01曲线的参数方程.ppt

1、参数方程,曲线的方程的概念 某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： 1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解； 2.以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程。,参数方程的引入,这三个方程都是和x,y有关的方程；前两个方程是直接给出的关于x和y之间的方程，后一个曲线上的点的坐标之间的关系不是直接的，而是通过第三个变量间接地联系起来，也就是间接给出x和y之间的关系式。,上述方程的共同特点是： 方程直接表示了曲线上任一点 x, y 之间的关系,参数方程的定义,一般地,在给定的直角坐标系中,如果曲线上任意,一点P的坐标x,y都是某个变数t的函数:,

2、x=f(t),并且对于的每一个t允许值,由方程组所确,y=g(t),定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组就叫,做这条曲线的参数方程，联系之间x,y关系的变数,t,叫做参变数，简称参数。,圆的参数方程,1、圆心在原点，半径为R的圆的参数方程,P（x,y),分析解答：设P(x，y)是圆上任意一点，根据三角函数的定义，它的横纵坐标可分别用R和参数 表示。x=Rcos,y=Rsin 这里的参数是圆上的点从P0开始按逆时针方向运动到点P过程中的旋转角。,P0,圆的参数方程,如果点P在圆上作匀角速度的运动，由匀角速度公式= t可得：,说明：这两个方程都表示以原点为圆心，以R为半径的圆，但一个是以旋

3、转角为参数，另一个是以时间为参数；所以同一曲线，由于选取的参数不同，参数方程可以有不同的形式。,圆的参数方程,2、圆心在C(a，b)，半径为R的圆的参数方程,分析：根据坐标平移，把原点移到C(a，b) ，则在XOY中，此圆可表示成： ，再利用平移 公式 可得在XOY中此圆的参数 方程：,例题,说明：参数方程的本质是将曲线上任意一点P（x,y)的坐标表示成参数的函数，而定义域是函数的要素之一，定义域对函数的值域有重要的制约作用。 因此，（1）题说明了要重视参数方程中对参数的限制条件；（2）题说明如果消去参数后得到的普通方程形式相同，且方程中x,y的取值范围也相同，那么这两个参数方程表示的是同一曲

4、线。,例题,例题,曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的函数,并且对于t 的每一个允许值，由方程组 (1) 确定的点M( x, y )，都在这条曲线上，那么方程组 (1) 就叫做这条曲线的参数方程。,(1),例1 、 线段|AB|上有一定点P，|AP|=b, |BP|=a,点A在x轴的正半轴上移动，点B在y轴的正半轴上移动，若|AB|=1，求点P的轨迹方程。,解：设BAO为，点P(x,y), 则：,(为辅助变数，间接地表示x,y之间的关系.),例2 设炮弹的发射角为 ,发射的初速度为v0,求弹道曲线的方程（不计空气阻力）,解：取炮口为原点，水

5、平方向为x轴，建立直角坐标系，设炮弹发射后，经过时刻 t 的位置在点M ( x, y )，则：,例3 以原点为圆心,分别以a、b (ab)为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求:当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。,直线、圆、椭圆的参数方程 1、直线的参数方程,2、圆的参数方程,3、椭圆的参数方程,解:设点M的坐标是(x,y),是以为Ox始边,OA为终边的正角,取为参数,那么,x=ON=|OA|cos,y=NM=|OB|sin,即,这就是所求点M的轨迹的参数方程。,例4 已知参数方程,判断点A 和点B 是否在方程的曲线上。,解：将A、B两点的坐标分别代入方程，得,在0，2 内，方程组的解是 ， 而方程组无解，点A在方程的曲线上，点B不在方程的曲线上.,课堂小结： 本节课进一步深入地研究曲线的方程，引入了