向量的共线定理.ppt

1、（1）,一般地，我们规定实数与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度和方向规定如下：,（2）当 时， 的方向与 的方向相同； 当 时， 的方向与 的方向相反。,特别的，当 时，,回顾旧知:,设 为实数，那么,第一分配律,第二分配律,练习：,已知非零向量 ，求向量 的模,结论：, 是单位向量,与 反向的单位向量是,与 同向的单位向量是,与 平行的单位向量是,向量的共线定理,如图,D,E分别为ABC的边AB,AC的中点, (1)BC和DE的关系如何? (2)能否将DE用BC线性表示?,探索1,若|a|=3,|b|=6,a与b方向相同,能用a表示b吗？ 若|a|=3,|b|=

2、6,a与b方向相反,能用a表示b吗？,你能总结出向量共线的一个条件吗？,如果有一个实数，使ba(a0)， 那么b与a是共线向量； 反之，如果b与a(a0)是共线向量， 那么有且只有一个实数,使ba,共线向量定理:,注:(1)定理包含正反两层意思; (2)定理的一个重要条件a0; (3)符号决定两个向量是同向还是反 向;的绝对值决定两个向量长度关系；,判断:,(1)若a/b则存在唯一的实数,使b=a;,(2)若a/b,则存在不全为零的实数,使a+b=0;,(3)已知a与b不共线,若a+b=0, 则=0.,例1.如图,OAB中,C为直线AB上一点, ACCB（） 求证： ,分析:将已知条件中的AC

3、，CB用结论式中的OA，OB，OC表示，进而解出OC,运用,证明： 因为ACOCOA， CBOBOC， 又ACCB， 所以OCOA（OBOC）， 即（）OCOAOB 又因为，即， 所以 ,特例：当时,你能得到什么结论？ 若C为线段AB的中点,O为任意一点,则,则,则P、A、B三点共线.,若O是平面上任意一点,且,例2.设e1,e2是两个不共线向量, 判断下列各题中的向量a,b是否共线? (1)a=5e1,b=7e1; (2)a= e1 e2, b=3e12e2; (3)a=e1+e2 , b=3e13e2.,共线,共线,运用,例3.设e1,e2是两个不共线的向量, 已知向量AB=2e1+ke2

4、, CB=e1+3e2, CD=2e1+e2, 若A、B、D三点共线, 求k的值.,解：A、B、D三点共线, AB/BD， 而AB=2e1+ke2, BD=CD-CB=e1-2e2， 显然BD0， 则存在实数使得AB=BD ， 即2e1+ke2=(e1-2e2 )，,得(2-)e1+(k+2)e2=0， e1, e2不共线, 2=0，k+2=0， 解得k=4.,运用,例4.如图,已知G是OAB重心,求证：,B,C,A,D,运用,G,E,例5:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的 中点，点N是BD上的一点， ， 求证：M、N、C三点共线.,所以M.N.C三点共线,1. 已知向量aee， b（ee）， 求证：a与b是共线向量,练习,2. 已知MPee， PQee， 求证：M，P，Q三点共线,3如图，在ABC中， ，记BCa，CAb， 求证： ,证明：,练习,4:（2003 全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过ABC的(