数理方程第四章 格林函数法课件

1、第四章格林函数法、分离变量法主要适用于解决各种边界问题，傅立叶变换法一般适用于以无穷级数和无限积分的形式解决各种无限问题。格林函数法给出的解法是有限和有限的积分形式，对理论分析和研究很方便。1，PPT学习通讯，green函数也称为点源或影响函数。球体名称思想，意思，它表示特定边界条件和/或初始值条带，项目下的字段或影响。如果字段是从随机分布的源生成的，则可以将其视为从大量点源生成的字段的叠加，因此，green可以在函数计算一次后计算所有源的字段。格林函数法以一致的方式处理各种数学物理方程，既可以研究常微分方程，也可以研究分微分方程；可以研究齐方、程和非均匀方程；边界问题也可以研究，无限问题也可

2、以研究。其内容很丰富，应用很广泛，很普通。本章主要用green函数求解拉普拉斯，方程的边值问题。2，PPT学习交换，4.1 green公式及其应用，4.1.1基本解决方案，拉普拉斯方程的球坐标格式：(4.1.1)，方程(4.1.1)的球对称解决方案，即和，该解在三维拉普拉斯方程研究中起重要作用的3，PPT学习交换，二维拉普拉斯方程3360，(4.1.2)，求方程(4.1.2)的半径对称解(不相关解)的三维拉普拉斯方程的基本解，解为任意常数，这个解是二维，la位置方程的基本解，4，PPT学习交换，4.1.2格林公式，高斯公式，减去格林的第一个公式，命令，减去上述两个公式，格林的第二个公式，调和函

3、数：有二阶部分微分，5，PPT学习交换，4.1.3调和函数的积分表达式，绿色公式可以表示为调和函数的积分。函数：除，外的所有地方都满足三维Laplace方程，因此，清理：函数，具有一阶连续部分微分，在内进行调整时，区域内任意点的调和函数的值通过积分表达式得出区域边界的此函数的值和边界的方法，6，PPT学习交换，函数，中有一阶连续部分微分，满足泊松方程的话，4.1.4调和函数的性质，性质1。设定，区域，内部调和函数，如果存在一阶连续部分微分，其中外部法线方向。是的，只能在绿色公式中证明。注意事项：此性质指示调整函数的法线精灵数沿区域边界的积分为零。对于稳定的温度场，进出物体界面的热量相同。否则，

4、将无法保持热的动态平衡，导致温度场不稳定。7，PPT学习交换，思考：Laplace方程Neumann问题解答的必要条件是什么？特性2(平均定理)函数设置，面积，内部调整，是，内部随机点，是，中心，a是半径，球体，如果球完全在面积，内部，证明：由调整函数的积分表示：因为，有特性3(极值原理)设定函数，区域，内部调整，在，中连续的，不是常数的，只能在它的最大和最小，边界到达。推断1是唯一的解决方案，推断2 Dirichlet问题，在、在、在、在、在、在、在、在、在、在。9，PPT学习通信，4.2格林函数，调整函数有330360的积分，并且由于Dirichlet边值问题，这是唯一的解决方法，所以我希

5、望用积分表示这个问题的解决方案。但是，在积分表示法显示中，u，边界的值已知，但边界的值未知。如果是，是否可以用作添加到边界条件的值？因为此时唯一的解决方案已经存在。那么消除的唯一方法就是引入格林函数的概念。显然这不起作用，(4.2.1)，10，PPT学习交换，格林函数的物理背景，原点处的点电荷密度，点电荷密度，点电位，即点电荷密度，点电位，11，PPT学习交流，4.2.1 green函数的中存在一阶连续部分微分的情况下存在Dirichlet问题，中存在一阶连续部分微分的解，解是，(4.2.7)，存在，13，PPT学习交换，Poisson方程中的Dirichlet问题，中存在一阶连续部分微分的解

6、，解是，要解决Dirichlet问题，请务必获取Green函数(4.2.5)。其中v满足特殊Dirichlet问题，(4.2.8)，由函数v确定的green函数称为第一个边值问题的green函数。14，PPT学习通信，4.2.2 green函数的特性，1 .green函数，剔除点，处处满足，Laplace方程，时，其阶数是相同的。2 .在边界处，green函数始终为0:3 .在区域中设置不等式：(用极值原理证明)，4，(用green的第二个公式证明)，5，15，PPT学习交换，4.3 green函数的应用，使用镜像方法查找特殊区域的函数。4.3.1上、下空间中的绿色函数和Dirichlet问题

7、，上、下空间中的Dirichlet问题疑难解答，首先是上、下空间中的绿色函数，(4.3.1)，疑难解答，16，PPT学习交流，区域外部边界的象这两个电荷在区域中形成的电势就是所需的格林函数。17，PPT学习通信，所以半空间的green函数是，(4.3.2)。因此，问题(4.3.1)的解决方案可能显示为：平面z=0的外部法线方向是oz轴的负方向，因此问题(4.3.1)的解决方案解决了以下解决方案问题：18、PPT学习交换、和2。解决方案：19，PPT学习交换，4.3.2球域中的Green函数和Dirichlet问题。其中，(4.3.3)，即求解问题，求解球面域的Dirichlet问题是以坐标原点

8、o为中心，以r为半径的球面。在球区域中，绿色函数，20，PPT学习交换，在球内部，绿色函数，M0点电荷功率，M1点电荷功率，21，PPT学习交流，因此问题(4.3.3)因为，其中是，和，之间的角度：(4.3.4)，这个公式叫做球面积的泊松积分公式。以球体坐标表示，(4.3.5)，其中，是点，的球体坐标，是，的上一点的坐标，22，PPT学习交流，是与的夹角，所以，(4.3.6)，23，PPT学习交换，示例1。有半径为r的均匀球体，上半球的温度为0，求球的温度分布。保持下半球温度，解决方案：考虑解决问题，泊松积分公式(4.3.5)，24，PPT学习通信，由于此积分的计算困难，以下将考虑一些特殊位置

9、，温度分布。例如，寻找球体垂直直径上的温度分布，(直径的上半部分)，和(直径的下半部分)。时，(参见4.3.6)，所以，例如，25，PPT学习交流，时，这种形式的解释被方程式代替，直到出现特殊的解法。这种方法叫探测语法。28，PPT学习交流，示例1。寻找半径为r的无限均匀圆柱体，已知圆柱体内部没有热源，圆柱体、面的温度分布为、圆柱体内部温度的稳定分布。解决方案：圆柱体上的温度与z无关，因此域内的温度也必须与z无关。原始问题被简化，以解决圆域的la位置方程的第一侧值问题。采用极坐标，考虑了问题：(4.4.2)，根据设置，(4.4.1)，和(4.4.2)，的随机性为3360，29，PPT学习交流，示例2为气缸域，内的电位u为给气缸的30，PPT学习交换，示例3获取由两同心球形导体和，组成的电容器内的电位，以保持内部球体并接地外部球体。解决方案：考虑使用球体坐标设置问题，可以通过边界条件知道，球体的电位分布仅与r相关。也就是说，电势函数是对称的，电势与r成反比，因此可以设定，31，PPT学习交换，很明显，满足(4.4.5)，因为，是这个三维Laplace方程的基本解。(4.4.6)，(4.4.5) (4.4.6)的解释如下：如果您知道、32、PPT学习通讯、Poisson方程式的特殊解法，请使用函数代替4.4.2 Poisson方程式，将Pois