高等半导体物理

1、1 第二章第二章 半导体的电输运性质半导体的电输运性质 输运性质是指在外场如电场、磁场、热场及压力场等作用下载流子的运动规律。这个过程涉 及的宏观现象有：电阻、霍尔效应、温差电现象、磁阻、热导及压阻等。本章主要讨论的是在电 场作用下载流子的运动。 按照能带论，在严格周期性势场中，电子可以保持在一个本征态中，具有一定的平均速度， 并不随时间改变，这相当于无限的自由程。实际自由程之所以是有限的，则是由于原子振动或其 它原因致使晶体场偏离周期场的结果。在费米统计和能带论的基础上，逐步发展了关于输运过程 的现代理论。本章将主要通过讨论电导问题来介绍关于输运过程的一些基本概念和理论方法。 1 半经典的处

2、理方法半经典的处理方法 设在弱场条件下，电子在外电场 下的势为)(r ,则含时间的薛定谔方程： )12( ),( ),()( 0 t tr itrreH 0 H为无外场时的哈密顿量，),(tr 为有外场时的本征波函数。因)(re 在实空间是扩展势，因 此方法上与处理浅施主杂质类似，可用有效质量理论来处理。在这里采用的是建立在有效质量方 程上的半经典电子运动方程。根据有效质量理论，考虑各向同性非简并的导带，如 GaAs，InP 等 材料，它们的导带可写成： * 22 2 )0()( m k EkE cc 由方程（2-1）得： )22(),(),()( 2 )0( 2 * 2 trF t itrF

3、re m Ec 晶体势的作用“凝聚”到用 * m替代 0 m，外场作用下电子的经典运动方程近似地写成： )32()( * 2 2 * e dt rdm dt rd m 第 1 项是外场作用下的加速运动，第 2 项是杂质或声子对电子的散射。在电场下的加速与散射导 致的对速度的影响形成了两股相互竞争的力量，使得在材料中外电场下电子的运动与真空下的情 形不同。 对于一个理想的晶体，在绝对零度下，散射时间 是无穷，这意味着电子在外场作用下不断 地加速，在晶体中畅通无阻。然而对于实际晶体， 是一个有限的值。对电流vneJ 有贡献的 漂移速度 * mevd 载流子浓度为 n 时电流密度 2 neJ )42

4、()( * 2 hhee nne m ne ne 2 非简并电子气玻尔兹曼方程和弛豫时间近似非简并电子气玻尔兹曼方程和弛豫时间近似 热平衡情况下，以 n 型材料为例，电子分布遵循费米-狄拉克分布 )52( )( exp1 1 0 KT EkE f F k 分布函数),(tKf 随时间的变化 t f 可表示成： )62()()()( mcd t f t f t f t f 第一项 d t f )( 为漂移项。第二项是碰撞项，是指晶格的非周期性（杂质、缺陷及晶格振动等）对 波矢为K 状态电子的散射。 而第三项 m t f )( 是电子密度在空间的不均匀性引起的扩散项。在恒温 条件下，仅考虑电场及磁

5、场的作用时扩散项可忽略，0)( m t f 。 当系统达到一个新的平衡态时，方程写为 )72(0)()( cd t f t f t f （1）漂移项。 恒温条件下，恒定电磁场),(B 引起的漂移项： )82()( 1 )( Bveef dt Kd f t f kkd （e为电子电量的绝对值） （2）碰撞项。散射作用使分布函数恢复平衡，设单位时间内状态K 的电子被散射到 K 的几率为 ),(KKW ，相反电子从状态 K 被散射到K 的几率为),(KKW 。不考虑电子在瞬间实空间的 变化，则在t 时间内单位体积中从Kd 跃迁到Kd 的电子数可表示成： tKdtKfKKWKdtKf ),(1( )2

6、( 2 ),(),( )2( 2 33 这里 2 是考虑自旋，并认为跃迁时自旋不变。上式对 K 积分可得t ，Kd 范围内被散射出的电 3 子数： )92( )2( 2 3 tKda 同样电子从Kd 散射回Kd 的电子数为： )102( )2( 2 3 tKdb 其中 )112( ),(),(1),( )2( 2 ),(),(1),( )2( 2 3 3 KdKKWtKftKfb KdKKWtKftKfa 在Kd 内电子数的变化： )2( 2 )(),( )2( 2 33 tKdabKdtKf 因此电子散射引起分布函数的变化： )122()( ab t f c 根据)72( 式0)()( cd

7、 t f t f t f 和)82( 式)( 1 )(Bveef t f kd ， 在恒定电场与磁场下 ab)()( 1 )()( 1 )()( ckckcd t f Bveef t f Bveef t f t f 即：平衡时，在恒定电场或磁场下由于电子的漂移对分布函数的影响与散射对电子分布函数的影 响作用相当。 )132( 0 )( ab e fB abBv e f k k 若若 （2-13）就是玻尔兹曼方程，它是一个积分微分方程，很难求解。这里采用弛豫时间近似来求解。 设系统偏离平衡态后，从),(tKf 由于碰撞偏离原始热平衡状态 0 f所需要的弛豫时间)(K )142( )( )( 0

8、K ff t f c 4 玻尔兹曼方程可写为： )( )( 1 0 K ff Bveef k 不同的散射机构对系统 的影响是不同的，存在多种散射机制时 )162( 11 i i 3 电导率电导率 对于一均匀材料， 恒温零磁场， 弱外电场 作用下非简并电子气 （电子浓度为 n） ， 由 （2-13） 、（2-14） 得到定态玻尔兹曼方程为： )172( 0 a ffe f K 将 f 按 的幂指数展开： 210 ffff。 （ 是弱场， 0 f是没加电场的情况。 ）代入 （2-17a）得两边幂次相等的方程组，并求出相应的 21, f f )172( 12 2 1 01 1 0 bf e f fe

9、 f f e f fe f KK KK 0 f是指无外场时热平衡分布函数。在考虑分布函数变化一级小量的情况下，讨论电流密度： Kdf KEe Kdf KEe Kdff KEe KdKvKefdnveJ KK K 0 3 1 3 10 33 )( )2( 2)( )2( 2 )( )( )2( 2 )()(2 )2( 1 其中：kdkfdn ) ( )2( 2 3 ，)( 1 )(KEKv K 等号后面的第二项： KdfkevKdfKE e K 0 3 0 3 )(2 )2( 1 )( )2( 2 相当于平衡时的电流，等于 0。 因此， Kdf KEe J K 1 3 )( )2( 2 5 又因

10、为 k E f e f e f EK 001 )182()()( )2( 2 0 23 KdfKEeKE e J EKK 根据欧姆定律： J， ,为 x，y，z， 是二阶张量， )192() )( () )( )( )2( 2 0 23 2 Kd K KE E f K KE K e 由此看出电导率取决于)(KE 关系。下面就各向同性能带和各向异性能带分别讨论。 3-1 各向同性能带各向同性能带 如 GaAs，InP 导带， * 22 2 )( m K KE ，)(K 与K 方向无关。 ),()( * 2 KKK m KE K ,为三个不同方向。若TkEE BF ，载流子分布函数由 Fermi-

11、dirac 分布 )( exp1 1 )( 0 Tk EKE Kf B F 近似看作为玻尔兹曼分布 )( exp)( 0 Tk EKE Kf B F 0 0 1 f TkE f B )202()( )2( 2 )()( )2( 2 0 2 *3 22 * 2 0 * 2 23 2 KdKKfK Tkm e Kd m K Tk f m K K e B B 积分中， KKK,是奇函数，其余的因子都是球对称的，只要 ，积分内函数是奇函数， 所以积分后 0 0 332211 ，因此张量相当于一个标量 0 。 统计平均电导率为 6 )212()( )2( 3 2 )( 3 1 0 2 2 *3 22 0

12、 KdfKK Tkm e B 在经典电子气中，电子平均能量： Kdf m K n Tk Tk n Kdf m K dn dn m K B B 0 * 22 3 3 0 * 22 * 22 )2(3 2 )222( 2 3 )2( 2 22 将TkB代回（2-21）式，可得到 )232( )( )()( )()( * 2 0 0 * 2 2/1 0 2/1 0 * 2 2 0 2 0 * 2 a E E m ne dEEgEf dEEgEfE m ne dEEEf dEEEfE m ne KdKf KdKfK m ne 其中态密度 2/1 )(EEg 另外，从另一个更简单的途径，我们也可以得到

13、： 因为 * m e v 和nevj ，所以 m ne nevj * 2 ，因此 m ne * 2 )232( * 2 bnej m e m ne j 3-2 各向异性导带各向异性导带 在实际的 Ge，Si 材料，导带)(KE 关系较复杂，它的等能面是椭球，而且是多谷的情况。如 图 2-1 所示，Si 的导带在100方向有六个等效的椭球，而 Ge 在111方向有 8 个半椭球。其能量 关系： 7 图 2-1Si（a） ，Ge（b） ，导带极小值等能面 )242()( 2 )( * 3 2 * 2 2 * 1 22 m k m k m k KE z y x lt mmmmm * 3 * 2 *

14、1 , )252( 1 00 0 1 0 00 1 1 * 3 * 2 * 1 * m m m m 分布函数的一级小量： )262( 0 * 0 * 2 0 01 E f K m e E f m Ke E f K Ee f e f K 由)182( 式可得： )272()( )2( 2 )()( )2( 2 0 * 2 * 2 23 2 0 23 Kd E f K m K m e KdfKEeKE e J EKK 当坐标建立在椭球上时，仍有 * 2 m ne ，注意到椭球的各向异性，存在着横向有效质量和纵 向有效质量的差别，有 * 3 * 2 * 1 mmm 。每个椭球中的电子对电导的贡献为：

15、 8 * 3 2 * 2 2 * 1 2 6 00 0 6 0 00 6 m ne m ne m ne K K 为以该椭球坐标为参考下的电导率。Si 的导带在100方向 有六个等效的椭球， Si 的总电导率为多少呢？即涉及到这 6 个椭 球中电子对电导的贡献是如何相加的。 （参考高等半导体物理 ，赵冷柱，华东师范大学出版社） 注意到在上式中我们用到了两个不同的坐标系： 晶体主轴坐标系 或实验室坐标系（原点位于 K 空间的原点处） ，和能谷的椭球主 轴坐标系（原点位于椭球的中心） ，因此涉及到两个坐标的转换 问题。 设zyx ,为晶体主轴坐标系或实验室坐标系， 321 ,kkk 为能谷的椭球主轴

16、坐标系。在普遍的情 况下，晶体主轴坐标系（zyx ,）与某一能谷的椭球主轴坐标系（ 321 ,kkk ）的关系为： 3 2 1 333231 232221 131211 k k k ccc ccc ccc z y x ，可简写成：CKX 若在某一能谷的椭球主轴坐标系下电流方程可写成： 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 k k k kkk kkk kkk k k k j j j ，可简写成： kkk j 在晶体主轴坐标系或实验室坐标系下电流方程可写成： 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 j j j ，可简写成：j 有： 111 CC

17、CCCCCjCCj kkkkkkk 对于硅，在 321 ,kkk 的正方向上的三个能谷所对应的变换矩阵分别为： 100 010 001 , 001 100 010 , 010 001 100 321 CCC 9 又因为 * 3 2 * 2 2 * 1 2 6 00 0 6 0 00 6 m ne m ne m ne K 因此，若只考虑在 1 k 正方向上的一个能谷上的电子对电导的贡献，则： * 2 2 * 1 2 * 3 2 * 3 2 * 2 2 * 1 2 1111 6 00 0 6 0 00 6 001 100 010 6 00 0 6 0 00 6 010 001 100 )( m n

18、e m ne m ne m ne m ne m ne CC K 若考虑了 6 个能谷上的电子对电导的贡献，则： * 2 * 2 * 2 * 2 * 1 2 * 3 2 * 2 2 * 3 2 * 2 2 * 1 2 * 2 2 * 1 2 * 3 2 6 1 00 00 00 6 00 0 6 0 00 6 2 6 00 0 6 0 00 6 2 6 00 0 6 0 00 6 2 c c c c i i m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne m ne 其中：) 21 ( 3 11 tlc mmm ， tl mm

19、 ,分别指纵向和横向有效质量。 10 同样的，)322( 6 * 1 2 xx m ne J 式中 1/6 是考虑 Si 导带有 6 个能谷，每个能谷的电子数是 n/6。 对一个能谷三个方向的电流为： )332( 6 * 3 * 2 * 1 2 z m y m x m e n J z y x 六个能谷的总电流为： )342( ) 21 ( 3 )( )( )(2 6 2 * 2 * 2 c * tl l z t y t x t z l y t x t z t y l x m ne mm ne z m y m x m z m y m x m z m y m x m ne J 其中： )( m e

20、 m ne ) mm ( m c * c * t * l * c * 352 21 3 11 2 上面的结果与（2-23b）相比发现，只需将cm*替换 * m， 的表示式是相同的，特别是 c m及 在 这里都是标量。 对于 Ge 的导带电导率，虽然导带底极值情况有所不同，是在111的半个椭球，但在计算方 法上是类似的，不作详述。 3-3 空穴电导率空穴电导率 第一章中我们讨论到 Ge，Si 的价带极大值在 点，考虑了自旋与轨道的相互作用后，通常 由两个具有不同有效质量（轻空穴和重空穴）的能带控制空穴的输运。 用前面的分析方法，从)(KE K 导出 1 f，从而得到空穴电导率的表达式： 11 )

21、382( 2 cl ll ch hh m P m P e 其中 h P和 l P分别为重空穴数和轻空穴数， clch mm ,分别代表重空穴与轻空穴的有效质量。 若近似地认为 lh ，则： c m Pe2 其中： )( 11 , cl l ch h c lh m P m P Pm PPP 由于轻重空穴可以在两个弯曲的等能面间相互散射，它们的数量是不相等的。实验表明轻空穴浓 度约为重空穴的 2-6%。 4 霍尔迁移率与磁阻霍尔迁移率与磁阻 在外加电场和磁场的作用下，假设所加的电场为弱场，按电场展开有 210 ffff。 在一级近似下， 01 fff 表示分布函数在外场下的变化。 有磁场情况下的玻

22、尔兹曼方程为： )( )( 1 0 K ff Bveef k 按 的级数左右两边相等得到： 1 10 f Bv e f e f KK a)(fB)Ke E f Ke B m K f e m K E fe f m K Kv Bvf e v E fe fKEKv Bvf e k E E fe Bvf e f e f K K KK K KK 392M(M * )( * * )( )()( 1 )( )( )()( 1 0 1 0 1 0 1 1 0 101 又 其中 * 1 m M ，对称矩阵下KMMK ，故： )392( )(det)(1 )(det)()( 0 12 12 1 b E f BBM

23、Me BMBMeBMe MKef 12 由此可求各种情况下的霍尔迁移率与磁阻。 4-1 球形等能面球形等能面 利用（2-18）式， )182( )( )2( 2 )( )( )2( 2 )()(2 )2( 1 1 3 10 33 Kdf KEe Kdff KEe KdKvKefdnveJ K K 将)392(b 代入，整理后得到： )402( )exp( )exp( )(1 )()( 2/3 2/3 2* 2 * * 2 dWWW dWWW BBme BB m e B m e m ne J 其中TkEW B 。 令)B, 0, 0( z B ，在弱磁场下1)( 2 * BB m e ， （2-

24、40）可二项式展开并略去 3 )(B 项得： )412()()( 3 3 * 4 2 2 * 3 * 2 BBBB m ne B m ne m ne J 可以求出电流的各分量如下： )422( 23 3 * 4 2 2 * 3 * 2 23 3 * 4 2 2 * 3 * 2 zyzxyy zxzyxx B m ne B m ne m ne J B m ne B m ne m ne J *Hall 系数 13 在一个长方形样品的 Hall 系数测量中，假设外加电流方向为x 方向，磁场B 沿z 方向，由于 载流子在磁场中运动发生偏转，我们在y 方向上可探测到电压，称为 Hall 电压。 由于在

25、y 方向无电流，0 y J，积累的电场为 y 。若仅考虑 z B的一次方项，在稳态下 )432( 2 * zxy B m e 附：上式的推导过程 由于0 2 2 * 3 * 2 zxyy B m ne m ne J 有 zx zx yzxy B m e m ne B m ne B m ne m ne * 2 * 2 2 2 * 3 2 2 * 3 * 2 定义霍尔系数为 zx y H Bj R 因为 23 3 * 4 2 2 * 3 * 2 zxzyxx B m ne B m ne m ne J ne ne ne m ne m e j m e Bj B m e Bj R x x x x zx

26、zx zx y H 1 2 2 2 * 2 * 2 * 2 * 2 定义霍尔迁移率为)442( 2 * m e Bz x y H （这是因为 zxy B m e 2 * ） 比较（2-23b）式，未加磁场下 * m e 。霍尔迁移率 H 中是以 2 代替 。通常 与能 量有关，故 H 不同于 。若 与能量无关，则 H 。 *对 Hall 现象的讨论：Bvee （1）产生 Hall 效应的原因是，作漂移运动的载流子在垂直电场作用下，因受洛仑兹力而产生 14 偏转，结果在样品两侧造成电荷积累，由此产生的横向电场所引起的静电力和洛仑兹力之 间平衡的结果。 （2）在半导体材料中，由于载流子的速度实际是

27、各不相同的，因此，一般并不存在 Hall 电场 的静电力和洛仑兹力之间的平衡。 在垂直于磁场方向的平面内， 载流子实际在作迴旋运动， 并不断经受碰撞。 （3）由于在 y 方向存在电场，电流和电场并不在同一方向上，两者的夹角称为 Hall 角，其定 义为： z * n z * x zx * x y p B m e B m e B m e 2 2 2 tan tan 电子和空穴的 Hall 角有不同的符号。 定义迴旋频率： * m eBz ，表示载流子在磁场作用下作迴旋运动的角频率。在有关磁场中载流子 运动的问题中，迴旋频率 是个重要的量。在迴旋频率1 时，有 。 *磁阻磁阻 23 3 * 4 2

28、 2 * 2 2 * 3 * 2 2 * 23 3 * 4 2 2 * 3 * 2 zxzxxx zxy zxzyxx B m ne B m e m ne m ne J B m e B m ne B m ne m ne J 从上式可以看出，磁场还可在 x 方向引起 2 z B量级的电流变化，表现为电阻的变化，称为磁 阻 m R，其定义为：)452( 0 0 x xBx m J JJ R 0 , xxB JJ分别为有磁场及无磁场 x 方向的电流。将 xB J及 0 x J代入（2-45）可得到： 2 2 * 2 2 3 2 2 23 2 * 2 2 2 2 2 * 2 * 2 23 3 * 4

29、2 2 * 2 2 * 3 * 2 * 2 z zz x zxzxxx m B m e B m e B m e m ne B m ne B m e m ne m ne m ne R 15 )462()()( 22 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 * 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 * 2 2 3 2 2 2 * zHzH zzm H BB B m e B m e R m e 其中)472( 2 2 3 2 2 称为磁阻系数，可看出若 与能量无关，0 。实际上， 是与能量有关的，0 m R。 5 电子运动的散射机制电子运动的散射机制 从前面几节的分析看出，输运参量是与弛豫时间 密

30、切相关的。 宏观上可看成是在撤去外 场后分布函数从f恢复到 0 f的平均时间，显然它与非平衡载流子散射有关。因此，要从理论上 定量地求出 ，就必须讨论各种散射机制，如：晶格振动、杂质缺陷等对电子跃迁几率的影响， 从而求出 及载流子迁移率。 5-1 散射截面散射截面 载流子受到晶格振动、 杂质缺陷等微扰势的散射是一个随机过程， 故需引进散射截面的概念。 设一束粒子流沿 z 方向射向散射中心 M，入射粒子流受到 M 中心的碰撞而偏离原方向发生散射。 考虑到散射中心（如杂质原子）比粒子流（如电子）质量大很多，因此 M 的运动可忽略。 受到散射中心 M 作用后，入射流被散射到),( 方向立体角 d内的

31、粒子数dn正比于入射的粒 16 子流密度 N（单位时间内通过与入射粒子运动方向垂直的单位面积的入射粒子数，用于描述入射 粒子流强度的物理量，故又称为入射粒子流强度）及接收立体角 d，其中 dddsin 。 )512(),( Nddn Nd dn )(, 的单位是面积， 指的是粒子散射到单位立体角的几率， 称为微分散射截面。 N dn 为 每个粒子散射到 d中的几率。如果我们考虑到各方向的散射 0 2 0 sin),(dd c c 称为积分散射截面，它代表粒子被散射的几率。 当散射中心的力场对 z 轴对称，则 c 与 无关可表示成（2-52） 。 )522(sin),(2 d c 对于各向同性的

32、散射，),( 与 ,无关 )532(4 4 d c 考虑到每经一次散射，速率在原方向的分量为 cosv，速率分量的相对变化应加一权重因子 )542(cos1 cos v vv 得到平均微分有效散射截面或称动量传递截面 )552(sin)cos1)(2 0 d 5-2 弛豫时间弛豫时间 由式（2-14）代表的弛豫时间近似，我们可从（2-11） ， （2-12）式出发来求出 与散射几率及 载流子分布等参量的关系。 根据（2-11） （2-12） ，由于散射作用单位体积单位时间内分布函数的变化率 )562()(1)(),()(1)(),( )2( 2 3 KdKfKfKKWKfKfKKW t f c

33、 ),(KKW ，),(KKW 分别代表电子从 K 态跃迁到K 态及从K 态跃迁到 K 态的几率，根据 热平衡下的细致平衡原理 )572()(1)(),()(1)(),( 0000 KfKfKKWKfKfKKW )()()( 10 KfKfKf ，则（2-56）式可进一步写成 17 )( )( 1 K Kf t f c )582( )()(1)( )()(1)( 1 )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 100 100 0 0 3 1 Kd KfKfKf KfKfKf Kf Kf KKWK 据图 2-3，进一步化简上式，其中 为K 与外场 夹角， 为 K 与K 夹角， 为 K 与 夹角。

34、参考高等半导体物理 ，赵冷柱，华东师范大学出版社 有)cos(sinsincoscoscos 化简（2-58）得： )592(cos )()(1)( )()(1)( 1 )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 00 00 0 0 3 1 Kd KKKfKf KKKfKf Kf Kf KKWK 其中令：)602( cos)()( cos)()( 1 1 KKKf KKKf ，而且对 积分时含)cos( 项为零。 （2-59） 是弛豫时间近似下)(K 的一般表达式，可看出它涉及到不同散射机制对应的跃迁几率及 散射对电子能量的影响。从能量变化的角度，散射可分成带内的弹性、非弹性散射及谷间的弹性、

35、非弹性散射。从散射体的类型来分，散射可分为电离杂质散射、中性杂质散射和声子散射（声学 波形变势散射、长光学波畸变势和长光学波极化势等） 。下面分别讨论： * 带内弹性散射 对于弹性散射)()(),()(, 00 KfKfKKKK ，因此（2-59）式可成为： )612()cos1)(,( )2( 1 )( 3 1 KdKKWK 根据量子力学，受一缺陷势 H 作用电子的跃迁几率),(KKW 表示成： )622()( 2 ),( 2 KK EEKHKKKW )632( 1 rdeHe V KHK rKirKi 通常可用（2-61） ， （2-62）及（2-63）式来计算弹性散射的弛豫时间。 下面简

36、要讨论弛豫时间)(K 与散射截面的关系。 （2-61）式)(K 代表了粒子两次碰撞之间 的平均自由时间， 1 )( K 就是单位时间内的碰撞几率。 设 N 为散射中心密度， 则单位体积中有 N 18 个散射截面为 c 的平行圆盘。在dt时间内，粒子垂直于散射截面移动了vdt，在dt时间内一散 射截面碰撞几率为： )( )( K dt vdtN c （等式左边表示dt内会碰到多少个散射截面，等式右边表示dt内会散射多少次） 因此，)642()( 1 NvK c 实验上 c 是可测定的，因此可计算出)(K 。 * 带内非弹性散射 式（2-59）是适用于弹性散射或非弹性散射的普遍公式。应用于非弹性散

37、射，通常给不出弛 豫时间的简单表达式，可将)(K 写成一个积分方程再用迭代法近似求解。推导过程中将声子与 电子非弹性的相互作用过程叠加，略去数学过程可得到非弹性散射弛豫时间表达式： )652( )( )( cos1 )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 0 0 3 1 过程过程 Kd KK KK Kf Kf KKWK )(K 与) (K 具有相同的函数形式，因此上式是一个积分方程。为了便于迭代计算，将上式改 写成： )662(cos)( )(1 )(1 ),( )2( 1 )()()( 0 0 3 00 过程过程 KdK KfK KfK KKWKKK 其中)672( )(1 )(1 ),(

38、 )2( 1 )( 1 0 0 3 0 过程过程 Kd Kf Kf KKWK )( 0 K 作为)(K 零级近似，较容易从（2-67）获得。若将（2-66）中) (K 用（2-67）)( 0 K 来 代替，则可得到)(K 的一级近似，即： 过程过程 KdK KfK KfK KKWKKK cos)( )(1 )(1 ),( )2( 1 )()()( 0 0 0 3 001 若设)( 0 K 系数为)(),( 11 KKS 可简化成 )682()()()()( 1001 KSKKK 过程过程 )692(cos)( )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 0 0 0 3 1 KdK KfK KfK

39、 KKWKS 若将)( 1 K 代入（2-66）则可得到)(K 的二级近似)( 2 K ， 19 )702()()()()()()( 211002 KSKKSKKK 据此类推可得到)(K 的各级近似。 * 带（谷）间的弹性与非弹性散射 当电子密度很高或高温情况下， 电子除了占据最低能 带（谷）之外，有可能占据较高的能带（谷） 。电子 不仅在同一个等价谷（带）内发生散射，也可能在不 等价的谷间发生散射，如图 2-4 的所示 与前面相比不同的是应考虑电子从 i 能谷K 态跃迁 到 j 能谷 K 态的跃迁几率),(KiKjW ， 根据 （2-65） 第 i 谷K 态电子的弛豫时间也应考虑所有 j 谷

40、的影 响，即对 j 求和： )712(cos )( )( 1 )(1 )(1 ),( )2( 1 )( 0 0 3 1)( 过程过程j i j i ji Kd KK KK Kf Kf KiKjWK 式中)( 0 Kf i 和)( 0 Kf j 为热平衡时 i，j 谷的分布函数。采用与前面类似的迭代方法可求出在各 谷中的 )()()( 10 KKK iii 与 )()()( 10 KKK jjj 相应地求出各能谷中的 迁移率，若有两个能谷则 * j jj i ii meme 及及，设它们的载流子浓度分别为 ij nn ,， 总的有效迁移率为 j j ii eff n n n n ， ji nnn

41、 前面的讨论可知，某一散射机制的弛豫时间 是由散射几率决定的，而散射几率是由跃迁矩阵元 中的畸变势确定的。因此，讨论各种散射机制对迁移率的影响主要是要确定散射势场。 在晶体中，任何破坏严格周期势场的因素都可以引起载流子的散射。只有当散射中心所产生的附 加势场的线度具有电子波长的量级时才能有效地散射电子。室温下，电子的波长约为 100 埃的数 量级。电离杂质、中性杂质等对载流子都可以发生散射作用。此外，晶格振动也使严格的周期势 场发生偏离，从而使载流子发生散射。 5-3 电离杂质散射电离杂质散射 电离中心主要是指电离施主或受主中心及其他带电的中心。 在常温下，浅施主和浅受主杂质 大部分处于电离状

42、态，载流子在经过这些杂质中心时，将受到其库仑引力或斥力的作用，运动方 向发生偏折，和 粒子的卢瑟福散射相似。通常将电离杂质和其它荷电中心引起的散射统称为库 仑散射。 20 散射角（入射方向和散射方向之间的夹角）的大 小取决于入射电子的速度和瞄准距离（入射电子 轨道渐近线与带电中心之间的距离） 。速度愈小的 电子在电离杂质附近受库仑相互作用的时间愈 长，偏离入射方向愈大。瞄准距离反映了在中心 附近平均受到的静电相互作用的强弱。通常，杂 质中心质量比电子质量要大许多，因此在电子与 它们的碰撞过程中电离中心是不动的，属于无能 量交换的弹性散射。 该类散射中心的势场可写成： )722()( 2 r e

43、 r ez rV 式中 为介电常数，z为原子序数。指数项代表粒子被屏蔽的情况，即在一定的距离之外，库仑 势场基本被屏蔽掉，中心对载流子将失去散射作用。将)(rV 代入（2-62）及（2-61）: )622()( 2 ),( 2 KK EEKHKKKW )612()cos1)(,( )2( 1 )( 3 1 KdKKWK 可得到: )732( ) 2 (1ln2 2/3 0 2 23/1 2* 42 3 2 * E zeN vm ezN vm I I I （过程可参考 叶良修 半导体物理学 ） I 与电离杂质浓度大体成反比，和速度的三次方（能量的 3/2 次方成正比） 。在较高温度下，载 流子平

44、均动能较大， I 也较大，散射作用较弱。在较低温度下，载流子的平均动能较小，电离在较低温度下，载流子的平均动能较小，电离 杂质有较强的散射作用。这时载流子的迁移率往往由电离杂质散射决定。杂质有较强的散射作用。这时载流子的迁移率往往由电离杂质散射决定。 由于 II m e * 和, 2/3 T I 2/3 T I 。 5-4 中性杂质散射中性杂质散射 （K. Seeger, 半导体物理学半导体物理学 ） 中性杂质原子对电子的散射是一个很基本的过程，与气体中低能电子散射有相似的过程。对于气 体中低能电子散射，在量子力学里已有很详细的论述。在量子力学发展前，Ramsauer 已观测过这 种现象，Er

45、ginsoy 把该理论的处理结果转用到晶体中的中性杂质散射。采用“分波法”来处理： 21 电子的物质波被杂质原子的场所衍射，在外部它与未畸变的波函数平滑地连接，该波函数可看作 由无散射中心时平面波的分波函数和散射波组成， 根据量子力学的标准解，其平均微分散射截面： )772(/20 ka 该式表明平均微分散射截面与载流子的速度成反比。当电子能量杂质原子电离能的 25%时，该 式都成立。a 为 H 原子等效玻尔半径：)782()( 0 * mmaa sB 其中 为介电常数， B a为玻尔半径， * s m为有效质量 321 * mmmms ， 21,m m及 3 m为等能面 三个轴向的有效质量。

46、 而完全刚性的球或方形势阱的低能散射截面实际上与速度无关。 （这是因为)642()( 1 NvK c ，有： 0 * * 0 * 0 * 1 202020 )( mmm aN vNm mmm a k Nv mm a k NvK s B s B s B c 即 1 )( K 与速度无关，与温度无关。 ） 中性杂质散射迁移率：)792( 20 )( 20 0 * 0 * * Na emm aN mmm m e m e B s B s n 其中 n N为中性杂质浓度， （2-79）表明中性杂质散射与温度无关。 实际上该类散射总是伴随着其他的散射如电离杂质和晶格散射。 在很低温下， 声子大量减少， 载

47、流子冻结，使电离杂质散射与声子散射变得不重要，而中性杂质散射成为主要的。 （其实是比较 对应着某种散射机制的 值大小问题） *晶格散射 散射的强弱决定于电子和格波之间的相互作用的强弱，即电子和声子之间耦合的强弱。这种 耦合表现为，晶格振动产生某种附加的势，作用于载流子。附加的势包括形变势（畸变势）和极 化势。关于晶格散射，本章主要讨论声学波形变势散射、长光学波畸变势散射和长光学波极化势 散射等三种散射机制。 *声学波和光学波的区别在于： （1）在长波极限下， 在声学波中， 同一原胞中的两个不等价原子振动方向相同； 而在光学波中， 它们的振动方向相反。 （2）对于长声学波来说，声子能量通常很小，

48、约为几 meV；光学声子的能量较高，约为几十 meV，与电子能量同一数量级。 5-5 声学波形变势散射声学波形变势散射 22 *纵声学波和横声学波对散射的影响： 1） 对于纵声学波，原子位移引起原子分布的疏密变化，即引起原子间距的周期性变化。原子间 距的变化将改变能带的扩展情况，导致在波的传播方向上，带边的能量将发生周期性的起伏。 对于载流子，这相当于存在一附加的势。通常把这种和晶格形变相联系的附加势称为形变势。 纵声学波主要通过这种形变势和电子发生相互作用。在 Ge，Si 等非极性晶体中，纵声学波有 重要的散射作用。 2） 横声学波实际是一种切变波，不会引起原子的疏密变化。对于能带极值在 k = 0 的简单带，切 变并不产生形变势。但在多谷的能带中，切变也可产生形变势，对载流子也可以产生散射作 用。 下面讨论声学波形变势散射是弹性散射还是非弹性散射： 设在)(KE 能带上的K 态电子受到波矢为q 声学声子的散射，散射后的电子态为 K 。该声学声 子的色散关系为qvv vT