吉林大学 陈殿友--线性代数(第3章)

1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,1 矩阵的初等变换,一.引例,求解线性方程组,(1), ,(1),1,2,3,(2),(2),(3),3,2,1,3,1,4,+,2,+,+,3, , ,2,(3),2,1/2,3,+,5,2,4,3,2,(4),(4),3,4,2,3,+,4,（5）, , ,于是得,其中 x3可任意取值，或令x3 = c 这里c为任意常数.则方程组可记为：,x =,x =,即,把上面方法加以数学抽象,B =（A b) =,称为方程组（1）的增广矩阵.,把方程组的上述三种同解变换移植到矩阵 上，就得到矩阵的三种初等变换.,二.矩阵的初等变换,定义1 下面三种变换称为矩阵的初

2、等变换:,(1) 对调矩阵的两行(列);,(2) 以数k0乘矩阵某一行(列)中的所有元素;,(3) 把矩阵的某一行(列）所有元素的k倍加到 另一行(列）对应的元素上去;, 矩阵初等行变换与初等列变换,统称为初等变换.,显然,三种初等变换都是可逆的,且其逆变换是同一类型的初等变换:,(1) 对换变换 的逆变换就是其本身;,(2) 倍乘变换 的逆变换为 ;,(3) 倍加变换 的逆变换为 ;, 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A与B等价,记作AB., 矩阵之间的等价关系具有下列性质：,（1）反身性 AA,（2）对称性 若AB，则BA；,（3）传递性 若AB，BC，则AC., 两个线性

3、方程组同解，就称这两个线性方程组等价。,三.矩阵初等变换的应用,例1. 解线性方程组,解 对方程组的增广矩阵B施以行初等变换,从而得等价的方程组,取 为自由未知量,并令 , 即得,x,其中c为任意常数。,1) 行阶梯形矩阵：,2) 行最简形矩阵：, 一个矩阵的行最简形矩阵是唯一的.要解线性方程组,只须把增广矩阵化为行最简形矩阵.,3) 矩阵的标准形,对于任何 mn 矩阵 A , 总可经过初等变换把它化为标准形.,此标准形由 m、n、r 三个数完全确定 , 其中 r 就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与A等价的矩阵组成的集合,称为一个等价类,标准形F是这个等价类中形状最简单的矩阵.,例2 设,

4、求A的标准形。,解:, 任何的可逆矩阵都等价于同阶数 的单位阵.,练习,把下列矩阵化为行最简形矩阵:,2 矩阵的秩,定义2 在mn矩阵A中,任取k行与k列（km， k n），位于这些行和列交叉处的k2个元素,不改 变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式。 mn矩阵A 的k行与k列子式共有 个。,一、矩阵秩的定义,例如,注意：在A中存在1阶和2阶的非零子式，但3阶和4阶子式全部为零。,定义3 设在矩阵A中有一个不等于0的 r 阶子 式 ，且所有r+1阶子式（如果存在的话） 全等于零，那么 称为矩阵 A 的最高阶非零子式. 数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 。,注意

5、显然有,特别的规定,例1 求下列矩阵的秩,解 在A中，容易看出：一个2阶子式 ， A的3阶子式只有一个|A| ，经计算可知 ,因此 （）.,解是一个阶梯形矩阵，其非零行有行，故可知的所有阶子式全为零。而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的阶行列式,因此（B）,二、矩阵秩的相关定理,定理若，则（）（） 证明先证明：若经过一次初等行变换变为，则（）（） 设（），且的某个 阶子式,当或 ，在 中总能找到与 相,对应的,由于,或,或,因此 ，,从而（）,当,，分三种情况讨论：,中不含有第 i行; 中同时含有第 i行和第 j 行; 中含有第 i行，但不含有第 j 行. 对和 两种情况，显然 中与对应的

6、子 式，故（）；,对于，由,若 ,则因,中不含有第 i行，可知中,有不含第 i行的阶非零子式，从而（）；若,则 ，,故也有（B）.,以上证明了若经过一次初等行变换为， 则（）（），由于亦可经过一次初等行变换变为故也有（）（）因此（）（）。,经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次初等行变换时，矩阵的秩依然不变。,同理可证：经过有限次初等列变换，变成矩阵，则有（）（）,总之，若经过有限次初等变换变为矩阵，则有（）（）,如在例1中，我们已经计算,的秩为2，将A施行初等变换得,显然，R(B) = 2 , 故 R(A) = R(B) 。,通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的 秩，只需将矩

7、阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可。,三、求秩,例设,求矩阵的秩并求的一个最高阶的非零子式.,解 先求的秩。故对作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：,因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以 R(B) = 3。从而 R(A) = 3。,A的一个最高阶非零子式为：,设A为n阶可逆矩阵，则|A|0,从而R(A) = n，称A为满 秩矩阵。,若A为n阶不可逆矩阵，则|A|0,从而R(A) n，称A为 降秩矩阵。,例3 设,求矩阵A及矩阵B=（A | b）的秩。,解,因此，R(A) = 2 , R(B) = 3.,例4 设,若秩R(AB+B) = 2 ，求a 。,解 因为,AB + B = (A + E)B,将所得的

8、矩阵施以初等变换得,由于R(AB+B) = 2，所以12a 0。,故,a =12。,复习,1、初等变换,2、用初等变换求矩阵的秩,设,求R(A)和R(Ab)。,3 线性方程组的解,一、线性方程组解的存在性-,定理2 n元齐次线性方程组 Amnx = 0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n.,证明：先证必要条件设方程组x有非零解。（用反证法）假设（）n，则在中应有一个 n 阶非零子式n，从而n所对应的 n个方程只有零解（根据ramer法则）。这与方程组有非零解相矛盾。因此（）n不能成立。故有（）n,再证充分性。设（）rn，则的行阶梯 形矩阵只含有r个非零行，从而知：其有nr个自由未

9、 知量。任取一个自由未知量为 1 ，其余的未知量都为 零，即可得到方程组的一个非零解。,定理n元非齐次方程组x有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵(,) 的秩。,证明 必要性。设方程组x有解，要证 R(A) = R(B)。（反证法）设R(A) R(B), 则 B的行阶 梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 = 1，这 与方程组有解矛盾。因此R(A) = R(B)。,充分性。证明方程组有解。设R(A) = R(B) = r (rn) ,把B化为行阶梯形矩阵，则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行。把这 r个非零行的第一个非零元素所对应的未知量作为非自由的未知量，其余 n r 个作

10、为自由未知量，并令 n r 个自由未知量全取零。即可得方程组的一个解。,注意：1）当 R(A) = R(B) = n 时，方程组没有自由未知量，故只有唯一解。 2）当 R(A) = R(B) = r n时，方程组有 n r 个自由未知量，故有无穷多解。,线性方程组的解题步骤：,1) Ax = 0 只要把它的系数矩阵化为行的最简形矩阵，把以行 最简形矩阵中非零行的第一个非零元 1为系数的未知数 留在等号左端，其余的移到等号的右端，再表示成通解.,2）Ax = b 只要把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，由定理 3，判断它是否有解。若有解，则对增广矩阵进一步化成行最简形矩阵。把行最简形矩阵中非零行第一

11、个非零元素 1为系数的未知数留在等号左端，其余均移到等号右端。再表示成通解。,二、线性方程组的解法,例1 求解齐次线性方程组,解 对系数矩阵A施以初等行变换为行最简形矩阵:,即得到与原方程组的同解方程组,即,x3 ,x4 可以任意取值.,令x3 = k1 , x4 = k2 , 把它写成 参数形式,其中 k1 , k2 , 为任意实数。,其解亦可表为向量形式,例2 求解非齐次线性方组,解 对增广矩阵B实施行的初等变换,可见，R(A) = 2 , R(B) =3.故方程组无解。,例3 求解非其次线性方程组,解 对增广矩阵B实施行的初等变换,显然， R(A) = R(B) = 24，所以原方程组有

12、无穷多解，且具有下列同解方程组：,即,故,k1 , k2 为任意常数。,k1 ,k2 为任意常数。,写成向量形式,例4 设有线性方程组,问 取何值时，此方程组（1）有唯一解？（2）无解？ （3）有无穷多个解？并在有无穷多解时，求其通解。,解 对增广矩阵B =（A | b）实施行的初等变换:,1）当 0 , 且 3时， (A) = R(B) = 3 , 方程组有唯一解;,2) 当 = 0 时 , R(A) = 1 , R(B) = 2 , 方程组无解； 3)当 =3 时, R(A) = R(B) =2 , 方程组有无穷多解.,当 = -3 时，,得同解方程：,即,4 初等矩阵,一、初等矩阵的概念

13、,定义由单位矩阵经过一次初等变换得到 的矩阵称为初等矩阵。,对调两行（列）,第i行,第行,以数乘以某行（列）,第i行,以数k乘以某行（列）加到另一行（列）上去,第i行,第行,注意：初等方阵是可逆矩阵，且其逆矩阵仍然是初等方阵。,例设,计算：,解：,二、初等方阵的有关定理,定理设是一个mn 矩阵，对 A 实施一次 初 等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩 阵; 对 A 实施一次 初等列变换，相当于在 A 的右边乘 以相应的 n 阶初等矩阵。,定理5. 设A为可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵 ，使 ,证：因为，故 经过有限次初等变换可变成，也就是说，存在有限个初等矩阵 使,即,推论

14、： mn 矩阵 的充分必要条件是：存在 m 阶可逆矩阵及 n 阶可逆矩阵，使=,三、用初等矩阵求逆矩阵,故,即,所以,当 |A| 0，由,1、利用初等变换求逆,例2. 设,求,解,所以,注意：亦可利用矩阵的初等列变换求解逆矩阵.,事实上：因为,所以,2、利用矩阵的初等行变求解矩阵方程.,事实上，对于,若A可逆，则有,对应于：,即,例3. 设 AX = B , 求 X . 其中,解 若,可逆，则,所以,同理亦可求解矩阵方程,若,可逆，则有,即,例4. 设A的伴随矩阵,且有,求 B.,解: 在,两边左乘,右乘 A ，得,即,因为,而,从而有,（*）,故（*）式可改写为,即,所以,第三章 小 结,矩

15、阵的初等变换与线性方程组,矩 阵 的 初 等换,初 等 方 阵,矩 阵 的 秩,线 性 方 程 组,矩 阵 的 初 等 变 换,概 念,1.对换矩阵的i, j两行（列）.,2.用k0乘矩阵的第i行（列）.,3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的对应元素上去.,性 质,1.初等变换不改变矩阵的秩.,2.对A经过有限次初等变换得到B，则A等价B.,用 途,求逆，,求矩阵A的秩、最简型、标准形.,初 等 方 阵,性 质,初等方阵都是可逆矩阵，其逆仍然是同种的初等矩阵.,对Amn矩阵实施一次行初等变换，相当于对A左乘一个相应的m阶初等方阵；对A实施一次列初等变换，相当于对A右乘一个相应的n阶初等方

16、阵.,任何可逆矩阵都可以表为若干个初等方阵的乘积.,概 念,对单位矩阵实施一次初等变换而得到的矩阵称为初等方阵.,三种初等变换对应三种初等方阵.,矩 阵 的 秩,概 念,k阶子式.,秩：矩阵非零子式的最高阶数.,性 质,零矩阵的秩为零.,R(A)=R(AT),若B可逆，则R(AB)=R(A).,R(A+B) R(A)+R(B),R(AB) minR(A), R(B),R(AB) R(A)+R(B)-n,若AB=0, 则R(A)+R(B) n,线 性 方 程 组,有非零解 R(A)n.,求 解,1.化系数矩阵为最简形. 2.找等价的方程组. 3.写通解.,有解 R(A)=R(B).,求 解,1.把增