高等数学 级数的求和、函数

1、一、某些级数的部分和（小孩小孩小孩小孩，像下面的要证明的话像下面的要证明的话像下面的要证明的话像下面的要证明的话，就用数学归纳法就用数学归纳法就用数学归纳法就用数学归纳法！ ） ) 1( 2 1 321+=+nnnL ) 12)(1( 6 1 321 2222 +=+nnnnL 223333 ) 1( 4 1 321+=+nnnL ) 133)(12)(1( 30 1 321 24444 +=+nnnnnnL ) 122() 1( 12 1 321 2225555 +=+nnnnnL ) 1363)(12)(1( 42 1 321 346666 +=+nnnnnnnL )2463() 1( 2

2、4 1 321 234227777 +=+nnnnnnnL + =+ 为偶数 为奇数 n n nn n n , 2 ),1( 2 1 ) 1(321 1 L ) 1( 2 1 ) 1() 1(321 121222 +=+ nnn nn L + + =+ 为偶数 为奇数 nnn nnn n n ),32( 4 1 ,) 1)(12( 4 1 ) 1(321 2 2 31333 L ) 1)(1( 2 1 ) 1() 1(321 2141444 +=+ nnnnn nn L ) 1(2642+=+nnnL 2 ) 12(531nn=+L ) 14( 3 1 ) 12(531 22222 =+nnn

3、L ) 12() 12(531 223333 =+nnnL )2)(1( 3 1 ) 1(433221+=+nnnnnL )3)(2)(1( 4 1 )2)(1(543432321+=+nnnnnnnL )4)(3)(2)(1( 5 1 )3)(2)(1(54324321+=+nnnnnnnnnL )!1( )!1( 2 1 )() 1( 1 + + =+ = n kn k kjjj n j L )53)(2)(1( 12 1 ) 1( 1 2 +=+ = nnnnjj n j )32)(3)(2)(1( 10 1 )2() 1( 1 2 +=+ = nnnnnjjj n j ) 1( 4 1

4、 )( 22 1 22 = = nnjnj n j 4)2(2) 1(2 21 1 +=+ + = nnjj n n j j 11 1 1 ) 1( 1 43 1 32 1 21 1 + = + = + + + + n n nnn L )2)(1(2 1 4 1 )2)(1( 1 543 1 432 1 321 1 + = + + + + nnnnn L )3)(2)(1(3 1 18 1 )3)(2)(1( 1 6543 1 5432 1 4321 1 + = + + + + nnn nnnn L ) 1(2 1 2 1 4 3 1 1 ) 1)(1( 1 2 2 2 + = = + = n

5、njjj n j n j 12) 12)(12( 1 1 + = + = n n jj n j 13) 13)(23( 1 1 + = + = n n jj n j )32)(12(4 1 12 1 )32)(12)(12( 1 1 + = + = nnjjj n j )43)(13(6 1 24 1 )43)(13)(23( 1 1+ = + =nnjjj n j )2)(1(2 1 2 2 4 3 )2)(1( 12 1 + + + = + = nnnjjj j n j )3)(2)(1(3 4 )3)(2(2 3 3 1 36 29 )3)(1( 2 1 + + + = + + = nn

6、nnnnjjj j n j 2 1 2 2 )2)(1( 2 1 1 + = + = njj j n n j j )2(3 4) 1( 3 2 )2)(1( 4 1 1 2 + += + + = n n jj j n n j j n n j j njj j 2) 1( 1 1 2) 1( 2 1 + = + + = n n j j njj j 3) 1( 1 1 3) 1( 32 1 + = + + = + += + + + = + 11 1 1 11 1 ) 1(2 ) 1( 1 3 1 ) 1(2) 1(2 2) 1( nn n n j jjjj jj + + + = + + = b na

7、aa nbbb abjaaa jbbb n j ) 1() 1( )() 1( 1 1 ) 1() 1( ) 1() 1( 1 L L L L 二、乘法与因式分解公式（容易推导容易推导容易推导容易推导） abxbaxbxax+=+)()( 2 222 2)(bababa+= 32233 33)(babbaaba+= )( 22 bababa+= )( 2233 babababa+=m )()( 122321 为正整数nbabbabaababa nnnnnnn +=L )()( 122321 为偶数nbabbabaababa nnnnnnn +=L )()( 122321 为奇数nbabbaba

8、ababa nnnnnnn +=+L cabcabcbacba222)( 2222 +=+ )(3 222333 cabcabcbacbaabccba+=+ 三、有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式 )0, 1()1ln( 1 )0, 1(1 )0, 1(1 1 )0( 1 1 )0 为自然数，( ! 2 1 )0, 1( 1 1 )0(1 2 1 , 104 )1 ( sin 2 0 3 1 tan )0( 6 1 sin )0,( 2 1 1cos 22 2sin )0(1 sin cos 2 0tansin 1 1 2 3 3 2 + + + xxxx x x xxxe xxe x

9、x x x e xn n xx xe xx x e xxe xx xx x xxxx xxxx xxxx x x x x x x x xxxx x x x x x n x x x L 特别取)( 1 为自然数n n x =，有 nnn 11 1ln 1 1 + xxx xxxx xnxnx xx x x xx xxx n 四、组合公式 C n k C k n C k nk C n nk C CC CCC CC CC CC C n k n k n k n k n k n k n n k n k n k n k n k nj kj j k n k n nj n j k m n k m j n kj

10、 j k = + + = + = = =+ = = = + + + + = + + + + = + = 1 1 1 11 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 五、函数的概念与分类 函数与反函数 设D是给定的一个数集.若有两个变量x和y， 当变量x在D 中取某个特定值时，变量y依确定的关系f也有一个确定的值，则称y是x的函 数，f 称为称为称为称为 D 上的一个函数关系上的一个函数关系上的一个函数关系上的一个函数关系，记为记为记为记为 y=f(x)，x 称为自变量称为自变量称为自变量称为自变量，y 称为因变量称为因变量称为因变量称为因变量.当 x取遍D中各数，对应的y构成一数集R，D

11、称为定义域或自变数域，R称为值 域或因变数域.反过来， 若把y视为自变量，x视为因变量， 用y写出x的表达式： x=(y)，则称y=f(x)与x=(y)互为反函数. 例如例如例如例如：y = x + sin(x+3) 实变函数与复变函数 当自变数域为实数域时，函数称为实变函数.当自变 数域为复数域时，函数称为复变函数. 一元函数与多元函数 只有一个自变量的函数称为一元函数.有两个或两个 以上自变量的函数称为多元函数. 显函数与隐函数 因变量可以由自变量用数学式子直接表示出来的函数称 为显函数. 例如例如例如例如：y = x + 3, 这就叫显式表示这就叫显式表示这就叫显式表示这就叫显式表示，显

12、函数显函数显函数显函数 若函数关系包含在一个方程式或一组方程式中， 自变量与因变量无明显区分， 则称为隐函数. 例如例如例如例如：sin(x) + tg(2y) = 5, 这就叫隐式表示这就叫隐式表示这就叫隐式表示这就叫隐式表示，隐函数隐函数隐函数隐函数 简单函数与复合函数 若y是u的函数y=f(u)， 而u又是x的函数，u=(x)， 则y称为x的复合函数，u称为中间变量，记作y=f(x)，无中间变量的函数称 为简单函数. 例如例如例如例如：y = sinexp(cos(x+2) 有界函数与无界函数 若存在两个数m, M(mM)，使mf(x)M，对定义域 上的任意x都成立，则称f(x)为定义域

13、上的有界函数，m为其下界，M为其上界. 若这样的数m和M至少有一个不存在，则称f(x)为定义域上的无界函数. 例如例如例如例如：sin(x)就是有界函数就是有界函数就是有界函数就是有界函数，-1，1 单调函数与非单调函数 若对于区间a, b中的任意x1x2有f(x1)f(x2)或 f(x1)f(x2)， 则称f(x)为a, b中的递增函数(或递减函数).递增函数和递减函数通称 为单调函数.不是递增(或递减)的函数称为非单调函数. 换句话说换句话说换句话说换句话说：对于区间对于区间对于区间对于区间a, b，f(x)0，则为单调递增函数则为单调递增函数则为单调递增函数则为单调递增函数；而而而而 f

14、(x)1时，越大曲线 上升越快. 当为偶数，函数为偶函数，在区间(0,)中为递 增函数，在区间(-,0)中为递减函数. 当为奇数，函数为奇函数和递增函数. 曲线通过点(1,1). 当为负偶数，函数为偶函数，在区间(-,0)中 为递增函数，在区间(0, )中为递减函数. 当为负奇数，函数为奇函数和递减函数. 方程与图形 特 征 指数函数 曲线与 y 轴相交于点 A(0,1). 渐近线为 y=0. 曲线与 x 轴相交于点 A(1,0). 渐近线为 x=0. 三角函数的图形与特征 标准正弦曲线 周期：2=T 与x轴交点（同拐点） ： L, 2, 1, 0),0 ,(=kkBk 极值点（极大点或极小点

15、） ： L, 2, 1, 0,) 1( ,) 2 1 (= +kkA k k 余弦曲线 周期：2=T 与x轴交点（同拐点） ：L, 2, 1, 0,0 ,) 2 1 (= +kkBk 极值点：L, 2, 1, 0),) 1( ,(=kkA k k 一般正弦曲线 )sin( 0 +=xAy 周期： 2 =T 式中A0为振幅，为角频率， 0 为初相 与x轴交点（同拐点） ： L, 2, 1, 0,0 , 0 = k k Bk 极值点： ,) 1( , ) 2 1 ( 0 + A k A k k L, 2, 1, 0=k 同时，)cos( 1 +=xAy 也属于一般正弦曲 它是将标准正弦曲线在 y

16、轴方向上伸 线(设 2 10 +=，可化为) ) 2 sin( 1 +xA 长 A 倍，在 x 轴方向上压缩倍，并 向左平移 0 一段距离而得到. 正切曲线 周期：=T 与x轴交点（同拐点） ： L, 2, 1, 0),0 ,(=kkAk， 该点切线斜率为1. 渐近线：) 2 1 ( += kx 余切曲线 周期：=T 与x轴交点（同拐点） ： L, 2, 1, 0,0 ,) 2 1 (= +kkAk， 该点切线斜率为1. 渐近线：kx = y=tan x 正割曲线 周 期：2=T 极大点：) 1,) 12(+kAk 极小点： L, 2, 1, 0),1 ,2(=kkBk 渐近线：) 2 1 (

17、 += kx 余割曲线 周 期：2=T 极大点： +1,) 2 3 2(kAk 极小点： +1 ,) 2 1 2(kBk L, 2, 1, 0=k 渐近线：kx = 反三角函数的图形与特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点（同曲线对称中心） ： 拐点（同曲线对称中心） ： )0 , 0(O，该点切线斜率为1 ) 2 , 0( A，该点切线斜率为1 反正切曲线 反余切曲线 拐点（同曲线对称中心） ： 拐点： )0 , 0(O，该点切线斜率为1 ) 2 , 0( A，该点切线斜率为1 渐进线： 2 =y 曲线对称中心：) 2 , 0( A 渐近线：=yy, 0 反正割曲线 反余割曲线 顶点：), 1(

18、),0 , 1 (BA 顶点：) 2 , 1(), 2 , 1 ( BA 渐近线： 2 =y 渐近线：0=y 六、双曲函数 1. 双曲函数的定义、图形与特征 双曲函数定义 函数 双曲正弦 sh x 双曲余弦 ch x 双曲正切 th x 双曲余切 cth x 双曲正割 sech x 双曲余割 csch x 定义 2 xx ee 2 xx ee + xx xx ee ee x x + = ch sh xx xx ee ee x x + = sh ch xx ee x + = 2 ch 1 xx ee x = 2 sh 1 双曲函数的图形与特征 双曲正弦曲线 双曲余弦曲线 xysh= xych=

19、曲线关于原点对称. 曲线关于y轴对称. 拐点（同曲线对称中心） ： 顶点 （同极小值点） ：) 1 , 0(A )0 , 0(O，该点切线斜率为1 双曲正切曲线 双曲余切曲线 xyth= xycth= 曲线关于原点对称. 曲线关于原点对称. 拐点（同曲线对称中心） ： 不连续点：0=x )0 , 0(O，该点切线斜率为1 渐近线：1, 0=yx 渐近线：1=y 双曲正割曲线 双曲余割曲线 xysech= xycsch= 曲线关于y轴对称. 曲线关于原点对称. 顶点（同极大点） ：) 1 , 0(A 不连续点：0=x 拐点： 2 2 , 2 2 thAr B 渐近线：0, 0=yx 2 2 ,

20、2 2 thArC 渐近线：0=y 1cschcth, 1thsech, 1shch 1cthth,cth sh ch ,th ch sh 222222 =+= = xxxxxx xxx x x x x x 双曲函数基本公式 和差的双曲函数 yx yx yx yx yx yx yxyxyx yxyxyx cthcth cthcth1 )cth( thth1 thth )th( shshchch)ch( shchchsh)sh( = = = = 双曲函数的和差 yx yx yx yx yx yx yxyx yx yxyx yx yxyx yx shsh )sh( cthcth chch )sh(

21、 thth 2 sh 2 sh2chch 2 ch 2 ch2chch 2 ch 2 sh2shsh = = + = + =+ = m 倍 元 公 式 x x x x x x xxx xxx xxx xxx cth2 cth1 2cth th1 th2 2th ch3ch43ch chsh2ch sh4sh33sh chsh22sh 2 2 3 22 3 + = + = = += += = 半 元 公 式 x x x xx x x x xx xx x x xx sh 1ch 1ch sh 2 cth 1ch sh sh 1ch 2 th 2 1ch 2 ch , 0 , 0 2 1ch 2 sh + = = + = = + = = 取负号 取正号 反双曲函数的定义及其对数表达式 函 数 记 号 对数表达式 反双曲正弦 若 x = sh y, 则 y = Ar sh x )1ln( 2 +xx 反双曲余弦 若 x = ch y, 则 y = Ar ch x ) 1()1ln( 2 +xxx 反双曲正切 若 x = th y, 则 y = Ar th x ) 1( 1 1 ln 2 1 + x x x 反双曲正割 若 x = sech y, 则 y = Ar sech x ) 10( 11 11 ln 2 1 2 2 + x x x 反双曲余割