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文档简介

1、第四节 有理函数的积分,有理函数的积分法 三角函数有理式的积分法 简单无理函数的积分法 小结、作业,1/32,2、有理函数的分类：,一、有理函数的积分法,真分式；,假分式；,1、有理函数的定义；,2/32,3、有理函数积分法,3/32,4/32,5/32,(4) 真分式化为部分分式之和的待定系数法:,例1,比较系数,（比较系数法）,6/32,或,（赋值法）,7/32,令,令,例2,（综合法）,8/32,例3,（综合法）,9/32,例4,10/32,例5,（没有用待定系数法）,11/32,12/32,注,（1）有理函数的原函数都是初等函数；有理函数的积分一定可以“积出来”； （2）有理函数的积分

2、总可以“程序化地”求出来； （3）对具体的有理函数的积分可能有特定的简便求法。,13/32,例6,14/32,*例7,15/32,1、三角有理式的定义：,由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数三角函数有理式可记为,二、三角函数有理式的积分,2、三角有理式的积分法：,16/32,万能代换公式：,17/32,例8,18/32,例9 求,解法一,19/32,解法二,先降分母次数,20/32,注（1）用万能代换一定能将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；,（2）万能代换不一定是最好的；,（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非“万能的”）：,1）若 R(-sinx,

3、 cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=cosx 为积分变量；,2）若 R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=sinx 为积分变量；,3）若 R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取 u=tanx 为积分变量。,21/32,解法三,22/32,例10 求,解一,23/32,解二,解三,24/32,解四,解五,25/32,例11,26/32,有理函数的积分.,三、简单无理函数的积分,27/32,例12 求,解 令,28/32,例13,29/32,例14,注,30/32,*例15 求,解,要将两个不同的根式分开，对分母进行有理化。,原式,31/32,（3）一些简单无理式的“程序化”积分法.,（1）有理式的“程序化”积分法；,（2）三角有理式的“程序化”积分法；,（具体三角有理式可能有其特定的简便积分法；用“万能代换”之前应先考虑是否有更简便的方法）,四、小

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