计算机组织与结构 第2章 数据的机器级表示和运算.ppt

1、1,第2章 数据的机器级表示和运算,2,本章结构,3,2.1 数制及转换,1、进位计数制 *进位计数制：又称进制或数制，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。有数码、基数和位权3个基本参数,*常用的4种进制：,*R进制数表示：(N )R=(kn-1k1k0.k-1k-2k-m)R= 其中，ki0,1,(R-1),4,2、R进制数转换成十进制数,例1(101.01)2=(122+120+12-2)10=(5.25)10 (3A.C)16 =(3161+10160+1216-1)10=(58.75)10,3、十进制数转换成R进制数 (1)十进制数整数转换成R进制数整数,例2,*转换规则：

2、按位权展开,*整数转换规则：除基取余、上右下左,5,(2)十进制数小数转换成R进制数小数,整数部分 0.68758 = 5.5 5 (最高位) 0.5 8 = 4.0 4 (最低位) (0.6875)10 = (0.54)8,例3将(0.6875)10分别转换成二、八进制数,(3)十进制数转换成R进制数 *转换规则：整数部分、小数部分分别转换后再合并,练习1(19.6875)10=(X)2=(Y)8，X=？Y=？,*小数转换规则：乘基取整、上左下右,6,4、二、八、十六进制数相互转换 *隐含规律：2=21，8=23，16=24,(1)二进制、八进制数相互转换 *转换规则：从小数点向两边分别转换

3、； 3个二进制数位(不够时补零)等价于1个八进制数位,例4(13.724)8=(001 011.111 010 100)2=(1011.1110101)2 (10011.01)2=(010 011.010)2=(23.2)8,(2)二进制、十六进制数相互转换 *转换规则：从小数点向两边分别转换； 4个二进制数位(不够时补零)等价于1个十六进制数位,例5(2B.E)16=(0010 1011.1110)2=(101011.111)2 (11001.11)2=(0001 1001.1100)2=(19.C)16,7,2.2 数值数据的机器表示,计算机用编码(数据)表示信息：,计算机只支持最常用(最

4、基本)的数据类型：,数据表示计算机硬件能够直接识别和引用的数据类型,应用数据数据表示的转换：程序员或编译程序完成,8,一、机器数及其编码,*数值数据： 组成由符号、小数点及数值构成，可缺省符号及小数点 运算符号与数值分开运算；加减法需先比较大小,*机器数：符号数字化的数，通常0/1表示+/-； 如(+101)2(0101)2、(-0.101)2(-.101)2(1.101)2 真值带“+”或“-”符号的数,*机器数的运算方法： 采用手工运算方法，硬件实现很不方便； 如(+x)+(-y)时，先求x-y、再求结果符号、最后求x-y或y-x 采用新运算方法，便于硬件实现(如符号与数值一起运算) 必须

5、使用新的编码方法！,*机器数的编码方法：原码、补码、反码、移码等,9,1、原码表示法(原码编码方法) *基本思想：用0/1表示符号+/-，数值位为真值的绝对值,*纯整数原码定义： 设X=xn-2x0，xi=0或1，则X原=xn-1xn-2x0，,例1+1101原=01101；-1101原=11101,例2设X原=1101，则X=-101,例3设+X原=0110，则-X原=1110； +X原=0000，则-X原=1000，即+0原-0原,练习1若X=-01000，X原=？ 若X原=101010，X=？,10,*纯小数原码定义： 设X=0.x-1x-(n-1)，则X原=x0.x-1x-(n-1),

6、例4+0.1001原=0.1001；-0.1001原=1.1001,例5X原=1.01，则X=-0.01,*原码的特性：,X与X原关系 X原与X表示值的范围相同， +0原-0原；,运算方法符号与数值分开运算(与手工运算一致) 适合于乘除法，加减法较复杂,11,2、补码表示法 *目标：实现符号与数值一起运算,*有模运算：运算时只计量小于“模”的部分，多余部分被丢弃 模计量系统的计数范围；,(1)有模运算与补数 示例将时针从10点拨向7点，有两种拨法： 倒拨10-3=7；顺拨10+9=7+12=7,*补数：若a、b、M满足a+b=M，称a、b互为模M的补数,同余若A、B、M满足A=B+kM (k为

7、有符号整数)， 则记 AB (mod M)，称B和A为模M的同余,运算特征c-a = c-(M-b) = c+b (mod M)， 即减去一个数等价于加上这个数的补数 可将减法运算转化为加法运算,12,*数据编码思路：使数值部分无减法运算 负数用其正补数表示，正补数可用模加负数求得； 例 -48 (mod 12)，即8=12+(-4) 正数用其本身表示，即正数的同余数 例 88 (mod 12)，即8=8+12 (mod 12),(2)补码定义 *基本思想：设模为M，真值X的X补=M+X (mod M),*纯整数补码定义： 设X=xn-2x0，xi=0或1，则X补=xn-1xn-2x0，即,说

8、明因X连同符号位共n位，故模为2n,13,例6+0001补=00001，-0001补=10 0000-0001=11111 +1111补=01111，-1111补=10 0000-1111=10001,练习2若X=-01000、Y=+01000，X补=？Y补=？,例7n=5、X0时，最大X补=01111，Xmax=24-1=+15 X0时，最小X补=10000，Xmin=-24 =-16,+0000补=-0000补=00000 数0的补码惟一,正数补码最高位(符号位)为0，负数最高位为1,补码表示数的个数比原码多1个,14,*定点纯小数补码定义： 设X=0.x-1x-(n-1)，则X补=x0.

9、x-1x-(n-1),例8+0.1011补=0.1011 -0.1011补=2-0.1011=10.0000-0.1011=1.0101,说明因X的计量范围为-1+2-(n-1)+1-2-(n-1)，故模为2,15,(3)补码的特性 *X与X补的关系：,设纯整数X=+xn-2x0，Y补=0yn-2y0，xi和yi=0或1 则X补 = X = 0 xn-2x0 Y = Y补 = + yn-2y0,纯小数真值与补码的关系上述方法同样适用，自行推导,16, XX补 若X为正数，改符号位为0，其余各位不变； 若X为负数，改符号位为1，其余各位取反、末位加1,例9X=+0101，X补=,X=-0101，

10、X补=,0 0101；,1 1011, X补X 若X补最高位为0，改其为正号，其余各位不变； 若X补最高位为1，改其为负号，其余各位取反、末位加1,例10X补=0 0101，X=+ 0101；,X补=1 1011，X=,- 0101,17, X原X补 若X原最高位为0，X补=X原； 若X原最高位为1，X补=X原各数值位取反、末位加1,例11 X原=0 0101,X补=,0 0101；,X原=1 0101,X补=,1 1011, X补X原 若X补最高位为0，X原=X补； 若X补最高位为1，X原=X补各数值位取反、末位加1,例12 X补=0 0101,X原=,0 0101；,X补=1 0101,X

11、原=,1 1011,18,*X补与-X补的关系：,X补-X补X补的各位取反(含符号位)、末位加1 -X补X补-X补的各位取反(含符号位)、末位加1,例13X补=1 0110，-X补= 0 1001+1,= 0 1010,练习3若X=-01001，-X补=？ 若X补=101010，-X补=？-X=？,19,0 01001,0 01001,1 01010,1 10110,+ 01010,0 01010,- 01110,1 10010,+ 01110,1 10010,- 10010,0 10010,0 10101,0 10101,1 10111,1 01001,20,3、反码表示法 *目标：作为原码

12、与补码相互转换时的一种过渡编码,*纯整数反码定义： 设X=xn-2x0，xi=0或1，取模=2n-1，则,*纯小数反码定义： 设X=0.x-1x-(n-1)，xi=0或1，模=2-2-(n-1)，则,例14+1101反=01101，-1101反=10010,例15+0.1101反=0.1101，-0.1101反=1.0010,21,*反码与补码关系： 若X为正数，X补=X反；若X为负数，X补=X反+1,原码、补码、反码比较： 机器数的最高位均为符号位(0/1表示正/负)；,+0补=-0补，补码比原码、反码多表示一个负数,若真值X为正数，X原=X补=X反； 若真值X为负数，X补=X反+1， X反

13、=X原各位求反(符号位除外)；,22,4、移码表示法 *目标：实现符号与数值一起编码,*纯整数移码定义： 设X=xn-2x0，其中xi=0或1，取模=2n，则 X移 = 2n-1+X (mod 2n) = 2n-1 + X -2n-1X2n-1,例16-111移=0001，-001移=0111，000移=1000， +001移=1001，+111移=1111，-1000移=0000,*移码的特性： 数在数轴上为连续编码(无符号数)，便于比较大小； X移=X补符号位取反、其余各位不变,23,二、数值数据的表示方法,24,3、数值数据的表示方法,*符号问题处理： 有符号数用数字表示符号， 无符号数

14、符号位置为数值；,*进制问题处理：只支持二进制方式；,*小数点问题处理： 点的表示用隐含方式表示；,位置表示约定不同数据类型的位置不同,25,*数码长度问题处理： 不同数据类型数码长度固定； 便于定长方式处理 同一数据类型可有几种长度； 可提高处理及存储效率,*运算问题处理： 运算方法按数据表示的格式及编码进行相应运算；,数值数据的处理方法：包括数据的表示和数据的操作方法,数据类型区分由指令操作码区分；,溢出处理硬件检测并发出通知，由软件处理,26,三、数的定点表示,1、定点表示方法 指约定数据中隐含的小数点位置固定不变。,*定点数的表示范围： (设数码长度为n位),*定点表示形式：有约定在数

15、值最低位之后和最高位之前两种,2、定点数的表示 采用定点表示格式的数称为定点数，通常有几种数码长度。,27,四、数的浮点表示,概念：尾数-M，阶E，尾数的基RM，阶的基RE,1、浮点表示方法 指约定数据中隐含的小数点位置是可变的。,表示尾数用定点纯小数表示，阶用定点整数表示,*浮点表示形式：由尾数和阶组成 格式,28,*浮点数的表示范围与精度： 假设尾数及阶的基均为2，数值长度分别为m位及e位,2、浮点数的表示 采用浮点表示格式的数称为浮点数，通常有几种数码长度。,例1若浮点表示格式中m=10、e=4，尾数及阶均为补码编码方式，写出(-54)10的机器码。,解：(-54)10=(-110110

16、)2=-0.110112+110，,浮点数机器码为 00110 10010100000,影响因素e决定了范围、m决定了精度,29,例2若浮点表示格式中尾数为8位(含1位符号位)、阶为5位(含1位符号位)，写出下列实数的浮点数及机器码。,例3浮点表示格式同例2，写出下列机器码的浮点数。,1 0010 1 1011100,0 1110 0 1011100,1 0101 1 0101001,-0.10110102-110,+0.101112-1011,-0.00110002+1101,30,3、浮点数的规格化 *目的：在现有的浮点数表示格式中，使表示精度最大化。,例4若浮点表示格式中m=3、e=3、

17、尾数和阶均为原码编码方式，不同表示方法的浮点数精度不同： +101.1=0.101123=0.0101124=0.00101125,*规格化数的要求：尾数真值的最高位为1，即 |M|1,*规格化的操作： 左规尾数左移一位，阶码减一； 右规尾数右移一位，阶码加一。 应用非规格化数规格化数，可能需多次规格化操作,31,例5若浮点数尾数及阶的基均为2，回答下列问题：,*规格化数的表示范围及数码特征：,原码尾数最高数值位为1；,补码尾数最高数值位与符号相反 便于硬件实现,左规3次 -0.100002-001,右规4次 +0.101112+110,1111 0000,1111 110000,0111 1

18、11111,0000 1111,101111 100000,32,4、IEEE 754标准,*表示格式及数码长度： 有单精度、双精度两种格式及长度,*编码方式： 数制M和E均采用二进制方式(即RM=RE=2)；,码制M为原码编码的定点纯小数(改进了定点位置)， E为移码编码的定点整数(改进了移码值),33,*阶的码制：采用的是余127码和余1023码 余X码偏移值为X的移码称为余X码， 标准移码：真值=E-28-1=E-128， 余127码： 真值=E-(28-1-1)=E-127；,*尾数的码制： (以单精度格式为例) 支持非规格化尾数和规格化尾数两种方式；,规 格 化尾数规格化的尾数真值=

19、1.m-2m-24， 机器码M=m-2m-24，尾数精度=24位,阶的范围1E254，而0和255另作他用， 即-126阶的真值127,非规格化尾数尾数真值=0.m-1m-23， 机器码M=m-1m-23，尾数精度=23位；,34,*IEEE 754标准浮点表示的特征： (以单精度格式为例),35,例6求IEEE 754单精度码为(CC968000)16的浮点数的真值N,例5求(-11/128)10的IEEE 754单精度规格化数的机器码,解(-11/128)10 =( -1011)22-7 =(-0.1011)22-3 =(-1.011)22-4=(-1.011)22123-127,解(CC

20、968000)16=1 10011001 00101101000000000000000 N为负数，浮点数为规格化数(110011001254)；,机器码为：,阶=(10011001)2(01111111)2 =(00011010)2=(26)10 尾数=(1.00101101)2 =(1.17578125)10 N=(1)11-1数值数据的表示小结：表示格式有定点和浮点两种，编码方式可选择与运算器对应的机器数编码，数码长度总是固定的,36,2.3 非数值数据的数据表示,1.二进制编码的十进制数 2.字符及字符串编码 3.逻辑数据的表示,37

21、,一、十进制数编码,*BCD码(Binary Coded Dicimal)：又称二-十进制编码，是指用4位二进制编码表示1位十进制数位的编码方式。,*BCD码种类：分有权码和无权码两种，最常用的是8421码。,BCD码缺省指8421码(特殊声明除外)！,*十进制数的编码方法： 对各数位按序用BCD码编码，符号编码放在最后； 用特定编码表示符号(如1100和1101表示正和负)。,例 +427表示为0100 0010 0111 1100 -123表示为0001 0010 0011 1101,38,二、字符及字符串编码,1、字符编码 *字符编码：字符在字符集中惟一的数字化代码， 表示字符在字符集中

22、的序号或特征号,*字符编码的类型：有输入码、内码、交换码、字模码4种,与输入法、字符集大小有关,与字体、字号大小有关,字符交换时的编码(序号), 仅与字符集大小有关,字符存储时的编码(数据表示), 与字符集大小、存储字长有关,39,*有关字符编码的约定： 字符编码均指交换码的编码！ 字符数据均指内码的编码！,*常见字符编码(交换码)种类：,40,2、字符串编码 *字符串特性： 由多个字符构成； 所含字符数不固定。,*字符串编码方法： 由各个字符编码组成； 通过特定编码标志字符串的结束，结束编码放在最后 字符集必须包含该字符(如ASCII码中编码为0的字符),例C语言中字符串“am”可编码为11

23、00001 1101101 000000,41,三、逻辑数据的表示 *数学特征：值域真、假； 运算与(AND)、或(OR)、非(NOT)等,*运算处理方法：可采用所有位同时按位进行与/或/非运算 可获得最大性能一位操作时，软件负责准备数据,*数据的表示方法： 数码长度1位n位(n为MEM字长倍数)；以提高存储效率,表示格式n个逻辑数据捆绑表示，每个逻辑数据占1位；,例28位逻辑数A和B如何实现第0位的OR操作(结果在A中)？,编码方式各位独立编码，1/0可表示真/假,解：步骤为 C=B AND 01H； A=A OR C,42,附：数据的表示小结,数据的表示方法： 有表示格式、编码方式、数码长

24、度3个方面， 而数码长度只与数据的实例有关、与数据的类型无关,数据的表示方法实例：,43,MEM字长的确定思路： (系统结构研究的内容) MEM字长=min使用频率很高的各种数据的数码长度 通常，MEM字长=字节(1B=8bit，ASCII码字符的使用频率很高),机器字长的确定思路： (系统结构研究的内容) 机器字长=max使用频率很高的各种定点数的数码长度,数据的表示实现： 编译程序将语言数据类型转换成机器数据的表示形式； 指令操作码 指明机器数据的表示类型； 运算器必须具有相应功能处理不同类型的机器数据！,44,2.4 定点数的运算及实现,一、移位运算,1、移位及移位运算 *移位：数值相对

25、于某个位置的移动 例20.0m=2000.0cm，称20相对于小数点左移了2位,*移位操作：有左移、右移2种类型； 二进制数左移或右移n位相当于乘以或除以2n,*移位运算：对计算机中机器数的移位操作 运算种类对有符号数，有算术左移、算术右移； 对无符号数，有逻辑左移、逻辑右移,数据定长表示 符号数字化,运算参数操作数、移动位数,45,2、逻辑移位运算 *操作数类型：无符号机器数,例1某REG内容为00111001，逻辑移位运算结果如下：,*运算规则： 机器数整体移位，移出的数丢弃，出现的空位补0,丢弃部分,丢弃部分,0 0 1 1 1 0 0 1,0 0 1 1 1 0 0 1,*运算实现方法

26、：通常用移位寄存器实现,练习若(REG)=11001001，逻辑左移1位再右移1位的结果?,*溢出判断方法：左移、移丢数码为1时运算溢出,46,3、算术移位运算 *操作数类型：有符号机器数(原码、补码、反码等),*运算规则：符号位不变，数值部分整体移位，空位添补规则如下表(根据编码方式的数学特征添补),补码特性2X补=2X补及 X补=XS*2n-1+ X补,00100 00100 00100,00001 00001 00001,10100 10001,11100 11111,11011 11110,47,*运算实现方法：通常用移位寄存器实现,*溢出判断方法：左移移丢数值1时溢出,右移移丢数值1

27、仅影响精度,原码左移、移丢数码为1时溢出； 补/反码左移、移丢与符号相反的数码时溢出,01000010(+66) 00000100(+4),00010000(+16) 00000001(+1) 00000000(+0),11000010(-66) 10000100(-4),10010000(-16) 10000001(-1) 10000000(-0),10111110(-66) 11111100(-4),11101111(-17) 11111110(-2) 11111111(-1),10111101(-66) 11111011(-4),11101111(-16) 11111110(-1) 11

28、111111(-0),48,3、算术移位与逻辑移位运算比较,*两者区别： 移动及空位添补规则不同； 有/无符号数学结果,*减少算术移丢位数的方法：可采用带进位的算术移位运算 进位C硬件位，存放无符号加减运算最高位的进位/借位,算术左移会多移丢1位数值位 如：00101011逻辑左移3次后溢出，算术左移2次后溢出,相当于双符号位,应用算术运算后再右移(除2)的场合,49,二、定点加减运算,*有符号数运算：采用与机器数含义对应的运算方法； *无符号数运算：在有符号运算基础上，进行相关处理。,1、补码加减运算,(1)补码加减运算规则 *加法：A+B补=A补+B补,推导A补+B补=(A+B+2M) (

29、mod M)=A+B补,*减法：A-B补=A+(-B)补=A补+-B补,例1设A补=1.1101，B补=1.0111，用补码求A-B补,50,例2设A=-01010，B=+01101，用补码求A+B补、A-B补,解：A补=110110，B补=001101；-B补=110011；,例3设A=+6/16，B=+9/16，用补码求A+B补、A-B补,解：A=+0.0110，B=+0.1001； A补=0.0110，B补=0.1001；-B补=1.0111；,A+B补=A补+B补 =0.0110+0.1001=0.1111； A-B补=A补+-B补=0.0110+1.0111=1.1101。,练习设A

30、=+15，B=+24，设补码的数码长度为8位(含1位符号位)，用补码求A+B补、A-B补。,*加减运算特征：符号与数值一起运算； 减法可转为加法运算。,51,(2)补码运算溢出判断方法,即：相同符号数相加、且结果与操作数符号不同时溢出!,*溢出判断：用1位符号位判断,设A补=An-1An-2A0，B补=Bn-1Bn-2B0， Z补=A补+B补=Zn-1Zn-2Z0,溢出标志OVR=,52,例5设A=-11/16，B=+7/16，A+B补、A-B补是否溢出?,对A+B补，OVR=(1 0)(0 0)=0 不溢出,对A-B补，OVR=(1 0)(1 0)=1 溢出,*溢出判断优化：用结果的符号位及

31、最高数值位进位判断,溢出标志OVR= ，正溢出时Cn-1=0(Cn-2=1),对例5的A+B补，OVR=(0 0)=0 不溢出 对例5的A-B补，OVR=(1 0)=1 溢出,53,*溢出判断：用2位符号位判断 变形补码采用2个符号位的补码A变补=AnAn-1An-2A0， AnAn-1表示符号(00为正数、11为负数),例6若X=-010，Y=-110，X+Y变补溢出否?,溢出标志OVR= ；ZnZn-1=01时正溢出(=10时负溢出),解：X变补=11 110，Y变补=11 010 X+Y变补= 11 110 + 11 010 = 11 000 1 1=0 不溢出,练习设A=+15，B=+

32、24，设补码的数值部分长度为5位，分别用1位符号位和2位符号位判断A+B、A-B是否溢出。,54,(3)补码加减运算所需的硬件配置,*取反逻辑实现：,*加减运算所需硬件配置：其中Cn-1为硬件进位位；,无符号运算OVR,55,(4)补码加减运算控制流程,56,(5)基于补码的无符号数加减运算 *目标：AB无符号=A无符号B无符号；,*加减运算规则：同补码加减运算； 不需要n+1位运算,*溢出判断方法：有进位或借位时溢出(与补码运算不同)， 溢出标志OVR= Cn-1；,*加减运算所需硬件配置：同补码加减运算； *加减运算控制流程：同补码加减运算,57,2、原码加减运算,(1)原码加减运算规则

33、*目标：AB原=A原B原 *运算规则：符号与数值分开运算，先比较大小、后运算；,例1设A原=101010，B原=001101，求A+B原、A-B原.,解A与B异号，P=|A|-|B|=01010-011010即|A|B|；,|B|-|A|=01101-01010=00011，A+B原= 0 00011 |A|+|B|=01101+01010=10111，A-B原= 0 10111,58,(2)原码加减运算的实现方法 由于原码的运算控制复杂，常转换为补码加减运算实现。,*原码加减运算的控制流程： A原A补、B原B补； 补码加减运算； Z补Z原,*原码加减运算溢出判断方法：同补码加减运算；,*原码

34、加减运算所需硬件配置： 在补码硬件配置基础上，增加取反、补码原码逻辑,(3)基于原码的无符号数加减运算 与基于补码的无符号运算完全相同,作业三：P8021、22、24、25,59,三、定点乘法运算,1、笔纸乘法运算分析,例1设A=+101、B=-110，笔纸乘法过程如下： 符号运算(心算)，得负号； 数值运算 101 110 000 |A|200 |A|不移位 101 |A|211 |A|左移1位 101 |A|221 |A|左移2位 11110 部分积相加,*硬件实现时的需求： 加法器硬件通常只有两个输入 定长运算 每次只有两个数相加 旧部分积移位后再相加 每步进行相加形成新部分积,60,*

35、笔纸乘法的改进：,例2设二进制数A=+0.a-1a-2a-3、B=-0.b-1b-2b-3； |A|B|=|A|2-1b-1+|A|2-2b-2+|A|2-3b-3,例3设二进制数A=+a2a1a0、B=-b2b1b0； |A|B|=|A|22b2+|A|21b1+|A|20b0,改进特征左移改为右移(最后补右移的权小数点不变)； 每次只与部分积高位相加(低位已被移出),=2-1|A|b-1+|A|2-1b-2+|A|2-2b-3 =2-1|A|b-1+2-1|A|b-2+2-1(|A|b-3+0) =202-1|A|b-1+2-1|A|b-2+2-1(|A|b-3+0),=22|A|20b2

36、+|A|2-1b1+|A|2-2b0 =232-1|A|b2+2-1|A|b1+2-1(|A|b0+0),61,例4设A=+111、B=-110，用笔纸改进法计算乘积,*机器乘法的实现思路： (若乘数数值位数为n-1位),循环n-1次，实现各步的加法和右移；,加法时，判断乘数当前位，决定部分积高位与0或被乘数相加(n-1位加法)；,右移时，可将部分积低位放在乘数空出的位置上,1 1 1 1 1 0 0 0 0 PO + 0 0 0 0 0 0 P1 + 1 1 1 1 1 1 0 P2 + 1 1 1 1 0 1 0 1 0 P3,62,2、原码定点乘法运算,(1)原码一位乘法运算 (又称基2

37、原码乘法) *原码一位乘法运算规则： 设B原=bn-1bn-2b0 乘积符号位SP=an-1 bn-1；,乘积数值位P=|A|B|，迭代公式如下：,P0=0 P1=(P0+|A|b0)2-1 Pn-1=(Pn-2+|A|bn-2)2-1,若为纯整数乘法，|AB|=Pn-12n-1 2n-2位 若为纯小数乘法，|AB|=Pn-120 2n-2位,判断-加法-移位方法：,63,例5设A=-0.111、B=-0.101，用原码一位乘法求AB原,解：A原=1.111，B原=1.101；|A|=0.111，|B|=0.101； 乘积数值位运算时，循环3次(判断-加法-移位),=0.1000110 扩展为

38、8位(即2n位),即 |AB|=0.100011，乘积符号=a0 b0=0； 故 AB原=0.100011 连符号位共7位(即2n-1位),64,*原码一位乘法运算所需硬件配置： 设A原和B原为n位原码表示，则AB原为2n位原码表示,实现思路 采用n位加法；无需处理n-1位加法进位部分积逻辑右移,所需硬件配置 REGA、REGB、REGP均为n位REG；计数器C初始值为n-1；控制门受REGB最低位控制(输出0或REGA内容),部分积低位放在乘数空出的位置中 部分积与乘数同时逻辑右移,65,*原码一位乘法运算控制流程：循环的判断-加法-移位,不会产生进位,66,*不同数据类型的数值位数扩展：保

39、持数学上的值不变,定点纯小数无任何动作； 硬件配置及算法完全适用,定点纯整数再逻辑右移1次 硬件配置完全适用,*基于原码一位乘法硬件的无符号数乘法： 只需对运算控制流程做一些特殊处理,循环改为n次，无需进行数值位扩展； 无需所有与符号有关的操作，如求SP、绝对值及置SP； 逻辑右移改为带Cn-1的逻辑右移。,67,(2)原码二位乘法运算 (又称基4原码乘法) *目标：使一位乘法循环次数减少一半(每次使用2位乘数),*原码二位乘法运算规则： 设B原=bn-1bn-2b0 与原码一位乘法类似，迭代公式不同：,P0=0 P1=(P0+|A|b1b0)2-2 P2=(P1+|A|b3b2)2-2 n为

40、奇数时，P(n-1)/2=(P(n-3)/2+|A|bn-2bn-3)2-2,n为偶数时，Pn/2=(P(n-2)/2+|A|bn-2)2-1,68,基本的判断-加法-移位方法 设第i轮循环Pi=(Pi-1+|A|b2i-1b2i-2)2-2,*原码二位乘法运算的实现思路： 与一位乘法类似，还是循环的“判断-加法-移位”,69,优化的判断-加法-移位方法 设第i轮循环Pi=Pi-1+|A|(b2i-1b2i-2+T)2-2,+2|A|的实现：采用n+1位加法； 左移及进位所需,-|A|的实现：采用n+2位补码加法 采用算术右移,70,初始化时的处理：|B|前补0，使总位数为偶数； 最后一次循环

41、有机会处理T=1,n的奇偶及循环结束时T=1的处理,最后一次循环的处理： n为奇数时判断并处理的是00T，不移位； n为偶数时判断并处理的是0bn-2T，右移1位,71,*原码二位乘法运算的控制流程：与一位乘法算法类似 初始化计数器C= n/2 、RP=0、T=0、乘数绝对值前补0；,循环体Pi=Pi-1+|A|(b2i-1b2i-2+T)2-2， 判断b2ib2i-1T，决定加法所加的数， 算术右移2位(C=1、n为偶数时右移1位， C=1、n为奇数时不右移),例6设A=+0.111、B=+0.101，用原码二位乘求AB原,解：|A|补=000.111，AB原=0.100011,72,例7设

42、A=+0.1111、B=+0.1101，用原码二位乘求AB原,解：|A|补=000.1111，-|A|补=111.0001,故AB原=0.11000011,会为负吗？,73,3、补码定点乘法运算 *目标：符号与数值一起运算,(1)补码一位乘法运算 *种类：校正法、比较法,*校正法补码一位乘法运算规则： 设B补=bn-1bn-2b0,当B0时，B补=B，A补=2n+A (mod 2n) A补B补=(2nA)B=2nBAB=AB (mod 2n),则 AB补=A补B补=A补0bn-2b0,当B0时，B=B补-2n=1bn-2b0-2n=0bn-2b0-2n-1,AB补=A0bn-2b0补+-A2n

43、-1补 =A补0bn-2b0+-A补2n-1,运算规则与符号有关！ 通常不使用校正法,74,*比较法补码一位乘法运算规则： 又称Booth算法,设B补=bn-1bn-2b0，则B0时bn-1=0、B0时bn-1=1 校正法的统一公式 AB补=A补0bn-2b0+-A补bn-12n-1,根据补码定义及同余公式，可证明-A补=-A补成立,比较法运算公式 由校正法推导而来 AB补=A补0bn-2b0-A补bn-12n-1 =A补-bn-12n-1+bn-22n-2+b0,=A补-bn-12n-1+bn-22n-1-bn-22n-2+b021-b020 =A补(bn-2-bn-1)2n-1+(bn-3

44、-bn-2)2n-2+(0-b0)20,=A补2n-1(bn-2-bn-1)+(bn-3-bn-2)2-1+(0-b0)2-(n-1) =A补2n-1(bn-2-bn-1)+(bn-3-bn-2)+ +(b0-b1)+0+(0-b0)2-12-12-1,75,迭代公式设B补=bn-1bn-2b0，b-1称为附加位、b-1=0 P0补=0 P1补=P0补+(b-1-b0)A补2-1 Pn-1补=Pn-2补+(bn-3-bn-2)A补2-1 Pn补=Pn-1补+(bn-2-bn-1)A补,最后一次不移位！,若为纯整数乘法，AB补=Pn2n-1 2n-1位 若为纯小数乘法，AB补=Pn20 2n-1

45、位,第i轮的判断-加法-移位方法：,76,解：-A补=10101，循环5次(判断-加法-移位、移位仅4次),例8A补=01011，B补=10011，用Booth算法求AB补,77,实现思路 采用n位补码加法； 右移为算术右移,*补码一位乘法运算所需硬件配置： 设A补和B补为n位补码表示，则AB补为2n位补码表示,部分积低位放在乘数空出的位置中 部分积、乘数及附加位同时算术右移,所需硬件配置 REGA、REGB、REGP均为n位REG；计数器C初始值为n；控制门受REGB最低位及附加位控制 输出0或(REGA)或(REGA)取反后的值,78,*补码一位乘法运算控制流程：循环的判断-加法-移位,思

46、考n位加法会产生溢出吗？,79,*不同数据类型的乘积位数扩展：保持数学上的值不变,定点纯小数0REGB0；,定点纯整数再算术右移1次,*基于补码一位乘法硬件的无符号数乘法： 只需对运算控制流程做一些特殊处理,每次只判断REGB0，决定是加0或加(REGA)； 算术右移改为带Cn-1的逻辑右移； 循环n次，移位n次。,80,四、定点除法运算,1、笔纸除法运算分析,例1设A=+0.101、B=-0.110，C=+101001、D=+110，笔纸除法过程如下： 0.110 110 0.1100.1010 110101001 0.0110 110 0.01000 1000 0.00110 110 0.

47、000100 101 结果： 商=-0.110 商=+110 余数=+0.000100 余数=+101,*除法运算应用：纯整数除法关心余数(取模)， 纯小数除法不关心余数(与近似值相关)。,81,*机器定点除法对被除数、商、余数的要求： 商、余数数据表示及长度与除数相同， 余数与被除数同符号；,*机器定点除法的实现思路：,被除数,82,2、原码定点除法运算,(1)恢复余数法 *思想：位商qi为0时恢复余数(即+|除数|),例2A原=1.1011，B原=0.1101，用恢复余数法求A/B原,循环n-1次，求得q1qn-1及Rn-1 上商第i轮Ri=Ri-1左移1位-|B|，Ri0时qi=1； 求

48、余qi=1时Ri=Ri，qi=0时Ri=Ri+|B|,*运算规则： 设商原=q0.q1qn-1，第i轮循环余数为Ri 判溢出R0=|A|-|B|，R00时溢出，否则R0=|A|； 求商符SQ=A符号 B的符号；,解：SQ=1 0=1，|B|补=0.1101，-|B|补=1.0011,得 |商|=0.1101，|余数|=0.0111； 除法结果 A/B原=1.1101，A%B原=1.0111,83,84,(2)不恢复余数法(又称加减交替法) *思想：优化恢复余数法的性能，即qi=0时下轮补加除数,*运算规则变化： 求余若qi=0时Ri+1=2Ri+|B|，否则Ri+1=2Ri-|B|， 若qn-

49、1=0(即Rn-10)时，则Rn-1=Rn-1+|B|； 上商基本不变，即Ri+10时qi+11，否则qi+10； 移位不变，即部分余数与商同时左移。,*效果：平均执行加法次数从1.5(n-1)(n-1)+0.5次,*优化思路： 设Ri-1、Ri、Ri+1为恢复余数法的三轮余数， Ri、Ri+1为恢复前的余数，则 Ri=2Ri-1-|B|， 若Ri0，则qi=1，Ri=Ri， Ri+1=2Ri-|B|=2Ri-|B| 否则qi=0，Ri=Ri+|B|，Ri+1=2Ri-|B|=2Ri+|B|,85,例3A原=1.1011，B原=0.1101，不恢复余数法求A/B原,解：SQ=1 0=1，|B|

50、补=0.1101，-|B|补=1.0011,86,*不恢复余数原码除法所需硬件配置： REGA、REGB、REGQ均为n位REG，REGA存放余数； 计数器C初始设置为n-1； 控制门受REGQ最低位控制。 输出(REGB)或(REGB)取反后的值,87,*不恢复余数原码除法运算控制流程：,88,89,3、补码定点除法运算 *思想：与原码除法一致，但用补码表示商及余数。,*不恢复余数法的运算规则： 设A补为被除数、B补为除数，Q补=q0.q1qn-1为商， Ri补为第i轮余数(可能与A补异号)， Rn-1补为最终余数(与A补同号)；,商符的确定商的符号与数值部分一起运算形成,按反码规则上商,商

51、为正数时，够减时上商为1 商为负数时，不够减时上商为1,90,部分商的确定按反码规则上商,新余数的确定上轮够减时-|B|，否则+|B|,最终余数的修正不够减时修正(+|B|),不恢复余数法,91,例4A补=1.0101，B补=0.1101，不恢复余数求A/B补,92,*不恢复余数补码除法运算控制流程：,*不恢复余数补码除法所需硬件配置： 与原码除法基本相同(不需要SQ及SR),93,纯小数除法时常恒置1,94,浮点数的数据表示回顾： F=SMM2E,数据存储方式通常采用规格化数方式存储 规格化数 0.5|M|1,2.5 浮点数的运算,表示格式定点纯小数M+定点整数E,编码方式M常采用原码或补码

52、，E常采用移码,数码长度有几种长度，如单精度和双精度,规格化操作左规：M左移1位、E减1， 右规：M右移1位、E加1,95,一、浮点加减运算,1、浮点运算规则 设浮点数A=MA2EA、B=MB2EB，并设EAEB,*减少运算精度损失的方法： 运算时，增加尾数的有效位数(常称为警戒位),*运算规则： 对阶 结果的阶=EB，A=MA2EA-EB； 运算 结果的尾数=MA2EA-EBMB； 规格化 使AB的结果为规格化数,如：IEEE 754标准的单精度浮点数中， 存储时尾数长度为23位，运算时尾数长度为30位 7位警戒位,96,2、浮点运算步骤 设运算初步结果F=MF2EF，规格化结果F=MF2E

53、F。,*第1步对阶 (EF) 求公共阶：EF=max(EA,EB)； 小阶数的尾数算术右移：右移位数E=|EA-EB|， 移出的数据进入警戒位,例1A浮=0.1101201，B浮=(-0.1010)211 解：E=11-01=10，A浮=0.0011 01211,*第2步尾数加减 (MF) 尾数加减运算：MF=MAMB，警戒位一起运算,补码 00.0011 01 + 11.0110 00 11.1001 01,97,*第3步尾数规格化 (MFMF”，EFEF”) |MF|1.01次右规(尾数算术右移1位、阶码加1)； 0.5|MF|1.0无需规格化操作(已为规格化数)； |MF|0.5n次左规

54、(尾数算术左移1位，阶码减1)，直到绝对值的最高位为1,例2续例1，求浮点加法的规格化尾数(原码、补码),注意点：左移及右移均为算术移位；,原码规格化数的最高数值位为1， 补码规格化数的最高数值位与符号相反,解：原码结果 1.0110 11 补码结果 11.1001 01 左规1次 1.1101 10 11.0010 10,98,*第4步尾数舍入 (MF”MF，EF”EF) 丢弃警戒位时，尾数作相应处理，以提高精度,处理方法： 截断法尾数不变，直接丢弃警戒位； 恒置1法将尾数末位真值置为1； 舍入法警戒位最高位真值为1时“入”，否则“舍”； 查表舍入法尾数末尾几位全为1时，采用恒置1法， 否则

55、采用舍入法,注意点：舍入针对真值，舍使|M|变小、入使|M|变大 不同码制的规则不同,舍入导致尾数产生溢出时，需再做1次右规,系统结构决定舍入方法，计算机组成实现舍入方法,99,*第5步溢出判断 若阶码EF上溢出：置溢出标志OVR=1； 若阶码EF下溢出：置结果为机器零,溢出判断方法：与阶的运算方法有关 单符号位判断如用源及结果的符号判断 或用结果的最高两个进位判断 双符号位判断如01为上溢、10为下溢,100,3、浮点数加减法运算示例,例3浮点数采用1位数符、8位尾数、4位阶码表示，尾数、阶均用补码编码；采用2位警戒位、双符号位运算、舍入法。 求0.1101101122+(-0.101011

56、00)24的机器数(码),解：A浮=0 0010 11011011，B浮=1 0100 01010100,对阶：EF补=max(EA,EB)=00 100=EA补=EB补 MA补=00.00110110 11，MB补=11.01010100 00,尾数加减： 00.00110110 11 + 11.01010100 00 11.10001010 11 MF补=MA补+MB补=11.10001010 11，不溢出,101,尾数规格化： 加减结果MF补=11.10001010 11，EF补=00 100,尾数舍入： MF”补符号=11、警戒位=10，舍入时选择“舍” MF补=11.00010101，EF补=00 011,阶码溢出判断：EF补符号=00，不溢出,运算结果：MF补=1.00010101，EF补=0011 机器码为1 0011 00010101,尾数不溢出、数值最高位与符号相同需左规 MF”补=11.00010101 10，EF”补=00 011,练习若浮点数用1位数符、9位尾数、6位阶码表示，尾数用补码、阶用移码编码，采用2位警戒位、单符号位运算(带进位)、舍入法。求0.111101001212+0.11001010128的机器数,102,4、浮点数加减法运算控制流程,103,10