2027山东专升本高数一 常数项级数敛散性判定专项训练（逐题详细解析）

山东专升本高数一常数项级数敛散性判定专项训练考纲适配说明：本专题完全匹配山东专升本高数一无穷级数必考考点，涵盖常数项级数基础性质、敛散必要条件、正项级数两大判别法、交错级数莱布尼茨判别法、绝对收敛与条件收敛五大核心题型，为每年必考选择、填空、解答大题考点。所有题目难度、题型、解题步骤严格对标专升本阅卷标准，零基础可直接套用解题模板。专升本必考核心结论（满分必背）1.敛散必要条件：级数n=1∞un收敛2.几何级数（等比级数）：n=0∞aqn3.p-级数：n=1∞1np，p4.正项级数比值判别法：limn→∞un+1u5.交错级数莱布尼茨判别法：n=1∞(-1)n6.绝对/条件收敛：绝对值级数收敛为绝对收敛；绝对值发散、原交错级数收敛为条件收敛。一、基础单选题（8题，考点：性质、必要条件、基础级数）题1下列级数一定发散的是（）A.n=1∞1n2;B.n=1∞n答案：B详细解题步骤：步骤1：利用级数发散必要条件判定：若limn步骤2：计算B选项通项极限：limn步骤3：验证其余选项：A、D为p>1的p级数，收敛；C为|题2几何级数n=1∞34A.收敛;B.发散;C.无法判定;D.条件收敛答案：A详细解题步骤：步骤1：识别几何级数标准形式，公比q=步骤2：根据结论：|q步骤3：该级数为正项级数，无条件收敛说法，直接判定收敛。题3下列p-级数中发散的是（）A.n=1∞1n1.2;B.n=1答案：B详细解题步骤：步骤1：回忆p级数判定规则：p>1收敛，p步骤2：B选项为调和级数，p=1步骤3：A、C、D均满足p>1题4若limn→∞unA.一定收敛;B.一定发散;C.不一定收敛;D.绝对收敛答案：C详细解题步骤：步骤1：明确必要条件逻辑：级数收敛⇒lim步骤2：反例：调和级数∑1n满足步骤3：故极限为0，级数敛散性不确定，选C。题5正项级数判别中，比值判别法适用于（）A.含阶乘、指数幂的级数;B.仅p级数;C.仅交错级数;D.所有常数项级数答案：A详细解题步骤：步骤1：专升本解题技巧：比值判别法优先用于含n!、a步骤2：p级数、多项式分式级数优先用比较判别法；交错级数用莱布尼茨判别法；步骤3：故选A。题6交错级数n=1∞(-1)A.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.无法判定答案：B详细解题步骤：步骤1：判定绝对收敛：绝对值级数为调和级数∑1步骤2：莱布尼茨判定：un=1步骤3：绝对值发散、原级数收敛，为条件收敛。题7级数n=1∞(1A.收敛;B.发散;C.条件收敛;D.绝对发散答案：A详细解题步骤：步骤1：级数性质：两个收敛级数的和仍收敛；步骤2：∑12n步骤3：∑1n2是p步骤4：二者之和收敛。题8下列属于条件收敛的是（）A.∑(-1)n-11n2;B.答案：B详细解题步骤：步骤1：A、C绝对值级数均收敛，为绝对收敛；D为正项收敛级数；步骤2：B选项：绝对值级数∑1n，步骤3：交错级数满足莱布尼茨条件，原级数收敛，故为条件收敛。二、填空题（6题，高频基础考点）题1级数n=1∞2答案：发散详细解题步骤：步骤1：求通项极限：limn步骤2：不满足级数收敛必要条件，级数发散。题2几何级数n=0∞0.8答案：收敛详细解题步骤：步骤1：公比q=0.8，|步骤2：几何级数收敛判定，直接得结果。题3p-级数n=1∞1答案：发散详细解题步骤：步骤1：p=0.9<1，满足p步骤2：判定发散。题4交错级数收敛的两个条件是un________、lim答案：单调递减详细解题步骤：步骤1：莱布尼茨判别法两大核心条件：正项单调递减、通项极限为0，缺一不可。题5级数n=1∞(-1答案：绝对收敛详细解题步骤：步骤1：绝对值级数∑1n3步骤2：绝对值收敛，原级数绝对收敛。题6正项级数比值判别法中，ρ________时级数收敛。答案：<1详细解题步骤：步骤1：比值判别法结论：ρ<1收敛，ρ>1发散，三、正项级数敛散性计算题（6题，专升本解答大题核心）大题1（比值判别法基础）判定级数n=1答案：收敛详细满分步骤：步骤1：识别正项级数，含指数、阶乘，选用比值判别法；步骤2：写出通项：un步骤3：计算比值极限：limn步骤4：ρ=0<1大题2（比值判别法）判定n=1答案：收敛详细满分步骤：步骤1：正项级数，含指数项，用比值判别法；步骤2：un步骤3：求极限：limn步骤4：ρ=大题3（比较判别法）判定n=1答案：收敛详细满分步骤：步骤1：正项级数，多项式分式，用极限比较判别法；步骤2：找同阶p级数：分母最高次为2，对标∑1步骤3：计算极限：limn步骤4：极限为非零常数，两级数同敛散，原级数收敛。大题4（比较判别法）判定n=1答案：发散详细满分步骤：步骤1：正项级数，对标p级数∑1步骤2：极限比较：limn步骤3：与发散调和级数同敛散，原级数发散。大题5（必要条件秒杀）判定n=1答案：发散详细满分步骤：步骤1：优先验证通项极限：limn步骤2：不满足收敛必要条件，直接判定发散。大题6（综合判别）判定n=1答案：收敛详细满分步骤：步骤1：绝对值放缩：|sin⁡n步骤2：∑1步骤3：原级数绝对收敛，故收敛。四、交错级数与绝对/条件收敛大题（4道真题压轴）大题1判定交错级数n=1答案：条件收敛详细满分步骤：步骤1：判定绝对收敛：绝对值级数∑1n+1，等价p步骤2：莱布尼茨判定交错级数收敛性：①un=1n+1②limn步骤3：满足莱布尼茨条件，原交错级数收敛；步骤4：绝对值发散、原级数收敛，为条件收敛。大题2判定n=1答案：绝对收敛详细满分步骤：步骤1：考察绝对值级数∑n步骤2：比值判别法：limn步骤3：原级数绝对收敛。大题3判定n=1答案：条件收敛详细满分步骤：步骤1：绝对值级数∑2n-步骤2：莱布尼茨验证：un=2步骤3：原级数收敛，为条件收敛。大题4（真题改编）判定n=1答案：条件收敛详细满分步骤：步骤1：绝对值级数发散（专升本拓展结论：∑1步骤2：un=1步骤3：综上为条件收敛。五、专升本满分解题模板+避坑总结1.解题优先级（考场最快顺序）第一步：看通项极限，limu第二步：正项级数：含阶乘/指数用比值法，含分式/幂次用比较法；第三步：交错级数：先判绝对收敛，不满足再用莱布尼茨法；第四步：区分绝对收敛、条件收敛、发散三类结果