函数的基本性质(复习)

1、函数的基本性质(复习),对于属于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2， 当x1x2时，都有f(x1 )f(x2 )，则称f(x)这个区间上是增函数.,【定义】,区间D称为f(x)的一个递增区间。,对于属于定义域 I 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2， 当x1f(x2 )，则称f(x)这个区间上是减函数.,区间D称为f(x)的一个递减区间。,单调性的概念,2.证明函数单调性的基本步骤. (1)取值即设x1,x2是该区间内的任意两个值，且x1x2； (2)作差变形即作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； (3)

2、定号确定差f(x1)f(x2)的符号 (4)下结论，根据符号作出结论 即“取值作差变形定号下结论”这四个步骤,3.函数奇偶性的定义. 奇函数：设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则这函数叫做奇函数 偶函数：设函数yg(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有 ，则个函数叫做偶函数 注意: 1.奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称. 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形.偶函数的图象关于y轴成轴对称图形.,4.根据定义判断函数奇偶性的步骤.,1.求解函数的定义域，并判断是否关于原点对称,2.求f（-x）.,3.判断f（-x）与f（x）,-f（x）之间的关系

3、.若不具有奇偶性举反例.,4.给出结论.,二.小题小练： 1.设偶函数f(x)为(0,+)上的减函数，则f(2), f(), f(3)的大小顺序是 ,记忆技巧：偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性 相反；奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同.,分析：二次函数的单调性问题需考虑对称轴和开口方向,2.已知二次函数 为偶函 数，则f(x)在(5，2)上是单调 函数,解析：f(x)|xa|的图象是以(a,0)为折点的折线，由图知a2.,3.函数f(x)|xa|在(，2上单调递减， 则a的取值范围是 ,3,-3,6.已知函数 ，常数a、b R，且f（4）=0，则f（-4）= ,分析：本题一个条件

4、，a、b二个待定系数.无法求出解析 式只有利用函数的性质来处理.,5、已知f(x)是R上的奇函数，且f(-5)=5， 则f(5)=_,思维启迪： 本题着重在于考查函数的奇偶性的性质与定义。,7已知 为奇函数， 求a,b,题型分析,题型一：定义证明单调性：,例1、证明函数,证：,取值,作差,变形,定号,下结论,例2.已知函数 是偶函数，且在区间 上是减函数， 证明：函数 在区间 上是增函数。,证明：在 内任取 ，且 则,定义证明单调性：,练习.设 ， 是 上的偶函数。 （1）求实数 的值； （2）证明 在 是增函数。,解：（1） 是R上的偶函数,恒成立,练习设 ， 是 上的偶函数。 （1）求实数

5、 的值； （2）证明 在 是增函数。,定义证明单调性：,（2）证明：在 内任取 ，且 则,例3.已知函数 的定义域 为 ，且满足下列条件： 是奇函数 在定义域上单调递减 求实数 a的取值范围。,不能忽视定义域！,题型二：利用函数的奇偶性求参数的取值范围：,本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，解决本题的 关键是利用f(x)为奇函数将式子转化为:,思维引导：,由题意可得：,本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，解决本题的 关键是利用f(x)为奇函数将式子转化为:,思维引导：,巩固练习：,思维引导：,变式训练1：,变式训练2：,思维引导：,1或-1,解抽象不等式的基本思路： 利用函数的单调性，去掉

6、函数符号， 将抽象不等式转化为具体不等式。 其步骤为： 1为了利用单调性去函数符号，首先将不等式化为 （ 或 ）的形式； 2依据函数的定义域及函数的单调性写出等价的具体不等式组； 3写出解集。,规律总结,1已知函数 x1,+). (1)当a= 时,求f(x)的最小值; (2)若对任意x1,+),f(x)0恒成立，试求实 数a的取值范围.,思维启迪 第(1)问可先证明函数f(x)在1,+) 上的单调性,然后利用函数的单调性求解，对于第 (2)问可采用转化为求函数f(x)在1,+)上的最小 值大于0的问题来解决.还可以使用分离参数法,题型一 函数单调性与最值,思维启迪：,求二次函数的最值需要有三看

7、： 开口方向，对称轴，区间 当三者有一个不确定时，需讨论,题型二抽象函数的单调性与奇偶性,将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右边常数2看成某个变量的函数值.,思维启迪：,函数f(x)对任意的a、bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，并且当x0时，f(x)0. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=1,解不等式,思维启迪 问题(1)是抽象函数单调性的证明,所以要用 单调性的定义. 问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运 用单调性“去掉”,为此需将右边常数3看成某个 变量的函数值.,变式训练：,巩固练习：,四.课后练习： 1.设函数f（x

8、）（x R）为奇函数，f（1）=0.5， f（x+2）=f（x）+f（2），则f（-5）等于 2.判断函数f（x）= x(|x|+2)的奇偶性.并利用其对称性 画出它的图像. 3.已知奇函数f(x)在区间a，b(0ab)上的最 大值是3，则函数f(x)在区间b，a上最 值，该值是 ,4.已知 （1）若a=-2,试证f(x)在（-,-2）内单调递增； （2）若a0且f(x)在（1,+）内单调递减，求a的取 值范围.,0a1,课堂小结,1奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内， 若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数； 若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。 2图象性质: 奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于y轴对称. 3判断奇偶性方法：图象法，定义法。 4定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提,6、解决利用函数的性质求参数的取值范围的问题时， 就要列出关于参数的不等式（组），因