一种特殊数行列式

1、第八章 处理线性关系的数学问题 线性代数概述,8.1 一种特殊数行列式,采用消元法,同理,若a11a22a12a210,求解二元线性方程组,一、 行列式的定义,1.二阶和三阶行列式,为了便于讨论,引进符号,来表示数a11a22a12a21,即,我们称之为二阶行列式,其中横写的叫行, 竖写的叫列,aij (i,j=1,2)称为它的元素.,则方程组,的解,可写成:,公式解,在这个公式解中,有一定的规律可循:,(1)分母是由原方程组未知 数系数按原顺序排成的一 个行列式,记作D .,(2)x1的分子行列式是将分 母行列式的第一列换成常 数项而得;x2的分子行列式 是将分母行列式的第二列 换成常数项所

2、得.分别记作 D1, D2 .,(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a11a23a32a12a21a33a13a22a31) x1 =b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32 b1a23a32a12b2a33a13a22b3,求解三元线性方程组,采用消元法,消去x2与x3,由二阶行列式的定义, x1的系数可表示成:,把它记为,称为三阶行列式.,上式的规律: 把第一行每一元素乘以划去该元 素所在的行、列之后剩下的二阶行列式, 前面 再冠以正、负相间的符号,最后求它们的代数和.,若x1的系数不为零,方程组的解可表示为:,x1, x2, x3分子行列式 都是由分

3、母行列式 去掉对应于的第i列, 再换上常数列b1,b2,b3 组成.,公式解:,2. n阶行列式,定义: 由n2个数aij (i, j=1,2,.,n)构成n阶 行列式,当n=1时, D=a11,当n1时,即D是第一行元素与其对应的n1阶行列 式乘积的代数和. 其中与a1j (j=1,2,.,n)对 应的n1阶行列式, 是由D中划去 a1j 所在 的行和列后余下的元素按原顺序组成的, 且在代数和中带有符号(1)1+j.,例1 计算行列式,解:,原式=,=1(3)67+0,= 45,例2 证明下三角行列式(主对角线上方所 有元素全为零)的值等于其主对角线上元 素的乘积,证,=a11a22.ann

4、,上三角行列式(主对角线下方所有元素全 为零)的值也等于其主对角线上元素的乘 积,二、 行列式的性质,性质1 行列式的某一行乘以数k,等于用数 k乘该行列式,即,(以下性质对行和列都成立),性质2 若行列式中某一行的所有元素为零, 则该行列式为零.,性质1中,令k=0,有:,性质3 交换行列式任意两行,行列式改变 符号.,性质4 如果行列式D中某行的所有元素是 两个数的和,那么D可表示成两个新行列式 之和.,性质5 行列式的某一行的k倍加到另一行 上去,其值不变.,性质6 若行列式有两行对应元素相同或成 比例,则该行列式为零.,性质7 行列式的行列互换,其值不变.,D的转置行列式:DT,【注】

5、计算行列式时,常用行列式的性质,把它化为三角 形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是: 若第一列第一个元素为0,先将第一行与其他行交换, 使第一列第一个元素不为0. (2)把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使第一列 除第一个元素外其余元素全为0; (3)再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的 低一阶行列式; (4)依次作下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对 角线上元素的乘积就是行列式的值.,例1 计算行列式,解:,利用性质把行列式化为三角行列式 来计算,原式=,(第1行与第 2行交换),(第1行分别乘2, (3),(2)加到第 2,3,4行上),(第2行乘2分别加到 第3,4行上),(第3行乘,加到第4行),=312,例2. 计算行列式的值,解,在此例中，先利用性质2和性质5将行列式化 为上三角行列式，再计算其值的方法，是计算 数字行列式的基本方法。,由于这个方法的计算过程完全格式化， 所以对于 阶数较高的数字行 列式可利用计算机来计算其值。,【注】,例3. 计