半径时, 用U(M0)(Uo(M0)表示点M0的邻域(去心邻域).,xoy平面上的任意一点M和任意一点集E之间有以下三种关系中的一种:,(1) 内点: 如果存在点M的某邻域U(M)E, 则称M为E的内点;,(3) 边界点: 如果点M的任意邻域U(M)内都既含有E的点, 又含有不属于E的点, 则称M为E的边界点.,(2) 外点: 如果存在点M的某邻域U(M)E=, 则称M为E的外点;,点集

5、E的边界点的全体称为E的边界. 记作E.,点集E的内点必属于E; 点集E的外点必不属于E;点集E的边界点可能属于E, 也可能不属于E.,如果对任意给定0, 点M的去心邻域Uo(M, )内总有点集E的点, 则称M为E的聚点.,点集E的聚点M既可以属于E, 也可以不属于E. 实际上聚点M的任意邻域内包含有E的无穷多个点. 点集E的内点都是聚点; 但边界点未必是聚点. 例如仅有有限个点的集合的每一个点都是边界点, 而它们每一个点都不可能成为聚点.,又例如: E= (x, y) | 01的所有点都是E的外点.,如果点集E的所有点都是内点, 则称E为开集. 如果点集E的补(余)集Ec为开集, 则称E为闭

6、集.,例如: E1= (x, y) | 1x2+y24 为开集, E2= (x, y) | 1x2+y24 为闭集, E3= (x, y) | 1x2+y24 既非开集又非闭集.,如果存在连接点集E内的任意两点的折线上的点都属于E, 则称E为连通集.,连通的开集称为区域或开区域.,(开)区域连同它的边界所构成的点集称为闭区域.,例如: E1= (x, y) | 1x2+y24 为开区域, E2= (x, y) | 1x2+y24 为闭区域, E3= (x, y) | 1x2+y24 既非开区域又非闭区域.,如果存在某一正数 r , 使得EU(O, r), 则称E为有界集, 否则称E为无界集.,

7、例如: E1= (x, y) | 1x2+y24 为有界开区域, E2= (x, y) | x+y0 为无界闭区域.,设n为取定的一个正整数, 我们称n元有序数组 (x1, x2, , xn)的全体构成的集合为n维空间, 记作Rn. 而每个n元有序数组(x1, x2, , xn)称为n维空间Rn中的一个点. 数xi( i =1, 2, , n)称为该点的第 i 个坐标. O(0, 0, , 0)称为Rn中的零元或原点.,数轴上的所有点构成一维空间, 记为R1, 简记为R; xoy平面上的所有点构成二维空间, 记为R2; 空间直角坐标系中的所有点构成三维空间, 记为R3.,Rn中的两点P1(x1

8、, x2, , xn), P2(y1, y2, , yn)之间的距离(范数) | P1P2 | (或(P1, P2)定义为,| P1P2 | =,Rn中的两点之间距离的定义是R3的推广.,设P(x1, x2, , xn), A(a1, a2, , an)Rn, 如果 | PA |0,则称变元P在Rn中趋向于固定元A, 记作PA.,显然, PA x1a1, x2a2, , xnan.,设A(a1, a2, , an)Rn, 0, 则Rn中的点集 U(A, ) = P | PRn, | PA | 称为点A的邻域; 而 Uo(A, ) = P | PRn, 0| PA | 称为点A的去心邻域.,类似

9、地, 定义Rn中的内点, 外点, 边界点, 聚点, 开集, 闭集, 区域等概念, 不再一一重述.,设D是Rn中的非空点集, 如果对于每个点PD, 按照一定的法则总有确定的值zR与P对应, 则称z是变元P的一个n元函数, 记为 z = f(P), PD, 或记为 z = f(x1, x2, , xn), (x1, x2, , xn)D. 其中点集D称为函数的定义域, PD称为自变元, x1, x2, , xn称为自变量, z 称为因变量.,当 n=1时, 称为一元函数; 当 n=2时, 称为二元函数; 类似地, n=3时称为三元函数等等. 当n2时, 统称为多元函数. 以后我们重点介绍二元函数的

10、有关问题.,考虑二元函数 z = f(x, y), (x, y)D, 与自变量x, y的一对值(即二元有序实数组(x, y)对应的因变量 z 的值, 也称 z 为函数 f 在点(x, y)处的函数值.,二、多元函数的定义,函数值f(x, y)的全体所构成的集合称为函数 f 的值域, 记为 f(D), 即 f(D)= z | z = f(x, y) (x, y)D ,一般地, 由一个解析表达式表示的多元函数, 以其有意义的变元x1, x2, , xn的所有值组成的点集, 称为该多元函数的自然定义域. 由实际问题建立的多元函数的定义域由其实际意义确定.,解:,即,所求定义域为 D= (x, y)

11、| 2x2+y24, xy2 .,二元函数的图形 设二元函数 z = f(x, y) (x, y)D, 对于任意取定的P(x, y)D, 对应的函数值为 z = f(x, y), 以x为横坐标, y为纵坐标, z为竖坐标, 在空间就确定一点M(x, y, z), 当 (x, y)取遍D上的一切点时, 得一个空间点集,(x, y, z)| z=f(x, y), (x, y)D . 这个点集称为该二元函数的图形.,二元函数的图形通常是一张如图所示的曲面.,三、二元函数的极限,定义1: 设二元函数 z = f(x, y), (x, y)D, P0(x0, y0)为定义域D的聚点, 如果对于任意给定0

12、, 总存在0, 使得对于适合不等式,的一切点P(x, y)D, 都有 | f(x, y) A | 成立, 则称A为函数 z = f(x, y)当 xx0, yy0(或PP0)时的极限, 记为,或 f(x, y)A, = | PP0 |0等等.,或,说明(1): 定义中PP0 的方式是多种多样的, 方向是任意多的, 路径是千姿百态的, 所谓极限存在是指当动点P从四面八方以可能有的任何方式和路径趋于定点P0时, 函数都趋于同一常数A这是产生与一元函数极限(仅有两个方向)有本质性差异的根本原因;,说明(2): 二元函数的极限也叫二重极限;,说明(3): 二元函数极限的运算法则和性质与一元函数极限类似

13、, 如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等, 建议自行复习, 写出有关结论以巩固和加深对两种极限概念的理解.,例2: 求极限,解:,其中,所以,证: 取,其值随k的不同而变化.,故极限不存在.,确定极限不存在的方法:,(1): 令P(x, y)沿 y=kf(x) 趋向于P0(x0, y0), 若极限值与 k有关, 则可断言极限不存在;,定义2: 设n元函数f(P)的定义域为点集D, P0是D的聚点, 如果对于任意给定的0, 总存在0, 使得对于适合不等式 0| PP0 | 的一切点PD, 都有 | f(P) A | 成立, 则称A为n元函数f (P)当PP0时的极限, 记

14、为,四、多元函数的连续性,定义3: 设n元函数 f(P)的定义域为点集D, P0是D的聚点, 且P0D, 如果,则称 n元函数 f(P)在点P0处连续.,设P0是n元函数 f(P)的定义域内的聚点, 如果f(P)在点P0处不连续, 则称P0为函数 f(P)的间断点.,解: 取 x = rcos, y = rsin. 则 | f(x, y) f(0, 0) | = | r(cos3 + sin3) | 2r,故函数f(x, y)在点(0, 0)处连续.,解: 取 y=kx, 则,其值随 k 的不同而变化, 即极限不存在. 故函数f(x, y)在点(0, 0)处不连续.,| f(x, y) f(0

15、, 0) | 2r ,= f(0, 0),多元函数的间断性也与一元函数的情形有所不同.,如,其定义域为: D=(x, y)| x2+y2 1.,而圆周C=(x, y)| x2 + y2 = 1上的点都是D的聚点, 但函数 f(x, y)在C上无定义, 故在C上的点都是函数 f(x, y)的间断点.,由极限, 连续的定义和性质, 多元连续函数的和, 差, 积仍为连续函数, 多元连续函数的商, 在分母不为零处仍为连续函数. 多元连续函数的复合函数也是连续函数.,一个可以由常数及其不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而得到可用一个表达式表示的函数, 称为多元初等函数.,闭区域上连续函数的性质:,可以证明: 多元初等函数在其定义域内是连续.,性质1 (最大值和最小值定理): 在有界闭区域D上的多元连续函数, 必在D上有界, 且能取得它的最大值和最小值. 性质2 (介值