立体几何中的向量方法三）

1、ZPZ,3.2.3立体几何中的向量方法（三）,空间“角度”问题,知识与技能: 1）理解并掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般方法（“三步曲”）。 2）了解如何利用已知条件适当的建立坐标系，初步体会向量法和坐标法的优越性.,教 学 目 标,过程与方法: 1）经历向量法解决立体几何相关问题的一般过程，初步认识向量方法解决立体几何问题的优势。 2）在解题过程中，让学生领悟类比思想在解题中的应用。 3）在解题中融入数学建模思想，增强学生的应用的意识，提高学生的抽象概括能力。 情态与价值: 1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点。 2）培养学生勇于探索、不断发现新知识的精神。 3）通过变

2、式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。,教 学 目 标,教学重点： 理解并掌握向量方法解决立体几何相关问题的一般步骤。（“三步曲”） 教学难点： 建立空间图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。,教学重、难点,一、复习引入,用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。,（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,向量的有关

3、知识：,两向量数量积的定义：ab=|a|b|cosa,b,两向量夹角公式：cos a,b =,直线的方向向量：与直线平行的非零向量,平面的法向量：与平面垂直的向量,(课本第107页练习2)如图，60的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,二面角的平面角,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为 其中AB,例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分

4、别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。,因此,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,思考：,（1）本题中如果夹角 可以测出，而AB未知， 其他条件不变，可以计算出AB的长吗？,分析：, 可算出 AB 的长。,（2）如果已知一个四

5、棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？,分析：如图，设以顶点 为端点的对角线 长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。,（3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？,A1,B1,C1,D1,A,B,C,D,分析：,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,解：如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1EAB 于点 E，,E,F,在平面 AC 内作 CFAB 于 F。,可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。,空间“夹角”问题,1.异面直线所成

6、角,l,m,l,m,若两直线 所成的角为 , 则,例2,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,练习：,在长方体 中，,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为 其中AB,2、二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ,2、二面角,若二面角 的大小为 , 则,法向量法,例2 正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余

7、弦值。,故,则可设 =1， ，则B(0,1,0),作 于E, 于F， 则 即为二面角 的大小,在 中， 即E分有向线段 的比为,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,即二面角 的余弦值为,解法二：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,在坐标平面yoz中,设面 的一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),由 得,解得,所以，可取,即二面角 的余弦值为,方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角,1. 已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1） 求证： 直线 面MAC （2）求二面角 的余弦值,巩固练习,2. 线面角,2. 线面角,l,设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ( ),则,以观察为起点，以问题为主线，由简入深，通过问题的不断深入，引导学生进行探究，既突出重点，又分