第一章 质点运动学

1、,第一章 质点运动学,力学,运动学,动力学,牛顿定律,守恒定律,动量守恒定律,机械能守恒定律,角动量守恒定律,位移,速度,加速度,教学基本要求,一 掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量 . 理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性 .,二 理解运动方程的物理意义及作用 . 掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法 .,三 能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度 .,四 理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质点相对运动问题 .,质点是经

2、过科学抽象而形成的理想化的物理模型 . 目的是为了突出研究对象的主要性质 , 暂不考虑一些次要的因素 。,质点：如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）来处理 .,1.1 质点运动的描述,1.1.1 质点、参考系和坐标系、时间和时刻,参照系和坐标系,为了描述一个物体的机械运动，必须选另一个物体作参照物，被选作参照的物体称为参照系。,同一物体的运动，由于我们选取的参照物不同，对它的运动的描述就不同，这称为运动描述的相对性。,圆柱坐标系,坐标变量变换关系：,球坐标系,一、位置矢量,1、要描写物体的

3、位置必须一个矢量.,位矢随质点运动而变化 位矢与时间有关 位矢与坐标系有关,1.1.2 位置矢量、运动方程、位移,2、位矢的分量表示：,此三个角满足关系：,二、运动方程和轨道方程,从中消去参数 得轨道方程,例：,运动方程：,三、位移矢量与路程,1、要描写位置的变化必须一个矢量； 2、位移矢量的定义： 由质点初始位置指向末位置的矢量, 叫位移矢量, 用r表示。,AB位移：,其大小为AB的距离,方向则从A指向B,在直角坐标系中：,3 、位移的大小：,4、路程（ ）: 质点实际运动轨迹的长度.,A) 确切反映物体在空间位置的变化, 与路径无关，只决定于质点的始末位置.,B）反映了运动的矢量性和叠加性

4、.,位移与路程,（B） 一般情况, 位移 大小不等于路程.,（D）位移是矢量, 路程是标量.,（C）什么情况 ？,不改变方向的直线运动; 当 时 .,A,B,描写物体运动快慢和方向的物理量。,在t时间间隔内的平均速度定义为：物体的位移与发生这段位移所用的时间之比。,大小：,1.平均速度,1.1.3 速度与速率,对于变速曲线运动的物体，速度大小与方向都在随时间改变，用平均速度并不能精确地描写质点瞬时的运动情况。,.无限分割路径；,.以直代曲；,以不变代变；用平均速度代替变速度；,A,B,2.速度,处理方法：,速度,质点在某时刻的瞬时速度等于在该时刻位置矢量对时间的一阶导数。,速度单位：米/秒，m

5、/s,方向：沿运动轨迹的切线并指向质点运动的方向。,在直角坐标系中，,速度大小：,速度,A,大小：,3.速率,平均速率：路程s和走过这段路程所用的时间t的比值。,瞬时速率：,瞬时速率是路程对时间的变化率。,1、平均加速度,与 同方向 .,（反映速度变化快慢的物理量）,单位时间内的速度增 量即平均加速度,2、(瞬时)加速度,1.1.4 加速度,加速度大小,加速度,加速度大小,质点作三维运动时加速度为,质点作二维运动时,【例1-1】一质点的运动方程为 ,其中x和y的单位是m，t的单位是s。试求： (1)运动轨迹； (2)第1秒内的位移； (3)t=0s 和 t=1s两个时刻质点的速度和加速度。,质

6、点运动学两类基本问题,一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；,二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置, 可求质点速度及其运动方程 .,1.2 直线运动,质点的运动方程、位移、速度、加速度分别为：,若质点作匀速率直线运动( )，则运动方程为,若质点作匀变速率直线运动( )，则运动方程为,【例1-3】如图所示，一个人在高为h的岸上以恒定速率 收绳拉小船靠岸，求小船运动至离岸 x 时的速度和加速度。,【例1-4】已知质点的加速度a=6-24t，而 t=0 时, x0=0, v0=3m/s. 求质点的运动方程。,【例1-6】设某质点沿 x 轴运动，在t=0时的速度为v0

7、, 其加速度与速度的大小成正比而方向相反，比例系数为一常数 k (k0)，试求速度随时间变化的关系式。,1.3 曲线运动,1.3.1 运动的分解,A,B,B球的平抛运动可分解为： 水平方向做匀速直线运动 竖直方向做自由落体运动,一个实际发生的运动可分解成几个各自独立进行的分运动，称为运动的分解。,平面曲线运动可分解为相互垂直方向上的两个直线运动. 空间上的曲线运动可以分解为三个相互正交的直线运动。,1.3.2 抛射体运动,抛射体轨道方程：,讨论：,(1) 水平射程 d ：,(2) 上升时间 t升 ：,(3) 上升的最高高度 ym ：,【例1-7】将一小球从坐标原点处以恒定的初速度 v0抛出，当

8、倾角为多大时，可使小球在 处的y坐标(高度)最大？此最大高度 ym 是多少？,1、平面极坐标,设一质点在 平面内 运动，某时刻它位于点 A .矢 径 与 轴之间的夹角 为 . 于是质点在点 A 的位 置可由 来确定 .,以 为坐标的参考系为平面极坐标系 .,1.3.3 圆周运动、法向加速度和切向加速度,2、圆周运动的角速度和角加速度,角速度,角坐标,角加速度,线速 率,3、圆周运动的切向加速度和法向加速度,质点作变速率圆周运动时,切向加速度,切向单位矢量的时间变化率,速度,加速度,切向加速度 (速度大小变化引起),法向加速度 (速度方向变化引起),圆周运动加速度,切向加速度,减小,增大,4、匀

9、速率圆周运动和匀变速率圆周运动,(1)匀速率圆周运动：速率 和角速度 都为常量 .,(2) 匀变速率圆周运动,如 时,常量,【例1-8】质点圆周运动的半径为R，其加速度与速度之间的的夹角恒定，初速为v0，求质点的速度v(t).,一般曲线运动（自然坐标）,其中 曲率半径 .,1.3.4 一般曲线运动,【例1-9】在高处将小球以水平速度v0抛出，求小球在任一时刻 t 的速度、切向加速度和法向加速度的大小。,1、时间与空间,在两个相对作直线运动的参考系中， 时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的， 与参考系无关， 时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础 .,A,B,小车以较低的速度 沿水平

10、轨道先后通过点 A 和点 B . 地面上人测得车通过 A、B 两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同 .,五、相对运动,物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系,2、相对运动,速度变换,位移关系,质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移,S 系 系,伽利略速度变换,当 接近光速时，伽利略速度变换不成立！,加速度关系,绝对速度,相对速度,牵连速度,即,已知雨滴垂直下落，v雨-地=18 ms -1；车向东行驶v车-地= 9 ms-1 。求：雨滴相对于车的速度。,解 建立坐标系,例题,返回,附录：,一、矢量代数,二、三种常用的正交坐标系,A.1 矢量代数,一、矢量和标量的定义,1.标量：只有大小

11、，没有方向的物理量。,矢量表示为：,所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。,2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、电场 等,如：温度 T、长度 L 等,例：在直角坐标系中, x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？,图示法：,力的图示法：,二、矢量的加法和减法,1.加法: 服从平行四边形规则。,a.满足交换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量表示:,其中：,矢量：,模的计算：,单位矢量：,方向角与方向余弦：,在直角坐

12、标系中三个矢量加法运算：,2.减法：换成加法运算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,三、矢量的乘法：,1、标量与矢量的乘积：,2、矢量与矢量乘积分两种定义：,a. 标量积（点积）：,在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即,有两矢量点积：,结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。,b.矢量积（叉积）：,含义： 两矢量叉积，结

13、果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,C. 三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量，标量与矢量相乘。,标量，标量三重积。,矢量，矢量三重积。,标量三重积,法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。,定义：,含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。,注意：先后轮换次序。,推论：三个非零矢量共面的条件：,在直角坐标系中：,矢量三重积：,例2：,解：,则：,设,例3： 已知,求：确定垂直于 、 所在平面的单位矢量。,其中：k 为任意实数。,C,A,B

14、,解：在通过A点和B点的直线方程上， 任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则,一、直角坐标系（x,y,z）,A.2 三种常用的正交坐标系,三个坐标变量的变化范围：,在直角坐标系下的任一矢量 表示:,两个矢量 和 的和等于对应分量之和：,两个矢量 和 的点积为：,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,矢量微分元：线元、面元、体元,例：,其中： 和 称为微分元。,在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,二、 圆柱坐标系,坐标变量变换关系：,两坐标单位矢量变换关系：,注意： 不是常矢量！,在圆柱坐标系下的任一矢量 表示:,

15、在圆柱坐标系中同一点的两个矢量 和 的和等于对应分量之和：,在圆柱坐标系中同一点的两个矢量 和 的点积为：,在圆柱坐标系中，同一点的两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,度量系数,沿三个方向上的长度元为：,三、球坐标系,此三个单位矢量不是常矢量,坐标变量变换关系：,两坐标单位矢量变换关系：,在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,面元：,体元：,沿三个方向上的长度元为：,度量系数：,线元：,在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元、面元和体元。,体元：,线元：,面元：,正交曲线坐标系：,例题：已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动, 质点只受到指向原点的引力作用, 引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比,即 f = -k/x2, k 是比例常数。 设质点在 x = A 时的速度为零, 求 x = A / 2 处的速度大小。,解:小球受力如图,根据牛顿第二定律:,例题：