第五章-动态电路的时域方程

1、主要内容,状态变量分析的基本概念。 状态方程的建立：直观法、拓扑图法 线性状态方程的解析解法 状态方程的：选、列、解 输出方程是线性代数方程组，不难列写及求解 两种列动态电路方程的方法：(微分代数方程） 改进节点法 端口分析法 （一般了解）,第五章 动态电路的时域分析 状态变量分析,5-1 状态变量分析的基本概念,一、状态、状态变量、状态方程 电路的状态：是确定系统行为的一组最少数据 集合 1、对于某一任意的时刻t0，可以根据t0时刻的值及t t0时的输入 来唯一地确定t t0的任一时刻的系统的行为； 2、根据在t时刻的值及t时刻的输入(或者输入的导数)能够唯一地确定在t时刻的任一电路变量的值

2、。 知道电感电流、电容电压为状态变量 电路的状态实质上是指电路的储能状况。 其他网络变量如果也具有上述性质，即满足下列两个条件，也可作为网络的状态： a. 如果已知网络变量集X（各个元素都是独立的），在 时刻的值 X(t0)及从 开始的输入，则对任意时刻t，X(t)便完全确定； b .由X(t)和输入可确定任何其他网络变量（输出）集Y(t),t t0,状态变量、状态向量和状态空间,状态变量：描述状态的变量 动态电路的状态变量是确定动态电路运动行为的最少一组变量。记作 x1 (t) , x2 (t) ,xn (t)。独立完备变量 状态变量在 t0时刻的取值： 就是系统在t0 时刻的状态 初始状态

3、: 电路在初始时刻tt0的状态 状态向量: 将n个状态变量x1 (t) 、 x2(t) 、xn (t) 构成的列向量x(t) 它的每一元素或分量 称为状态变量。 状态空间：状态向量所在的空间，即把每一个状态变量作为一个坐标所形成的线性空间称为状态空间，也就是各个分量x1、x2、xn （状态变量的个数）为轴所构成的欧氏空间（实数域中的实数满足：对称性、线性性、正定性） 状态轨迹：每一时刻的状态在状态空间中都对应着一个“点”，所有这些“点”所形成的“轨迹”称为状态轨迹,状态方程,状态方程 (1)线性时不变网络,A为系数矩阵，B为控制矩阵,(2)线性时变网络,(3)非线性网络,规范化：,变换：,时变

4、网络：,时不变网络：,规范型状态方程的特征,规范型状态方程的特征: (1)每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一 阶导数; (2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数关系,但不出现对时间的导数项。,输出方程,输出方程 联系输出与状态变量和输入之间的关系式 (1)线性时不变网络,y为输出向量,x为状态向量, u为输入向量, C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵。,(2)线性时变网络,(3)非线性网络,状态方程和输出方程称为动态方程，它既表达了网络内部状态又描述了输出，是网络的完全描述，可称为状态变量模式或状态空间模式,状态变量的选取原则,D型元件类比电容 E型元件类比电感,最少

5、、完备；合理、方便。状态与能量有关 各独立电容元件的电压或电荷： 各独立感容元件的电流或磁链： 时变网络中要考虑跃变等 各独立高阶D型元件电压： 各独立高阶E型元件电流：,二、网络的复杂度 (Order of Complexity),定义 网络中独立初始条件的数目,即独立完备的状态变量数目 是为求解微分方程组所需要的独立初始条件的数目 线性时不变网络的复杂度 uC(或qC)和iL(或L)选作电路的状态变量。 常态网络 对于仅由电阻、电感、电容和独立电源组成的网络,如果不存在 仅由电容和独立电压源组成的回路(称为C-E回路)和 仅由电感和独立电流源构成的割集(称为L-J割集) 则称为常态网络.

6、否则称为非常态网络又叫蜕化网络（含C-E回路， L-J割集）,:常态网络的复杂度：不含受控源,含受控源,独立电容、电感的个数,C-E回路,C-E回路:,仅由电容和/或电压源组成的回路,C-E回路又称为纯电容回路或全电容回路,L-J割集:,仅由电感和/或电流源组成的割集,L-J割集又称为纯电感割集或全电感割集,独立电容电压,C-E回路中一个电容电压不独立,独立电感电流,:非常态网络的复杂度：不含受控源,L-J割集中一个电感电流不独立,广义常态网络及其复杂度,广义常态网络 当电路中含高阶代数元件（D型元件、E型元件）不存在仅由电容、D型元件和独立电压源组成的回路(广义CE回路)和 仅由电感、E型元

7、件和独立电流源构成的割集(广义LJ割集),则称为 广义常态网络, 否则称为广义非常态网络。,:广义常态网络的复杂度,广义非常态网络的复杂度,:广义非常态网络的复杂度,广义C-E回路：电容、D型元件和独立电压源组成的回路 广义L-J割集：电感、E型元件和独立电流源构成的割集,广义非常态网络,对于一个复杂的网络要找出所有独立的全电感割集和所有独 立的全电容回路并不轻而易举。为了确定 ，使用子图 和子图,网络复杂度的计算方法（R,L,C,D,E):确定C-E回路和L-J割集的拓扑方法,用拓扑法决定独立的(广义)C-E回路和(广义)L-J割集,(1)用开路方法确定(广义)C-E回路数：开路所有R、L、

8、E （移去），独立电源置零，只保留电容支路，得子网络 任选一个树，子图中的独立回路数即原网络中独立的全电容回路数 (2)用短路方法确定(广义)L-J割集数 ：短路所有R、C、D （缩减），独立源置零，保留电感支路，得子网络 任选一个树，子图中的独立割集数即原网络中独立的全电感割集数,例,对于含有受控源和负元件的网络 ：存在隐性约束 复杂度仅凭网络拓扑结构还不足以决定，对于有源网络，还要考虑网络参数。,例 试确定图示电路的复杂性阶数（复杂度） 解：以Uc为状态列出图示电路的状态方程,微分方程蜕化为代数方程,复杂度的意义： 1）预知并直接指导列写状态方程 2）复杂度的推广可成为系统故障分析和诊断的

9、一种分类依据。,5-2 状态方程的建立,概述 状态方程的建立方法 ： 直接法 间接法,一、状态方程的直接列写法,1、直观列写法,例题1,例题2,例题3,列写步骤：,(1) 选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为预选状态变量；,(2) 对每个独立的电容，选用一个割集，并依据KCL和电容的VAR列写节点方程；,(3) 将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成标准形。,对每个独立的电感，选用一个回路，并依据KVL和电感的VAR列写回路方程；,一、状态方程的直观列写法（续）,2. 网络拓扑图法：,(1) 所有独立电容、D型元件和电压源选为树支,(2) 所有独

10、立电感、E型元件和电流源选为连支,(3) 电阻可在树或连支上,1）. 选择树（特有树）,2）. 选树支上电容电压、压控型高阶元件电压和 连支上电感电流、流控型高阶元件电流为预选状态变量,对常态网络特有树存在；非常态网络特有树不存在，则只能尽可能多的选电容和电压源做树支，尽可能多的电感和电流源做连支，然后又C-E回路消非独立电容电压和L-E割集消去非独立电感电流,例题4,例题5,4）. 借助未利用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形。,3）. 对电容树支的基本割集列写KCL方程； 对电感连支的基本回路列写KVL方程。,3、线性时变网络的状态方程,对时

11、变电感元件 ，选磁链(t)作为状态变量 。,例题6,状态变量的选择,对时变电容元件 ，选电荷 qC(t)作为状态变量 。,方程比用电压和电流表示简洁,4、非线性动态电路状态方程的列写,非线性电路状态方程的标准形式为,x为n维状态变量向量，F是x的某种非线性函数向量,状态变量的选择：,压控电容的电压、荷控电容的电荷,流控电感的电流、链控电感的磁链,一般取元件特性的控制量,非线性动态电路状态方程的列写示例,例题7,例题8,二、间接编写法,实现：由输入输出方程到状态方程 情形1,取 为系统的n 个状态变量,且设,矩阵形式为,即,A为友矩阵,系统的输出方程：,即,情形2,若,(a),(b),取,为状态

12、变量,(b)式代入（a）式，得,(c),当采用式(b)所表示的一组状态变量时,我们可以得 到,(d),再根据式(b)和式(c),可得,即 ,输出方程为：,即 ,:一个线性动态系统的输入中含有导数项并不会影响矩阵A中各元素,只会影响矩阵B中各元素。,5-3 线性状态方程的解析方法,分类1： 数值解法 解析解法,一、线性状态方程的时域解法,1、线性时不变网络状态方程的解法,分类2： 时域解法 频域解法,状态方程的解法分类,状态方程的解析解,非齐次状态方程的矩阵形式:,等式两边左乘矩阵指数函数,从0_到t积分，得,零输入响应,零状态响应,矩阵指数函数eAt 及其性质,性质,定义,与普通指数函数的性质

13、相同，但由于矩阵乘法不满足交换律，有些性质又不同,输出方程的解,如果系统运行的初始时间为t0 ,则,输出方程,状态转移矩阵 : 矩阵指数函数,其解为,记作,零输入响应,零状态响应,状态转移矩阵的性质,的性质,对于线性时不变网络,冲激响应矩阵,定义,零状态响应为,称为冲激响应矩阵,矩阵指数函数的计算,(i) 化 为有限项之和进行计算,凯莱-哈密顿(Cayley Hamilton)定理,一个n阶方阵必定满足于它自身的特征方程,n阶方阵A的特征方程为,求待定系数,A的特征值各不相同,情况1 A的特征值各不相同,返回,的转置称为范德蒙矩阵,例题,矩阵形式,特征根有重根,情况2 A的特征根1为m阶重根,

14、其它特征根均为单根。则重根部分， 对1求导得方程组：,例题,该方法对A阶数不太高尚可,（ii）相似变换化A为对角阵进行计算 设A有n个彼此相异的实特征根1,2,n。 定义 diag1,2,n； 设变换阵P(1),(2),(n)，,P为特征向量构成的可逆矩阵，相似变换阵，使得A与 是相似矩阵,由相似变换的定义式得：,代入特征根和P的分块得：,由此得出变换阵P,设A有m重根化A为Jordan标准型,可见关键是确定J和可逆阵P,取,代入状态方程,例题,解耦状态方程,可见原方程经线性变换后，已分解为二个去耦(解耦)的一阶系统,实例,2、线性时变网络状态方程的解法,状态方程为,状态方程的解为,输出方程为

15、,其解为,二、状态方程的复频域解法,线性时不变网络的状态方程为,令,对状态方程两边取拉氏变换,状态方程的复频域解,零输入响应象函数 零状态响应象函数,状态方程的时域解为,矩阵(s1A)1称为预解矩阵,输出方程,称为网络函数矩阵,例题,式中,零输入响应象函数 零状态响应象函数,对于非线性动态电路,对于流控电感,对于压控电容,对于线性动态电路,以p表示微分算子,则,5-5 稀疏表格法,对于荷控电容和链控电感,对于含有高阶元件的电路,对于忆阻元件,对于线性动态网络,对于非线性高阶元件,对于非线性动态电路,例题1,例题2,5-6 改进节点法,线性动态电路时域的改进节点电压方程,式中Yn1、C和D中可能

16、含有一阶微分算符 这是由网络中的贮能元件、忆阻元件和高阶元件引 起的。,例题1,例题2,5-7 端口分析法,一、线性动态网络的端口法 常态网络 1、多口网络的混合参数方程,把储能元件、高阶元件和独立源抽出跨接生成多口网络。 电容元件、D型元件、电压源电压端口 电感元件、E型元件、电流源电流端口,以电压端口的电压和电流端口的电流为自变量， 电压端口的电流和电流端口的电压为因变量列出混合参数方程,或者,2、跨接元件VAR,对于p个电容组成的p口网络,p阶矩阵C在仅由二端线性电容组成的情况下 为一对角矩阵,q阶方阵L在仅由二端线性电感组成的情况下 为一对角矩阵,r阶方阵E在仅由二端线性E型元件组成的

17、情况下为一对角矩阵,对于q个电感组成的q口网络,对于r个E型元件组成的r口网络，流控型元件,每个E型元件人为引入的状态变量中的一个，除此还要补充描述E型元件的其他一阶微分方程，即,设第k个E型元件的阶数为mk ，需要补充mk1个状态方程,对于S个D型元件组成的s口网络：压控型元件,每个D型元件人为引入的状态变量中的一个。一般,设第K个D型元件的阶数为nk,需要补充其他一阶微分方程，（ nk1）个状态方程,这样的方程共有S个,该阵为（p+q+r+s)阶对角阵或分块对角阵，若逆阵存在,该式与r个（575b）和s个（576b）联立即为所求网络的状态方程,步骤： 抽出跨接元件，形成多口网络 列出混合参

18、数方程 代入状态变量相应的VAR，E，D型补充（mk- 1), (nk-1)个状态方程 消非状态变量,作业：61，62,THE END,例题集,例1 列写如图所示电路的状态方程。,解,对接有电容C的节点a列写节点方程，得,选电容电压uC和电感电流i1、i2为状态变量,对含有L1的回路C-L1-u S和含有L2的回路 C-L2-R-u S分别列写回路方程， ,对上述方程进行整理并写成矩阵形式，得,返回(back),例2 列写如图所示电路的状态方程。,解 每个元件作为一条支路，可作出图示的有向图(实线为树支)。,选 和 为状态变量。,对基本割集列写KCL方程，得,对基本回路列写KVL方程，得,写成

19、标准形式，得,返回(back),例3 列写图示电路的状态方程。,解 对C1、C3和us组成全电容回路,对L2、L4和is构成全电感割集,故u1和u3两个电容电压只能选其中之一为状态变量；,电路的有向图如图示,故i2和i4两个电感电流只能选其中之一为状态变量。,，故选u1和i2为状态变量。,，应用KVL得,，应用KCL得,对基本回路列写KVL方程，得,对基本割集列写KCL方程，得,消去u3和i4，整理成标准形式的状态方程，有,返回(back),例4 列出图示电路的状态方程和输出方程。设输出为电阻电压u3和u4。,解 电路的有向图如图示。,选取u C、i1和i2为状态变量,含电容的基本割集电流方程

20、为,含电感的基本回路电压方程分别为,对基本割集列写电流方程，得,代入基本回路电压方程，得,对基本回路列写电压方程，得,状态方程的矩阵形式为,由,和,根据欧姆定律：,返回(back),输出方程的矩阵形式为,含高阶元件的电路例题,例5 试列写如图所示网络的状态方程。高阶元件D的赋定关系为,解 由KVL和电感的VAR得,例5 试列写如图所示网络的状态方程。,由KCL和高阶元件的赋定关系及电导的VAR得,令,所求的状态方程为,返回(back),线性时变网络例题,例6 试写出图示时变网络的状态方程。,解 取电感电流i和电容电荷q为状态变量,图中,则矩阵形式的状态方程为,返回(back),若取电感电流i和

21、电容电压uC为状态变量，则电路的 状态方程为,非线性动态电路,例7 列写图示电路的状态方程。,解 选电容电压u C和电感电流i L作为状态变量。,由KCL和电容的VAR得,由KVL和线性电感的VAR,图中非线性电阻的伏 安关系为,将非线性电阻的VAR代入上式,并注意到iRiL，得,电路的状态方程,例8 试列写图示电路的状态方程。其中,非线性电容的特性方程为uCh(q),非线性电感的特性方程为i Lf()。,解 取电容电荷q和电感磁链作为状态变量。,按KCL得,由KVL得,将iLf()和uCh(q) 代入，消去非状态变量,返回(back),电路的状态方程为,例9 图(a)所示的电路是一个出现非物

22、理现象的电路。图中,电感为线性元件,非线性电阻为压控的,其赋定关系为iRf(uR)uRu3R3。 对图示电路,应选电感支路为连支,电阻支路为树支。 由于树支电阻为压控的, 不满足元件特性条件, 故无法列出状态方程。 但我们可以列出其电路方程。,(a),由此可见,uR与 总是异号的,即 如图（b）所示，Q1,Q2为死点,(b),修正方法：在电路中添加一个数值很小的寄生电容 如图(c)所示(对于实际电路来说,这种寄生电容总是存 在的)。此时可列出状态方程为,返回(back),(c),例10 在图中(a)的电路中,一个1的线性电阻与一个赋定关系为qCf(uC)uC0.5u3C的压控非线性电容相连。对

23、于该电路可列出如下方程 如图（b）所示，Q1,Q2为死点,(a),(b),方法：添加一个D型FNDR元件(D为微量),如图(c)所 示。引入变量 ，则 可得下列标准形式的状态方程,返回(back),(c),矩阵指数函数,例 已知,解 A的特征方程为,求 。,特征根为11,22。代入上式有,解得,返回(back),例 已知,解 A的特征方程为,特征根1为二阶重根,求,据前式有,返回(back),解得,例 已知 求 。 解 A的特征方程为 为了求得变换矩阵P，需要求出对应不同特征值的特 征向量。 时，由 可得一独立方程。,取 ，则 ，即 时，得一独立方程 取 ，则 ，即,于是 矩阵P正好为范德蒙矩阵。,返回(back),时域解法,例 用状态变量法求图示电路 中电容电压uC(t)和电感电流 iL(t)的单位阶跃响应。,解 选uC和iL为状态变量 则电路的状态方程为,所以,A的特征方程为,相应的特征根为,则,解得,电路为零状态：uC(0_)0，iL(0_)0，且us(t)(t)V,返回(back),频域解法,且有 us(t)100(t)V，uC(0_)20V，iL(0_