高职高等数学-函数

1、7/6/2020,第一讲 函数,应用数学系列讲座,7/6/2020,一 函数的概念 二 函数的表示方法 三 分段函数 四 反函数 五 初等函数 六 函数的几种性质,7/6/2020,一 函数的概念 常量与变量,定义 设在某个变化过程中有两个变量x和y， 变量y随着x的变化而变化，当x在一个非空 数集D上任取一值时，y依照某一对应规则f 总有一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x的函数。记为,7/6/2020,其中, x叫做自变量，y叫做因变量或函数。 数集D称为这个函数的定义域，记为 D（f）。 当自变量x在其定义域内取某确定值x0时， 因变量y按照所给的函数关系（对应法则），求出的对应

2、值y0 ，称做当x=x0时的函数值。 记为 相应地，y值的集合 称为函数 y=f(x）的值域。,或,7/6/2020,注意 1. 函数的定义有两个要素，即定义域(D)与对应规则(f)。所以，只有当两个函数的定义域和对应规则完全相同时，他们才是同一个函数。2. 函数的定义域D，要符合客观要求。如：身高、体重等不能小于0;,7/6/2020,3. 求函数定义域时，要注意：分式中分母不为0;根式中负数不能开偶次根；对数中真数大于0 4. 对于特殊函数反三角函数(arcsinx等)，除定义域与法则以外，数学上同时也规定了它的值域。,7/6/2020,7/6/2020,二 函数的表示方法,常用的表示方法

3、有三种：解析法（公式法）、表格法和图示法。 (1) 解析法是指用解析表达式（或公式）去表示函数关系。 例如,7/6/2020,(2)表格法是用列表的方法来表示函数关系，例如 水文监测站统计了某河流20年内平均月流量V， 如表1.1所示。 表1.1 这是用表格表示的函数，当自变量x取112之 间任意一个整数时，从表格里可得出y的一个对应 值。,7/6/2020,(3)图示法是用直角坐标系x 0 y平面上的曲线表示函数关系,7/6/2020,三 分段函数,例 它们的图形如下：,7/6/2020,写出下面函数关系的表达式,例：学校外超市，由于期假货物积压，现物价促销，可乐原价2.50元/罐，现促销如

4、下：10罐以上（含）8折，20罐以上（含）7折。请写出此时可乐的销售量（Q）与销售收入（R）之间的关系函数。,7/6/2020,四 反函数,定义 设给定y是x的函数， ， 如果 对其值域R中的任一值y，都可通过关系式 在其定义域D中确定唯一的一个x 与之对应，则得到一个定义在R上的以y为 自变量，x为因变量的函数，我们称其为 的反函数。 记为,7/6/2020,7/6/2020,单调函数的反函数是单值函数,什么样的函数存在单值的反函数？,7/6/2020,y=x2 的反函数是多值函数：,x= 。,把 x限制在区间 0,)， 则y=x2 的反函数是单值的， 即x= 。它称为函数 y=x2 的反函

5、数的一个单值 分支。,反函数的单值分支：,另一个单值分支为 x=- 。,7/6/2020,在数学中，习惯上自变量用x表示，因变量用y 表示。按此习惯，我们把函数 y=f(x)的反函数x=j(y)改写成y=j(x)。例如y=x2的反函数写为y= 。,反函数的图形： 反函数的图形与直接函数的图形关于直线y = x对称。,y=f(x),y=j(x),关于反函数的变量符号：,五 初等函数 1.5.1基本初等函数及其图形,下列函数称为基本初等函数 常量：y=c （C为常数） (2) 幂函数： (3) 指数函数： (4) 对数函数： (5) 三角函数： (6) 反三角函数：,7/6/2020,1.5.2

6、复合函数,定义 ， 函数 的值域的全部或一部分包含在函数 的定义域内，则对 的定义域内的某些x，有 此函数称函数 与函数 复合而成的复合函数，其中u称为中间变量。,重点掌握复合函数的分解,7/6/2020,注意 不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，例如， ， 就不能复合成一个复合函数，因为 的定义域 中的任何值x所对应的u值都大于或等于2，即全部落在 的定义域之外。,7/6/2020,例 已知 求 的表达式。 解：令 解出 将u换成x，得出 例 设 ，求复合函数 的定义域。 解：已知 的定义域为 ，即-3，3； 的定义域为 。 由 得 定义域为-4，2。,7/6/2020,1.5.3 初

7、等函数,定义 由基本初等函数经过有限次的四则运 算及有限次复合过程所构成的函数，叫作 初等函数。 例如 等等 。,7/6/2020,六 函数的几种性质1.6.1 函数的单调性,定义 设函数 定义在D上：,7/6/2020,1.6.2 函数的奇偶性,定义3设函数 在D上有定义， （1）若对于任意的 恒有 则称f (x)为偶函数。 （2）对于任意的 恒有 ，则称f (x)为奇函数。 注意 当函数具有奇偶性时，其定义域必定是关于原点对称的，即若 , 则 。 偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。,7/6/2020,-x,x,f(-x)=f(x),y=f(x),偶函数举例： y=x2，

8、y=cos x 都是偶函数,偶函数的图形关于y轴对称。,设函数f(x)的定义域D关于原点对称。如果对于任意的xD，有f(-x)= f(x)，则称f(x)为偶函数。,7/6/2020,奇偶函数举例： y=x3，y=sin x 都是奇函数。,如果对于任意的xD，有 f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。,7/6/2020,例 判定函数 的奇偶性,7/6/2020,1.6.3 函数的周期性,定义 若存在常数 ，对任意的x，恒 有 ，则称 为周期函数。 使得上述等式成立的最小正数T，称为的最小正周期，简称函数 的周期。 例， 就是一个周期函数，它的周期为 。,7/6/2020,1.6.4 函数的有界性,定义 设函数 在区间（a，b）内 有定义，若存在正数 使得对于任意 的 ，恒有 ，则称函数 在 （a，b）内是有界的。否则，称函数 在（a，b）内是无界的。 例如 函数 在 内是有界的，因为对于任意 的恒有 。,（指函数值有界）,7/6/2020,值