高等数学微积分教程第二章 导数与微分

1、导数的概念 初等函数的导数 高阶导数 函数的微分,导数与微分,例1 . 瞬时速度问题,设有一质点作变速直线运动, 其运动方程为,导数的概念,一. 导数问题举例,时 刻瞬时速度,变化不大, 所以质点在,在t 时间内速度,2.若质点作变速直线运动,1. 若质点作匀速直线运动,由于速度是连续变化的,可以近似地用平均速度,代替,瞬时速度,分析：,的极限即为,越小, 近似的程度越好,称为曲线 L 上点 P 处的切线,例2: 曲线的切线斜率,切线的一般定义:,设 P 是曲线 L 上的一个定点,Q 是曲线 L 上的另一个点,过点 P 与点 Q 作一条直线 PQ,称 PQ 为曲线 L 的 割线,当点 Q 沿着

2、曲线 L 趋向定点 P 时,割线 PQ 的极限位置 PT,L,P,Q,T,设曲线 L 的方程为 y=f(x) ,x 越小,Q 越接近于 P ,PQ 越接近于 PT,切线的倾角为 ,则有:,分析: 如图, 割线的倾角为 ,求此曲线上点 P 处的切线斜率 k.,曲线在 P 处的切线斜率为:,当自变量的增量趋于 0 时的极限.,即:,函数的增量与自变量增量之比,二. 导数的定义,相应地函数 y取得增量 y=f( x0+ x ) -f( x0 )。,(1),并称这个极限为 f(x) 在点 x0 处的导数,如果,1. 导数定义:,设函数 f(x) 在 x0 的某个邻域内有定义,在 x0处取得增 量x 时

3、,当自变量 x,存在,则称函数 y= f(x)在 x0 处可导,特别的, 若,则称 y=f(x) 在 x0 处的导数为无穷大。,若极限(1) 不存在,记为:,则称 y=f(x) 在 x0 处不可导。,若设 x= x0+x,当 x0时, x x0 .,可得导数的另一种定义形式,2. 左右导数定义,设函数 f(x) 在点 x0 左侧 ( x0 , x0 ,若:,则称函数 f(x) 在点 x0 左(右)方可导,x0 左(右)导数. 记为:,并称此极限值为函数 f(x) 在点,f(x) 在点 x0 可导的充要条件是:,或右侧x0 , x0 )有定义,3. f(x) 在区间上可导的定义,4. 导函数定义

4、,若 f(x) 在（a , b) 内可导,若 f(x) 在区间（a , b) 内每一点都可导,称它为 f(x) 的导函数。,若 f(x) 在区间 上可导,都有一个导数值,与之对应,则称 f(x) 在（a , b) 内可导。,记为：,注:,分三步骤: 求增量; 算比值; 取极限。,三. 求导数举例,例1. 求 f (x) = c ( c 为常数) 的导数.,解:,例2. 求 函数 f (x) = x n (n 为正整数),一般地幂函数 y = xu ( u 为常数 )的导数为,同理,解：,（以后给出证明）,在 x = a 处的导数。,如：,例3：求函数 y = sin x 的导数,解：,例4：求

5、函数f(x)=ax (a0, a1)的导数,则,令,解：,四. 曲线的切线与法线,1. 导数的几何意义,在点,处的导数,在几何上表示曲线,在点,处的切线的斜率,即,2. 切线与法线方程,如果函数,特殊情况,若,则切线方程为,法线方程为,若,法线方程为,则切线方程为,例1. 过点 ( 3 , 0 ) 作曲线,求法线方程,的法线,解: 设切点为,则 法线斜率为,法线方程为,因 ( 3 , 0 ) 在法线上,又因 切点在曲线上,由 (1) (2) 得:,因为,所以,法线方程,五. 函数的可导性与连续的关系,定理：函数 y = f(x) 在 x0 处可导，,由极限与无穷小的关系定理,所以 f(x) 在

6、 x0 处连续,注：反之不一定成立,证:,则 f(x) 在 x0 处必连续；,反之不一定成立。,例1. 证明: f (x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导.,证明: 显然 f (x) = |x|在 x = 0 处连续.,f(x) 在 x=0 处不可导,在 x = 0 处连续，但不可导。,证明：显然 f（x）在 x = 0 处连续。,切线存在为 y 轴,称f（x）在 x = 0 处的导数为 ,例2 ：证明:,但不可导。,例3:试确定常数 a , b 之值, 使函数,在 x=0 处可导。,解：f (x) 在 x=0 处可导的必要条件是 f (x) 在 x=0 处连续,即,故 当 a+b