第四章 本构关系（应力应变关系）

1、第四章本构关系Constitutive Relations，本构关系(应力-应变关系)，引言单向拉伸应力-应变曲线广义钩的定律-应变能和应变馀能的正定性，引言，应力张量s -应力平衡方程式：位移矢量u -应变张量e几何方程式： (应变位移、应力、应变、平衡、相容性、本构关系、固体力学问题解法中的各量间关系、静力平衡条件和位移条件与物体的材料特性无关。 引言本结构关系的研究是固体力学最重要的课题之一，该结构关系是本结构关系材料变形与受到的应力的关系材料自身固有的性质。 引言单向拉伸应力应变曲线的广义钩定律应变能和应变馀量应变能的正性、结构关系(应力应变关系)、低碳钢拉伸时的应力-应变曲线、OB

2、:弹性阶段、sb、BC :屈服阶段、CD :强化阶段、DE :局部变形阶段、和因此，应力和应变之间可以视为单一值的对应关系。 单向拉伸应力应变曲线、弹性结构的关系、弹性的定义、应力仅是应变的函数，不论应变率如何，都与变形的历史无关的引言：单向拉伸应力应变曲线的广义钩子定律应变能和应变馀能应变能的正定性、结构关系(应力应变关系)、广义对某种材料在一定的温度下，e是常数。 杨氏模量、单轴拉伸时向与力作用线垂直的方向收缩。 在弹性极限内，横向的相对缩短与纵向的相对伸长成比例，缩短与伸长的符号相反，因此有：其中弹性常数称为泊松比。 泊松比、广义的钩定律，首先考虑在各正应力的作用下沿x轴的相对伸长，它是

3、、线弹性重叠原理、广义的钩定律，其中x的作用引起的相对伸长、y的作用引起的相对收缩、z的作用引起的相对收缩、广义的钩即使加上上述三个变形，无论通过x、y、z的同时作用得到x轴方向的变形，还是得到y轴和z轴方向的变形，根据实验，广义的胡克法则都只引起xy坐标面内的剪切变形xy，不引起xz、yz，所以得到得到了各向同性材料的应变-应力关系：广义胡克定律、杨氏模量、泊松比和剪切系数的关系以弹性结构关系为指标形式，广义胡克定律、广义胡克定律、广义胡克定律是什么？ 如何，、广义的钩定律，用应力第一不变量表示、三个正应力之和，称为体积弹性模量。 广义胡克定律，、令、广义胡克定律，弹性关系的通常形式，其中g

4、称为拉梅常数。 广义胡克定律是将应力和应变张量分解为球量和偏量，偏量和球量是相互独立的，所以广义胡克定律第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起的，对应的弹性常数k称为体积弹性模量。 (体积变化)，第二式表示弹性体的形状变形起因于应力偏差，对应的弹性常数是剪切弹性模量g的两倍。 (形状变化)、广义的钩定律、常用的三组弹性常数、广义的钩定律、薄壁筒扭转试验中测量g用静水压试验测量k。 实验表明，在这三种载荷的情况下，物体的变形总是与载荷方向一致(即，外力总是对物体的变形做正功)，所以广义的钩定律是，即广义的钩定律，如果设定为、0.5，则体积弹性模量k称为非压缩材料，相应的剪切弹对于广义的钩定

5、律、广义的钩定律、常用的弹性常数换算关系、各向同性的结构关系、各向同性的材料，正的应力在对应的方向上仅引起正的应变，剪应力在对应的方向上仅引起剪应变，它们不相互结合。 广义挂钩定律、各向异性的结构关系，对各向异性材料的一般情况，任何应力成分都可能引起任何失真成分的变化。 广义胡克定律的一般形式是：c是四次刚性(弹性)张量(由Taylor级数展开得到)，d是四次弹性张量。 广义的钩定律，线弹性材料常数的历史过程确定，广义的钩定律，弹性张量的Voigt对称性，广义的钩定律，下一节中，广义的钩定律，独立的弹性常数从81个下降到36个，广义的钩定律，其中应该指出，改写后的cmn (m，n16 )不是张

6、量。 由于存在Voigt对称性，对于最常见的各向异性材料，独立的弹性常数共计21个。 (1)一般的各向异性线弹性：没有弹性对称面的21，例如三斜晶，广义的钩定律，(2)具有一个弹性对称面的各向异性线弹性体： 13，例如单斜晶(正长石或云母等) e1，e2平面为弹性对称面，广义的钩定律，(2) (4)各向同性线弹性体： 5，例如六方晶、广义胡克定律、(5)各向同性线弹性体： 2、金属(随机排列结晶)、短纤维强化复合材料粒子强化复合材料、广义胡克定律、结晶、三斜(21 )单斜(13 )正交(9)三角(9)四方(7)六方(5) 广义胡克定律、各向同性时常用的弹性常数、思考：广义胡克定律等的关系如何引

7、言：单向拉伸应力应变曲线的广义胡克定律应变能和应变馀能的正性、结构关系(应力应变关系)、应变能和应变馀能外力的功能都转换成变形能并存储在弹性体内。 弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，卸载的物体恢复到未变形前的初始状态，变形位置全部被释放。应变能和应变能、非线性的应力应变关系、应变能和应变能、正应力11仅在正应力11下工作，其值，其他应力成分ij也仅在与其对应的应变成分ij下工作。 把这些功能叠加起来，用微体积dV除以、应变能和应变馀量，和应变能密度函数W(ij )，即，W(0)和W(ij )分别是物体变形前和变形后的应变能密度一般将变形前的初始状态设为参考状态，w(0)设为0。 绿色(Gr

8、een，g.)公式、应变能和应变能、应变能密度等于每单位体积的外力能。 应变能密度仅与物体的初始状态和最终变形状态无关，与变形的历史无关，是状态函数。 应变能是弹性材料结构关系的另一种表现形式，给出W(ij )的具体形式，应力-应变关系也是唯一确定的。 应变能和应变馀能、广义绿色公式、应变能和应变馀能、线弹性状况在无应变自然状态(ij=0)附近将应变能函数W(ij )对应变成分展开成幂级数：其中，应变能和应变能和应变馀能，是应变分量ij的二次排列式，从而证明弹性张量c对两个指标ij和kl具有对称性。应变能和应变能、各向同性材料的非线性弹性材料也必须考虑应变能的幂级数公式的高次项。应变能和应变馀

9、能、应变馀能模仿应变能的公式，应变馀能Wc可以定义为具有以下性质：应变能和应变馀能：应变能和应变馀能：应变能和应变馀能应变能和应变能，例如，在弹性悬臂梁的自由端突然加重物。 梁通过其静态平衡位置时，砝码做的工作是全工作，只有其中一半被转换成积蓄在梁上的应变能的剩馀一半的应变能表现为动能，它会引起梁砝码系统平衡状态附近的自由振动，通过与空气的摩擦来缓慢、应变能和应变能，引言单向拉伸应力曲线广义钩的规律应变能和应变能的正性、结构关系(应力应变关系)，热力学第一规律中dT和dE分别是动能的增量和增量，dA是外力给系统赋予的功， 热力学第二定律中温度，s是熵。 应变能的正定性的、代入，这是自然界所有热

10、力学过程都应该满足的方程式。 其中等号只适用于可逆过程。 对应变能的正定性、dS0的等熵(隔热)过程定义了自由能公式。 其中f、e和s分别表示物体的总自由能、总自由能和总熵。 由此，如果将e代入第二定律式，则等熵过程内e和等温过程的自由能f等于应变能u，因此上述二式、注意、应变能的正定性、即从外部赋予物体的功在可逆过程中转换为动能和应变能应变能的正定性是将装载前物体放置的热力学平衡状态选择为无应变的自然状态。 加载后的平衡状态称为变形状态和噪声状态。 如果自然状态是物体的稳定平衡状态，下面就证明应变能为正。 考虑到从自然状态到变形状态的准静态负荷过程，动能dT0。 而且，因为准静态过程是可逆的，所以方程式简化了应变能的正定性，且从稳定平衡状态到相邻扰动状态的外力必须做正功，即，dA0，所以要求上述方程式使自然状态的应变能为零，变形状态的应变能必须为正应变能的正定性限制了应变能的正定性或弹性常数的可能范围。 各向同性弹