偏微分方程的有限元方法.ppt

1、无论是哪种模拟方法，都必须求出最佳计算速度和数值精度的平衡。 一般而言，在各种可能的求解方法中找到一种统一应用于计算材料学领域(或其他领域)的理想方法是不现实的。 因为实际问题的具体特征、复杂性和算法本身的适用范围已确定必须选择和设计适合于自己特定问题的算法，所以掌握数值方法的思想是很重要的。 科学计算(数值模拟)已经被公认为理论分析、实验分析和科研三大基本手段之一，但三者之间是互补的。 求偏微分方程的有限元法，边值问题的变分原理，1引论，泛函，达到最大的函数。 (1)等周问题求出在长度一定的所有平面封闭曲线中，被包围的面积最大的曲线。 定义：在函数集合k中求泛函的极小(或极大)问题时，这个问

2、题称为变分问题。 变分问题与微分方程的定解问题有一定的关系。 (2)考察初等变分原理、一次二次函数的变分原理和J(x )的极值情况。 变分原理：求，等效于解方程式Lx=f。 对称正定，多元二次函数的变分原理，求出J(x )取极小值的定在点。 其中，J(x )表示：变分原理：矩阵a设为对称正定时，以下两个命题等价：(b )是方程式的解，上述两个例子表示求二次函数的极小值的问题和求线性代数方程式(组)的解等价。 求弦的平衡位置，归根结底是解决两点边缘值的问题：设弦在某个位置的u=u(x )，其总位能，极小位能原理：其中t是弦的张力。 另外，平衡原理、弦的平衡位置(记作)可以在满足边缘值条件u(0)

3、=0、u(l)=0的所有可能位置处取得比特的最小值。 弦的平衡位置是以下变分问题的解，在数学上，要把某微分方程式的解问题转换为变分问题来解，必须对给定的解问题构筑适当的泛函，证明解问题的解与泛函极值问题的解等效。 有限元法利用这种等价性(边值问题和变分问题的等价性)，把微分方程的解问题转换成变分问题(或变分方程)的解问题，然后近似地解变分问题(或变分方程)。 (2)两点边值问题的变分原理，结构泛函，考察二次常微分方程边值问题：若导入泛函算子，则变分问题，与上述二次常微分方程边值问题对应的变分问题，其中求变分原理(变分问题和边值问题的等价性)，作为边值问题，则j (其中，是强制边界条件，也是自然

4、边界条件，区分这两种边界条件在用有限元法解决边缘值问题时很重要。 (3)虚功原理，对两点边值问题：中，满足虚功原理和变分方程式：设v乘以方程式两端，沿a，b积分利用，得到变分方程式，任意，力学上表示虚功，边值问题解的满足条件为：对复杂的边界条件，边值问题的解决一般如果将微分方程转变为对应的变分问题或变分方程式，则只处理强制边界条件，不需要处理自然边界条件(自然边界条件在变分问题中包含在泛函的结构中，或包含在给定的变分方程式中)。 该特征对研究微分方程的离散化方法及其数值分析非常方便。三阶椭圆边值问题的变分原理、(1)极小位能原理、模型方程，其中g为平面有界区域。如果构建泛函并导入泛函算子，则求

5、变分问题，与上述二次椭圆边值问题对应的变分问题，其中，对于变分原理(变分问题和边值问题的等价性)，对于第一边值问题，无论是齐次还是非齐次的边界条件，泛函都相同，但边界条件作为强制边值条件如果是二次椭圆边缘值问题的解，则J(u )为极小值，相反，如果J(u )为极小值，则是二次椭圆边缘值问题的解。 其中，关于第二、三类边缘值的问题，二次泛函形式相对于第一边值的问题有所变化，而函数类的选择与边界条件无关。 (2)虚功的原理、问题，其中，v乘以方程式的两端积分为g，利用Green式表示变分方程式、虚功的原理、力学上的虚功，作为边值问题的解，任意满足变分方程式。 相反，如果任意满足变分方程，则是边缘值

6、问题的解。 与极小位能的原理类似，第一类边界条件是强制边界条件，第二、三类边界条件是自然边界条件。 虚功能原理应用得比极小位能量原理更广泛。 目的：解对应的变分问题或对应的变分方程式。 Ritz法是近似求解变分问题(即二次泛函的极小值)的算法。 Galerkin法是近似地解变分方程式的算法，这两种算法统称为Ritz-Galerkin法。 另外，Ritz-Galerkin法的基本想法是，下面用v表示等Sobolev空间，用l表示微分运算符，(u，v )是由l和边缘条件决定的双线性泛函。 4 Ritz-Galerkin法通过用变分问题(或变分方程式)中的无限维空间的函数代替有限维空间的函数，在有限

7、维函数空间中求出变分问题(或变分方程式)的近似解，并在有限维空间的维数增加时，有限维近似解成为原始变分问题(或变分方程式)的解从极小位能的原理得到的变分问题是：Ritz方法：求变分问题的近似解。 (1)Ritz法、要求、使用，其中，作为v的n次元子空间的是基的集合(称为基函数)。 任何元素可以表示选择适当的值取极小值. 求、使、Ritz方法：展开、指令、满足、解代入、得到、Ritz方法步骤：对应于根据最小能量原理结构的微分方程式或物理问题的变分问题； 求关于代替无限维空间v的线性代数方程式。 从虚功原理得到的变分方程式是：Galerkin法：求变分方程式的近似解。 (2) Galerkin法作

8、为v的n次元子空间，是被称为基函数的基的集合。 所述任何元素可以表示选择适当的值取极小值。 Galerkin方法：求，对，满足，然后给定的任意性为v，求解代入变量方程，Galerkin步骤根据虚功原理构建微分方程或与物理问题对应的变量方程，代替无限维空间v求解线性代数方程。 作为v代入变分方程式，得到满足的方程式：有限要素法广泛应用的原因，Ritz-Galerkin法的应用困难，基函数的选择必须满足强制边界条件，因此选择困难的计算量、存储量庞大的方程式解决病态。 变分形式和Ritz-Galerkin法充分发挥了优点，脱离了传统的基函数法，各种问题的结构程序格式统一了。 有限元法基于变分原理，具

9、有差分法的特征，适用于复杂区域和不同粗细网格。 用二椭圆型方程式的有限元法、差分法解偏微分方程式的话，解的结果就会正确地解出节点处的u的近似值，Ritz-Galerkin法得到了近似的解析解，但对于一般的区域来说很难实现。有限元法和传统的Ritz-Galerkin法的区别在于有限维函数空间的构建方法。 Ritz-Galerkin方法所选择的基函数在整个解区域中是平滑的，而有限元采用段或片段相继的、局部非零的基函数。两点边缘值问题：考虑一维问题的线性要素，将区间a、b分割为n个子区间。 第I个小区标记为其长度。 (1)设启发式函数和启发式函数空间，则被称为启发式函数空间，被称为启发式函数。 (2

10、)如果启发式函数用单元形状函数来表示，假设节点上的一组启发式函数在节点上值，则最简单的启发式函数空间由段线性函数组成。 在第I小区上的线性内插函数，即，此时的(线性)内插公式被称为(线性)小区形状函数。 合并各个单元形状函数，可以得到在整个区间a、b中定义的函数。 为了标准化分段内插，通常使用仿射变换，将变为、变为、变为、变为，或者定义基函数系，(3)用节点基函数表示启发式函数，无论线性如何如图所示，任何启发式函数都能够用这种内插型基函数来构建适合各种边界条件的启发式函数。 利用上述辐射变换，节点基函数用变量表示，直接形成有限元方程式，将(a )式代入泛函中，由(Ritz法形成有限元方程式，(

11、b )将泛函式中的积分区间a，b改变为0，1，(c )根据达到最小值的条件得到所包含的有限元方程式，其中求解有限元方程的数值解得到使二次泛函极小的近似函数(有限元解)，有限元方程可以用矩阵表示，其中，称为总刚矩阵。 在工序中形成有限元方程式时，通常在各单元形成单元矩阵(称为单元刚性矩阵)，然后由单元刚性矩阵形成总刚性矩阵(称为整体合成)。 用单元刚度分析形成有限元方程，(a )按单元组织，在第I单元中称为单元刚度矩阵。 各元素都可以计算。扩展为nn矩阵，使得第I行、第I行和第I列、第I列相交位置的元素为单元刚性矩阵的四个元素，其馀全部为零(仅第1行，第1列的元素不为零)。 也就是说，这里称为总

12、刚矩阵。 如果根据(b )达到极小值的条件，解(c )有限元方程式的数值解，则得到使二次泛函极小的近似函数(有限元解)，得到有限元方程式。 (5)由galerkin法形成有限元方程式，将式代入变分方程式，对于前两点边值的问题，变分方程式变为，其中，用galerkin法形成的有限元方程式与Ritz法相比，系数矩阵为总刚矩阵。 该方程式是Galerkin法形成的有限元方程式。 从Galerkin法导出有限元方程更简单直接，应用面广。 如果想提高各单元的近似精度，可以通过提高内插多项式的次数来实现，在单元中可以构建1、2、3、高次内插多项式，其方法有2种：二维问题的高次维，问题计算整体过程除了分析单

13、元内插以外，与前一帧相似。 Lagrange类型：在单元格内部添加插值节点。 Hermite型：在节点上导入1次、2次、更高次的导数。 另外，线性元素(Lagrange型)在每个小区中是一次多项式，并需要在小区节点处是连续的。 插值条件：取单元格两端指定的值。 另外，二维(Lagrange型)对于每个小区是二次多项式，需要在小区节点处是连续的。 插值条件：取在单元的两个端点和单元的中点指定的值。 三维(Hermite型)在各个小区中是三次多项式，要求在小区节点处是连续的。 插值条件：在两个端点取指定的函数值和一次微分值。 使用高维、有限元方程式形成的方法与线性要素类似，但工作量增加。一是计算积

14、分的复杂性增加，二是矩阵的带宽增加。 高维的主要优点是收敛步骤高，并且增加了函数近似的平滑度。 将区域g划分为有限的矩形之和，并且假定每个小矩形(单元)的边与坐标轴平行。 此外，三维问题的矩形元素在通过仿射变换采用矩形分割后，任何矩形均始终为单位正方形，如果在上面构建单元格形状函数，则能获得启发式函数。 上述形状函数可以在上面建立形状函数，然后通过仿射变化来获得。 上结构形状函数也采用了Lagrange型和helmite型的插值。 Lagrange类型：从几个插值节点的函数值中确定插值函数。 Hermite类型：基于几个内插节点处的函数值、一次偏导数和高阶偏导数来确定内插函数。 (1)Lagr

15、ange型式、二次插值、插值条件：给定顶点上的函数值，求出：双线性函数、满足、设定、指令、双线性函数，求出的指令、仿射变换消去，得到上述形状函数。 将这些函数逐个单元地重叠，将所有单元相加，得到g上的启发式函数。 如果实际计算，中间变量、不会被删除。 作为参数使用比较方便，因为它计算刚度矩阵元素(定积分)。 内插条件：在给定II上的九个内插节点(0，0 )、(1/2，0 )、(1，0 )、(0，1/2 )、(1/2，1/2 )、(0，1 )、(1/2，1 )的函数值。 求：由于双二次函数，满足，双二次插值，用仿射变换消去后，可得到上述形状函数。 可以通过使用指令、二次函数求出内插条件：在给定I

16、I上的16个内插节点(参见附图) 。 求：为了双重二次函数、满足、设定、双重二次插值，可以用命令、三次函数求出，给4个顶点赋予函数值、2个一次偏导数的值和二次混合偏导数的值(合计16个条件)，确定双重二次多项式的16个系数。 (2)埃尔米特型式、Lagrange型式中没有出现导数，这种启发式函数只是普通的。 为了得到所属的启发式函数，需要埃尔米特型插值公式。 双重二次多项式包含16项。 简单常用的是不完全的二次多项式插值。 删除二元多项式项。 插值条件：指定II上的四个插值节点。 求：不完全二元函数、满足、四个顶点处的函数值等于此点处函数值的四个顶点的值与该点处的值相同。四个顶点的值与该点处的值相同。 仿射变换可将原始插值问题转换为II上的插值问题。 4个顶点处的函数值等于该点处的函数值的4个顶点的值等于该点的值乘以x的值。4个顶点的值等于该点的值乘以y的值。 内插条件：在给定II上的四个内插节点(0，0 )、(1，0 )、(0，1 )、(1，1 )。 求：与不完全二元函数、Lagrange形式的结构相似