第一章地球椭球的基本公式

1、1,地图投影Map Projections,蒲英霞 南京大学地理信息科学系 2009年9月,2,第一章 地球椭球体的基本公式,3,地球椭球体的形状和大小 地球椭球面上的基本点、线、面和地理坐标 子午圈、卯酉圈曲率半径及平均曲率半径 地球球半径 经线弧长 纬线弧长 地球椭球面上的梯形面积,4,大地水准面与大地体（Geoid）,设想当海水面完全处于静止状态下，并延伸到大陆内部，使它成为一个处处与铅垂线（重力线）正交的连续的闭合曲面，这个曲面叫做大地水准面。由它所包围的球体，叫做大地体。,1.1 地球椭球体的形状和大小,大地水准面仍然不是一个规则的曲面，而是一个起伏不平的重力等位面，即地球物理表面。

2、,5,高程基准是推算国家统一高程控制网中所有水准高程的起算依据，它包括一个水准基面和一个永久性水准原点。其中水准基面在理论上通常采用大地水准面，实际上是取验潮站长期观测结果计算出来的平均海面来确定的。 中国以青岛港验潮站的长期观测资料推算出的黄海平均海面作为中国的水准基面，即零高程面。 中国水准原点建立在青岛验潮站附近，并构成原点网。用精密水准测量测定水准原点相对于黄海平均海面的高差，即水准原点的高程，定为全国高程控制网的起算高程。,大地水准面的作用高程基准,6,地球椭球面与地球椭球体(Ellipsoid),选择一个大小和形状同大地水准面极为接近的，以椭圆短轴为旋转轴的旋转椭球面。这个旋转椭球

3、面可代表地球的形状，又称为地球椭球面或参考椭球面（原面）。由它所围成的球体，称为地球椭球体或地球椭球。,7,地球椭球体的形状和大小,扁 率(Flattening or Compression),第一偏心率(First Eccentricity),第二偏心率(Second Eccentricity),8,第一偏心率和第二偏心率之间的关系：,9,世界各国常用的地球椭球体数据,10,1952年以前采用海福特椭球体 从1953年起采用克拉索夫斯基椭球体 1980年国家大地坐标系采用的地球椭球体（1975年大地坐标系）的参数：ae= 6378140，扁率为1：298.257 2008年7月1日起启用20

4、00国家大地坐标系，具体参数为： ae = 6378137，be=6356752.31414 , 扁率为1：298.257222101,我国采用的椭球体：,11,1980西安坐标系,1954年北京坐标系,2000国家大地坐标系,12,1.2 地球椭球面的基本点、线、面和地理坐标,平行圈(parallel),子午圈(meridian) : 长半径为ae，短半径为be的椭圆,纬线(parallel),地理经度(longitude),地理纬度,点,两极 (pole),线,地理纬度(latitude ),经线(meridian),面,地理坐标,13,子午圈,卯酉圈,1.3 子午圈、卯酉圈曲率半径及平均

5、曲率半径,通过地面任一点的法线可以有无数法截弧，它们 与椭球面相交则形成无数法截弧，其中有一对互相垂直的法截弧，称为主法截弧。主法截弧都是椭圆，其中一个是子午圈。,与子午圈垂直的另一个圈称为卯酉圈。地球椭球面上的子午圈始终代表南北方向；卯酉圈除了两个极点外，代表东西方向。,14,子午圈曲率半径(radius of curvature in meridian)(M) ：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最小的曲率半径。,卯酉圈曲率半径(radius of curvature in prime vertical)：地球椭球体表面上某点法截弧曲率半径中最大的曲率半径 (N) 。,15,子午圈曲率半

6、径(M)和卯酉圈曲率半径（N）之间的关系,在赤道上：,在极点上：,子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N）除在两极处相等外，在其它纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。,16,曲率和曲率半径,设一曲线的直角坐标方程是y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。则该曲线的曲率为：,曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。,17,三轴平均球半径：椭球体三个半轴取平均数,等面积球半径：球体的面积等于地球椭球体的面积,等体积球半径：球体的体积等于地球椭球体的体积,1.4 地球球半径,18,1.5 经线弧长,设在经线上有一点A，其纬度为1 ，当A点沿经线移动一无限小距离达

7、到A点时，纬度增加d，设A点的经线曲率半径为M，则经线上这一微分弧AA为,如果求 1至2一段经线弧长，可将上式积分，即,19,将子午圈曲率半径M带入上式，经整理，最后得：,其中,同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增长,纬差1的子午线弧长在赤道为110576m,在两极为111695m。,20,1.6 纬线弧长,在地球椭球体上，纬圈是圆。若求纬线上两点间经差为（2-1）的一段弧长，可由下式求得：,同经差的纬线弧长由赤道向两极缩短,经差1的纬线弧长在赤道为111321m，在纬度45处为78848m，在两极为0。,21,1.7 地球椭球面上的梯形面积,设在地球椭球面上，有两条无限靠近的经线和两条无限靠

8、近的纬线，其经度为和+d ，纬度为 和d 。它们构成了一个微分梯形ABCD（如图所示）。这个微分梯形的边长为经线和纬线的微分弧长。因而有：,于是微分梯形的面积为：,经度为1和2的经线和纬度为1和2所围成的球面梯形的面积，可由下式积分求得：,22,上式经过积分并加以整理，得：,其中,23,实习作业,计算纬度为3230N的纬圈上某一点的子午圈曲率半径（M）、卯酉圈曲率半径（N）和纬圈半径（r）。 计算从赤道（0）至3230N的经线弧长。 计算在3230N纬圈上从本初子午线（0）至11930E的纬线弧长。 计算球面梯形（30N35N，115E120E)的面积。 几点注意事项： 比较克拉索夫斯基椭球体与2000国家大地坐标系中所采用的椭球体之间的区别； 变量名称的定义统一； MajorRadius(a), MinorRadius(b), Eccentricity(e) MeridianRadius(M), PrimeVerticalRadius(N), Parall