定积分的概念与性质

1、第六章 定积分,第一节 定积分的概念,二. 定积分的定义,一. 曲边梯形的面积,三. 定积分的性质,第一节 定积分的概念和性质,在我国古代南北朝（公元 429 500 年）时， 南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了 近似值.,在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。,阿基米德运用这种思想，求得抛物线 与 x 轴及直线 x =1 所围成的平面图形面积的近似值.,就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块

2、，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.,如果在上述方法中引入极限过程, 会产生什么效果?,一. 曲边梯形的面积,曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互 平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条 曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点 （这里不排除某直线缩成一点）.,1. 曲边梯形,2. 求曲边梯形的面积,首先，我们重复阿基米德的做法： 分划代替求和 得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程， 求出曲边梯形的精确值.,任意引入分点,称为区间的一个分法 T,对每个小曲边梯形均作上述的代替,二. 定积分的定义,任意引入分点,定积分符号：,关

3、于定积分定义的几点说明,例. 变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程 s.,解决步骤:,1) 分划.,将它分成,在每个小段上物体经,2) 代替.,得,已知速度,n 个小段,过的路程为,3) 求和.,4) 取极限 .,由极限保号性：,面积：,P234,说明:,根据定积,分定义可得如下近似计算方法:,将 a , b 分成 n 等份:,(左矩形公式),(右矩形公式),(梯形公式),为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 并有现成,的数学软件可供调用.,例1. 利用定义计算定积分,解:,将 0,1 n 等分, 分点为,取,注 利用注,注 利用,得,两端分别相加,

4、得,即,下面是几个关于函数可积性的定理.,运用定积分的概念及定积分的几何意义, 由函数的极限运算性质容易证明它们, 所以我们在这里不进行证明.,喂!,P226,定理 1,定理 2,定理 3,定理 4,定理 5,三. 定积分的性质 P234,由于定积分是一种和式的极限, 所以极限 的某些性质在定积分中将有所反映.,在以下的叙述中, 假设所出现的函数均可 积, 所出现的定积分均存在.,P234,证,由定积分定义及极限运算性质：,证,(小于零的情形类似. ),由极限的保号性立即可知.,证,当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如,则有,不论 a , b , c 的相对位置如何, 总有等式成立.,证,证,所以,连续函数在区间 上的平均值公式,证:,则由性质6 可得,根据闭区间上连续函数介值定理,使,因此定理成立.,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,内容小结,1. 定积分的定义, 乘积和式的极限,2. 定积分的性质,3. 积分中值定理,矩形公式,梯形公式,连续函数在区间上的平