材料加工中的数值模拟方法-微观组织数值模拟(6)

1、材料加工过程中的数值模拟 微观组织数值模拟(VI),任课教师: 王锦程,Office：公字楼216 Tel O) Email ： ,相场法应用实例（II）,纯物质凝固相场模型的建立,序参量确定 自由能密度函数确定 相场动力学方程 温度场方程 相场参数确定 各向异性 噪声,纯物质相场模型包含两个场变量：相场和温度场(无浓度场)。,相场动力学方程,Solid s=1,liquid L=0,propagation of interface,根据标准热传导方程:,考虑固/液界面熵的变化：,温度场方程,This (phenomenological) term accounts

2、 for the release of latent heat as the interface advances,This is a flux-conservative equation, i.e. it conserves heat Flux in the absence of latent heat,W,Fourier定律,纯物质凝固相场模型,尖锐界面模型,相场模型,？,渐近分析,Interface kinetic coefficient,Capillary length,Note the details of a1 and a2 depend on the form of h(). S

3、ee A. Karma and W.R. Rappel, Phys. Rev. E (1996),液固共存系统的界面自由能,界面自由能或表面张力是扩散界面内的自由能的总和，可算出表面张力为：,各向异性,各向异性是自然界呈现如此丰富多彩的根源,各向异性的描述,晶体中原子(或分子)都以对称的方式排列，这使得晶体的一些参数如密度、热扩散率，以及界面能、界面动力学参数、溶质再分配系数k都具有各向异性特征。这些各向异性对凝固过程中界面形态的选择和演化起着不同程度的影响，其中以液/固界面上的、k影响尤为显著。 如果材料是各向异性介质，诸热力学状态函数由于相场变化所带来的修正项便不再能用各向同性函数来描述，

4、而必须运用一个依赖于相界面法线方向N =的各向异性函数A()来描述。,各向异性的描述,二维四重对称晶体的界面能极图及其平衡形状,晶面的界面能与该晶面到中心的距离,Wulff理论,各向异性的描述,界面能各向异性在相场动力学方程中的描述,加入各向异性后相场控制方程,各向同性相场控制方程：,晶体的实际生长中，能量、温度和浓度的随机涨落是客观存在的。 引入噪声可以获得形貌逼真的具有高次分支的枝晶，噪声的引入仅引发侧向分支的生长，并不改变枝晶尖端稳态行为。,随机涨落（噪声）,侧向分枝产生的原因：噪声选择放大机制？内在确定性机制？未有定论。,在相场方程和浓度方程中引入与时间和空间相关的均值为零的成高斯分布

5、的随机变量 直接在相场方程中引入与能量有关的随机数,随机噪声引入方法,纯物质凝固相场模型的建立,序参量,化学自由能密度,系统自由能泛函,相场动力学方程,相场和温度场,纯物质凝固相场模型的建立,温度场控制方程,相场模型参数确定,渐近分析,毛细长度,动力学系数,平衡解分析,界面厚度,界面能,纯物质凝固相场模型的建立,各向异性,动力学各向异性,界面能各向异性,加入各向异性后相场控制方程,形核、侧向分枝的产生需要加入可控的噪声项,随机涨落,相场法应用实例（II）,单相二元合金凝固相场模型,自由能的构造 WBM相场模型 KKS相场模型,合金凝固的尖锐界面模型,Gibbs-Thompson Equatio

6、n,界面守恒条件,控制方程,T=constant,序参量,单相二元合金凝固相场模型,成分场、相场、温度场,自由能函数构造,纯物质,二元合金,自由能密度构造方法,纯物质自由能,机械混合,混合熵,过剩自由能,单相二元合金凝固相场模型,简化,理想溶液,单相二元合金凝固相场模型,单相二元合金相场模型,可去掉,理想合金熔体的等温凝固的WBM模型,单相二元合金相场模型,Wheeler-Boettinger-McFadden(1993),令c0,得到纯组元相场方程,单相二元合金相场模型,单相二元合金相场模型,自由能的构造 WBM相场模型 KKS相场模型,从纯组元A和B的自由能入手,从液相和固相的自由能入手,

7、自由能密度构造方法,单相二元合金相场模型,单相二元合金相场模型,Kim-Kim-Suzuki (KKS) Phase-field Model,质量守恒,化学势相等,单相二元合金相场模型,KKS合金相场模型,插值函数,双阱函数,注意cs 、cL是c、的函数,单相二元合金相场模型,单相二元合金相场模型,单相二元合金相场模型,单相二元合金相场模型,单相二元合金相场模型,KKS相场模型参数与实际材料参数的联系,实际参数：界面能s、界面厚度l、动力学系数b,相场参数：梯度项系数e、双阱势高度w、相场动力学系数Mf,通过数值方法求解控制方程,有限差分法、有限元法、有限体积法、Fourier谱方法,单相二元

8、合金相场模型,界面上的浓度:WBM : KKS:,WBM：界面定义为成分相同的固相和液相混合物 KKS：界面定义为化学势相同的固相和液相混合物,界面上的自由能: WBM : KKS :,单相二元合金相场模型,WBM模型一维稳态解,KKS模型一维稳态解,单相二元合金相场模型,一维稳态下相场解与浓度场解完全脱耦 界面厚度可选取较大值，模拟尺度较大 界面能不依赖于界面厚度 易于与CALPHAD相结合,Advantage of KKS Model,单相二元合金相场模型,Disadvantage of KKS Model,界面条件的合理性需进一步考虑 数学上没有经过严格的渐近性分析，无法定量化,Isothermal Dendritic Growth,0.94,1.17,Solutal field,Adaptive mesh,W = 750l t*end = 1000 Dt* = 100,W = 750l t*end = 1000 Dt* = 100,Level = 5,Ni/Cu alloy,c0=0.4083 (Cu); T0=1574K,Non-isothermal Binary Growth,Concentration field,W = 750l; t*end = 1000;