多元函数的概念.ppt

1、多元函数的概念,一、多元函数的概念 二、二元函数的极限 三、二元函数的连续性,一、多元函数的概念,例1 矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系 S=xy (x0,y0)，,1.引例,其中长x和宽y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应.,例2 理想气体的压强P与容积V，绝对温度T之间有下列依赖关系,其中V，T是独立取值的两个变量，在它们的变化范围内，对V，T的每一组值，压强P有一个确定值与之对应.,2.二元函数的定义,定义1 设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z

2、为x，y的二元函数，记作 z=f(x,y) 或 z=z(x,y)， 其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.,当自变量x，y分别取x0，y0时，函数z的对应值z0，记作z0=f(x0,y0)，称为二元函数z=f(x,y) 当x=x0，y=y0，时的函数值.,类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.,函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.建立函数，一般是根据实际问题确定函数的定义域. 对于由数学式子表示但未说明具体范围的函数z=f(x,y)，定义域为使函数z有意义的自变量取值的全体.求

3、函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.,例3 求出二元函数 的定义域.,解 自变量x，y必须满足不等式,即函数定义域.,例4 求函数z=ln(x+y)的定义域.,解 函数的定义域为 x+y0.,例5 求函数 的定义域(a0,b0).,其图形是矩形内部(包括边界).,解 函数的定义域由不等式组,例6 求函数 的定义域.,解 函数的定义域为,它的图形是单位圆内部(不包括边界).,二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点.,全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域.这三个条件是：,(1) 其边界是由一

4、条或几条曲线所组成,(2) 点集内不包含边界上的点,(3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.,点集内包含边界上所有的点.,这种平面点集称为平面闭区域.,如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域.,例3，例5的定义域为有界闭区域.例4的定义域为无界区域.例6的定义域为有界区域.,如果上述条件(1)，(3)不变，将(2)改为 ：,3.二元函数的几何意义,函数z=f(x,y)的几何图形是一张曲面.这就是二元函数的几何意义. 而定义域D正是这曲面在Oxy平面上的投影.,例7 作二元函数z=1xy的图形.,解 由空间解

5、析几何可知它的图形是一张平面.在三个坐标轴上的截距均为1，它的图形在第一卦限的部分.,例8 作二元函数 的图形.,解 这是一张开口向上的旋转抛物面，定义域为全平面，为该曲面在 部分的图形.,例9 作二元函数 的图形.,解 函数的定义域 ，它的图形是单位圆的内部及其边界.函数图形是球心在原点，半径为的上半球面.,二、二元函数的极限,点P0的去心邻域(即不含圆心的邻域)可表示为,邻域 以点P0(x0,y0,z0)为圆心，0为半径的开圆域，称为点P0的邻域.该邻域的点P(x,y)，满足不等式,定义2 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一去心邻域内有 定义，如果动点P(x,y)在该邻域内

6、以任意方式趋于定点 P0(x0,y0)时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数A，则 称A为函数z=f(x,y)，当 时的极限，记作,或,或,当P(x,y)以不同路径趋于P(x0,y0)点时，函数趋于不同的值，则可以断定函数在P0(x0,y0)点的极限不存在.,对于二元函数的极限存在，是指当P(x,y)以任意方式趋于定点P0(x0, y0)，函数都无限接近于A.,例10 讨论二元函数,当P(x,y)O(0,0)时，极限是否存在.,解 当P(x,y)沿x轴趋于点O(0,0)时， 即y=0，f(x,y)=f(x,0)=0 (x0)，,当P(x,y)沿y轴趋于点O(0,0)时，即x=0，f(x,y

7、)=f(0,y)=0(y0)，,当P(x,y)沿直线y=kx轴趋于点O(0,0)时， 即f(x,y)=f(x,kx)= (x0)，,其极限值随直线斜率k的不同而不同.因此 不存在.,一元函数极限的有些运算法则(如四则运算法则，夹逼定理等) 可以相应地推广到二元函数.,三、二元函数的连续性,定义3 设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果当点P(x,y)趋于定点P0(x0,y0)时，函数z=f(x,y)的极限等于f(x,y)在点P0(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，即,则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.,如果在点P0(x0,y0)处，自变量x，

8、y各取增量x，y，函数随之取得增量z，即,就相当于,这个增量称为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)上的全增量.现在用函数的全增量来表述函数在一点处连续的定义.记 ，定义3中的等式,即,于是与定义3等价的另一个定义是：,如果函数z=f(x,y)在开区域D上各点都连续，则 称函数z=f(x,y)在开区域D上连续.连续的二元函数 z=f(x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面.,例11 证明函数 在整个Oxy平面上连续.,证 在Oxy平面上任取一点(x,y)，分别给x，y以增量x,y，得函数z的全增量,根据二元函数极限的运算法则，有,即函数 在整个Oxy平面内连续.,如果函数z=f(x,y)

9、在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点.,与一元函数情形类似，如果函数z=f(x,y)有下列情形之一：,(1)在点P0(x0,y0)没有定义，,(2) 在点P0(x0,y0) 有定义， 不存在，,(3) 在点P0(x0,y0) 有定义，且 存在，但,则点P0(x0,y0)为函数的z=f(x,y)的间断点.,二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点外，还可能有间断线.,例12 函数 在圆周 上的每一点都是间断点，因为在圆周上的点，函数无定义.圆周 是该函数的一条间断线.,如果z=f(x,y)在闭区域D的边界上每一点都连 续，而且在域D内任一点也连续，则称z=f(x,y)在闭 区域D上连续.在边界点P0(x0,y0)处的连续性定义为： 当点P(x,y)在闭区域D上以任意方式趋于点P0(x0,y0) 时， .如果闭区域D上任意两点之 间的距离都小于或等于某个常数C，就称D为有界闭 区域.,与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：,性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定有最大值和最小值.,性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.,二元初等函数