高三数学第二轮复习不等式与线性规划

1、,热点考向1 不等式的概念与性质 【例1】(2011陕西高考)设0ab，则下列不等式中正确的是( ) 【解题指导】利用基本不等式可判断 的关系，利用 不等式的性质可判断 和a、b的关系.,【规范解答】选B.0ab, a2ab,a+b2b, ,不等式的概念与性质应用中应注意的问题 (1)要弄清每一个不等式性质的条件和结论，注意条件的放宽 对结论的影响. (2)判断不等式是否成立时，常利用不等式的性质、基本不等 式、函数的单调性等知识和特殊值法. 对于性质“如果ab0,则anbn或 ”,若n2 且为奇数，则有abanbn,ab,1.若a0,b0,则下列不等式中不正确的是( ) 【解析】选D.特值法

2、,令a=1,b=2,知 错误.,2.设x,y为实数，满足3xy28, 则 的最大值 是_. 【解析】3xy28, 得 即 的最大值是27. 答案：27,热点考向2 不等式的解法 【例2】(1)(2011辽宁高考)设函数 则满足f(x)2的x的取值范围是( ) (A)-1,2 (B)0,2 (C)1,+) (D)0,+) (2)(2011湖南高考)已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3，若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( ) (A) (B) (C)1,3 (D)(1,3),【解题指导】(1)分x1和x1两种情况求解. (2)解答本题的关键是根据g(b)和f(a)的值相同列

3、不等式. 【规范解答】(1)选D.当x1时，由21-x2,得1-x1, x0,0 x1; 当x1时，由1-log2x2,得log2x-1, x1. 综上知x0,故选D.,(2)选B.函数f(x)的值域是(-1,+), 要使得有f(a)=g(b),则有g(b)=-b2+4b-3-1. 即b2-4b+20,解得,【变式备选】本例(1)中，条件不变，若f(a2)f(2a+3), 则a的取值范围是_. 【解析】当x1时， 即f(x)在(-,1上为减函数， 当x1时，f(x)=1-log2x在(1,+)上是减函数， 且当x=1时，21-1=1-log21,故f(x)在R上为减函数， 由f(a2)f(2a

4、+3)得a22a+3,即a2-2a-30, 解得a3或a-1. 答案：(-,-1)(3,+),几类不等式的解题指导思想： (1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2+bx+c0(a0)，再求相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集. (2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.,(3)解含“f”的不等式，首先要确定f(x)的单调性，然后根据单调性转化为不等式求解. (4)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类,关键是找到对参数进行讨论的原因.

5、确定好分类标准,层次清晰地求解. 对于不等式ax2+bx+c0(或0)，在a不确定时，应分a0,a=0和a0三种情况讨论.,1.已知函数 则满足不等式f(1-x2)f(2x) 的x的取值范围是_. 【解析】当x0时，f(x)=x2+1是增函数，且f(x)1，故不 等式f(1-x2)f(2x)可转化为 解得 或-1x0, 所求x的取值范围是 答案：,2.已知函数 则不等式x+(x+1)f(x-1)3的 解集是_. 【解析】(1)当x-10即x1时,原不等式化为 解得-3x1. (2)当x-10即x1时,原不等式化为 解得x1. 综上知x-3. 答案：x|x-3,热点考向3 利用基本不等式求函数最

6、值 【例3】(1)(2011浙江高考)设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1, 则2x+y的最大值是_. (2)已知x0,y0,且满足 则xy的最大值为_. 【解题指导】(1)根据4x2+y2=(2x+y)2-4xy,2xy 求解. (2)根据 求解.,【规范解答】(1)4x2+y2+xy=1, 答案： (2)由 得xy3, 当 y=2时，xy取最大值3. 答案：3,利用基本不等式求函数最值应注意的问题： (1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值.,(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑” 等技巧，使其满足

7、基本不等式中“正”(即条件要求中字母 为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等 号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.解题时应 根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条 件. 在使用基本不等式时，一般要把求最值的函数或代数 式化为 的形式，常用的方法是变量分离和配凑法.,1.设x,yR，a1,b1，若ax=by=4, 则 的最大值为_. 【解析】由ax=by=4得 当a=b= 即x=y=4时， 有最大值 答案：,2.已知x0,y0，xy=x+2y，若xym-2恒成立，则实数m的 最大值是_. 【解析】 (舍去), xy8,当且仅当x=4,y=2时取等号.

8、由题意知m-28,即m10. 答案：10,热点考向4 线性规划问题 【例4】（2011福建高考）已知O是坐标原点，点A（-1,1）, 若点M（x,y）为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是( ) (A)-1,0 (B)0,1 (C)0,2 (D)-1,2,【解题指导】结合约束条件画出可行域，令z= =-x+y作为目标函数，数形结合求值域. 【规范解答】选C.由题意,不等式组 表示的平面区 域如图阴影部分所示：,由数量积的坐标运算易得： =-x+y,令-x+y=z，即y=x+z,易知目标函数y=x+z过点B(1,1)时，zmin=0,目标函数y=x+z过点C(0,2)时，zmax=2,故 的

9、取值范围是0,2.,1.线性规划问题的三种题型： 一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解或可行域确定参数的值或取值范围. 2.解答线性规划问题的步骤及应注意的问题： 解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.,1.画可行域时应注意区域是否包含边界. 2.对目标函数z=Ax+By中的B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析.,1.某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运,购买总量不超过50辆,其中购买A型汽车需13万元/辆,购买B

10、型汽车需8万元/辆,假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元/辆,B型汽车的纯利润为1.5万元/辆,为使该公司第一年纯利润最大,则需安排购买( ) (A)8辆A型车、42辆B型车 (B)9辆A型车、41辆B型车 (C)11辆A型车、39辆B型车 (D)10辆A型车、40辆B型车,【解析】选D.设购买A型车x辆,B型车y辆,则有 目标函数为 可行域如图所示(阴影中整数点部分)： 由 即A(10,40). 当目标函数经过点A(10,40)时,有最大值,故选D.,2.当实数x满足约束条件 (其中k为小于零的常数) 时, 的最小值为2,则实数k的值是_. 【解析】作出可行域 和直线y=2x-1,如图.,

11、故直线2x+y+k=0经过直线y=x和y=2x-1的交点时符合题意. 由 即点(1,1)在直线2x+y+k=0上,代入方程得k=-3. 答案：-3,转化思想解答不等式恒成立问题 求解不等式恒成立问题的常用方法： (1)分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解. (2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解. (3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关系求解.,解答过程中应注意的问题： (1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响. (2)应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函数. (3)应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低点处函数值的大小关系.,【典例】设函数f(x)= 对任意x1,+), f(mx)+mf(x)0恒成立，则实数m的取值范围是_. 【解题指导】转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等式，最后分类讨论. 【规范解答】 x1,+), f(mx)+mf(x)0, 即mx2m2x2-(1+m2)0.,由f(