集合的运算-集合与关系-离散数学

1、集合的运算为一，定义为a，b为两个集合，即=x|xaxaxaxaxaxb=x|xaxaxaxaxa-xaxb=x|xexaa=x|xaxaxa (xa )=x|(xa ) (XB ) (xa ) ) ab=。 和集合AB (2)交叉AB (3)差集合A-B (4)补集合A (5)对称差集合AB，例如，a=4，1，2，3，3，b=3，1，2，1则： ab=4，1，2，3=ab=4，1，2，3，1，2 交换律： AB=BA； AB=BA结合律： A(BC)=(AB)C； A(BC)=(AB)C； 恒等律： A=A； AE=A； 零律： AE=E； A=； 分配律： a (BC )=(ab ) (A

2、C ) a (BC )=(ab ) (AC )吸收律： A(AB)=A； A(AB)=A； 集合的算术律是集合的交际、互补、差等运算的主要性质，也称为集合的基本法则。 定理，否定律： A=A； 多摩根定律： (AB)=AB (AB)=AB枪盾构： a； 排中律： A A E。 其他： A - A=； A - B=A - (AB) A - B=A B； (A - B) - C=A - (BC) A(B-A)=AB；e、a、b、3、证明集合相等的4种方法，方法1 :命题算法(逻辑等价式和推论规则)方法2 :式代入法(交换律、分配律，一律，假设零律成立)方法3 :证明： AB和BA，A=B。 方法4

3、 :反证法，三，证明集合相等的四种方法，方法1 :命题算法(逻辑等效式和推理规则)例子：证明A(AB)=A (吸收律)证明取x，x(A (A B) xAx(A B) xA (xAxB) xA取A(AB)=A。 方法2 :公式代入法(交换律、分配律，一律，假设零律成立)例子是吸收律a (a b )=(a e )=a (e b )=a e=a，集合式的证明，方法3 :证明： AB和BA，A=B根据：定理3-1.1 A=B，仅AB和BA。 例如，(P91定理3-2.5的证明方法)方法4 :反证性假设不同，出现矛盾。 分析： (x)(xAB xA) (x)(xAxB )证明： ab=a (x ) (x

4、axaxaxa ) (x ) (xaxb ) xa (xaxb ) ) (x ) ) (xaxb)(x)(xaxb) AB，证明P90定理3-2.3: AB=A AB，4，证明AB这4种方法：方法1:a和b用列举方式定义：依次检查a的各要素是否出现在b上。 方法2 :在集合运算中，如果AB :即AB=B、AB=A、AB=三个方程式中的一个为真，则判断为AB。 方法3 :用文氏图判断集合的包含(在此注意证明是判断)方法4:a和b用谓语定义，a和b中要素的性质分别为p和q:(即，A=x|P(x) B=x|Q(x )中使用的定义证明(根据定义证明法)。 在定义证明的方法中，如果在定义中记述为“如果”

5、，在证明时应该用离散数学特有的证明方法来证明的情况下，首先叙述定义的前半部分“如果”，将该部分的内容称为“附加的已知条件”，用该“附加的已知条件”和标题本身赋予的已知条件来证明定义的后半部分“如果” 这个证明问题的方法，不仅仅利用证明时给出的问题的已知条件，而是利用定义中的“已知”，得出定义中的结论，而不是整个定义。 我知道这和一般的证明构想，中间结果的结论完全不同。 本章的证明大部分采用了定义的证明方法。 利用的定义证明： AB定义： AB(x)(xAxB )证明：假设(x)(xA )，利用主题中的已知条件和现有定理和公理来证明(x)(x B )，AB。 注意：如果知道AB，则为(x)(xA

6、) (x)(x B )，六，证明集合不同的方法，证明AB :方法一：例子或图画文字氏图模式。 方法2 :转换为证明逻辑判断公式不等价。 AB (x)(xA且xB) (x)(xB且x A )方法3 :反证、假设A=B、产生矛盾。 五、判断对象a是否是集合a要素的基本方法：把a作为整体，检查其是否出现在a上。 七、证明集合a为空集合的方法、方法一：其逻辑判断条件永远是假的。=x| P(x)P(x )法2 :作为反证法： aA，导出矛盾的结果。 自学要求证明(A-B)-C=(A-C)-(B-C )证明：任何x x (a-c )-(B- c ) x (a-c ) x (B- c ) (xaxc ) (

7、xaxc ) (xaxcxb ) (xaxc ) xaxcxbxbxc (xaxb )。 (-(B-C )自学a-(BC )=(a-b ) a-(BC )=(a-b ) (a-c )证明： xa-(BC ) xax (xbxc ) xa (xbxc ) (xaxb ) xa-bxa-CB (a-b ) (a-c )。 请注意，A(A-B)=A，(AA)-(AB)=，不是分配律。自学证明： AB BA证明： ab (x ) (xaxb ) (x ) (xbxa ) x (xbxa ) baab证明：多摩根定律(1)(AB)=AB (2)(AB)=AB证明3 xab (xa ) (XB ) (xa ) (XB ) (ab )=ab，自学A=