高等数学上复习课件

1、1,3 极限的四则运算法则,第一章 函数与极限,2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理,函数的极限,的充分必要条件是,例如，,于是,不存在.,因,第1页，二大题的1小题,课本19页,3,小 结,课本25页,4,4 两个重要极限,第2页，三大题的1小题，2小题,5,定义,记作,记作,是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;,低阶的无穷小;,同阶无穷小;,等价无穷小,5 无穷小 无穷小的阶 等价无穷小代换,6,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小量的性质,有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量.,定理 若,为常数, 则,无穷小量与无穷大量,第1页，一大题的2小题,第2页，二大题的1小题,

2、7,课本35页,8,6 函数的连续性与间断点,出现如下三种情形之一:,无定义;,不存在;,间断点.,第1页，一大题的1小题,第1页，二大题的1小题,9,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页，五大题的（1）小题,10,三、 导数的几何意义,切线方程:,法线方程:,第5页，一大题的3小题,11,函数的求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、初等函数的求导问题,1. 常数和基本初等函数的导数,课本62页,12,一、四则运算求导法则,定理1.,的和、,差、,积、,商 (除分母,

3、为 0的点外) 都在点 x 可导,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,定理3,链导法则,三、复合函数的求导法则,可导,且其导数为,或,因变量对自变量求导,等于因变量对中间,变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,14,第2页，三大题的3，4小题,第6页，三大题的3，4, 5小题,15,含抽象函数时的导数运算,解,问题 1. 若,存在 , 如何求,的导数?,由复合函数求导法则应有,所以,设,函数的求导法则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,没有给出具体对应关系的函数,抽象函数,第10页，三大题的4小题,16,一、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,函数为隐函数 .,则

4、称此,隐函数求导方法:,两边对 x 求导,(含导数 的方程),机动 目录 上页 下页 返回 结束,课本66页,17,3.解,把方程两边分别对x求导,得,第2页，三大题的4小题,即：,解得：,第6页，三大题的4小题,18,4设函数 由方程 确定，求,1设函数 由方程 确定，求,2求由方程 所确定的隐函数的导数,3求由方程 所确定的隐函数的导数,19,3. 对数求导法,方 法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的,求导法求出导数.,-对数求导法,例,解,等式两边取对数得,20,二、由参数方程所确定的函数的导数,称此为由参数方程所确定的函数.,由复合函数及反函数的求导法则得,21,机动 目录 上页

5、下页 返回 结束,解,隐函数与参数方程求导法,第6页，三大题的5小题,22,第2页，三大题的5小题,解,23,定义,2. 微分的定义,如果,则称函数,可微(differentiable),函数的微分,记作,微分(differential),并称,为函数,24,求法,1. 基本微分公式,三、微分公式与运算法则,函数的微分,计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,25,2. 运算法则,函数的微分,26,第2页，三大题的6小题,27,微分中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,罗尔定理,(1),(2),(3),使得,第三章 微分中值定理与导数的应用,第12页，五大题,28,微分中值定理,机动 目

6、录 上页 下页 返回 结束,4.不求函数,断方程,有几个实根及其所在的区间.,的导数，判,解,在 内可导，,是多项式函数，,故,在区间,上满足罗尔定理的条件.,因此在区间,内至少存在一点,使得,使得,即,是,的一个实根.,又,为二次方程,最多有两个实根,恰有两个实根，,29,拉格朗日中值定理及其应用,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,即,微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,30,例3. 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页，五大题,31,证明：令,，显然 在 上满足拉格朗日中值,定理的条件，故,即,

7、下面要证,在区间 单减,当 时,故,即,第8页，五大题,32,定理1,2.利用洛必达法则求未定式的极限,33,定理1,单调增加;,单调减少.,3.判断函数的单调性，利用单调性证明不等式,第13页，二大题3小题,34,定理2,二阶导数,凹,(凸),4.判断函数图形的凹凸性，求拐点,35,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法:,或不存在,的一个拐点.,则曲线的凹凸性不变 .,在其两侧二阶导数不变号,函数的单调性与曲线的凹凸性,连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点,36,定理2(第一充分条件),则,为极大值,则,

8、不是极值.,(极小值);,5.求函数极值点和极值，,37,定理3(第二充分条件),证,极大值,(极小值).,因此,当,充分小时,由极限的保号性,可见,与,异号.,所以,第一充分条件,自己证极小值情形.,第13页，二大题1小题,第9页，二大题3小题,38,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),其中最大(小)者,求连续函数 f (x)在闭区间a, b上的最大(小),将闭区间a, b内所有驻点和导数不存在的点,区间端点的函数,就是 f (x) 在闭,(即为可能极值点)处的函数值和,值 f (a), f (b)比较,区间a, b上的最大(小)值.,二、最大值最小值问题,函数的极值与最值,值的方法

9、:,第1页，一大题4小题,39,求函数 在 上的最大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,解,因,驻点:,比较得:,因,最大值为,最小值为,值最小值.,函数的极值与最值,40,40,定义1,例,1. 原函数,则称,或,一个原函数.,或由,知,是,原函数.,也是,的原函数,其中,为任意常数.,如果在区间I上,对于可导函数,第1页，一大题4小题,41,积分变量,积分常数,被积函数,定义2,被积表达式,2. 不定积分,不定积分.,(1) 定义,全部原函数的一般表达式,称为函数f (x)的,记为,积分号,42,42,由不定积分的定义,结论,微分运算与求不定积分的运算是,如,(1),或,或,互逆的.

10、,二、不定积分的性质,第6页，二大题5小题,43,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,44,基本积分公式,(k是常数),说明：,课本119页,45,46,47,基本积分表(2),课本134页,48,希望自己添加!,49,分部积分公式,使用分部积分法的关键是正确地选取,(因为“幂三指”好积,把被积函数视为两个函数的乘积,按,“反对幂三指”的顺序,前者为,后者为,常用的方法:,自己简单.),“反对”的导数比它,50,一、定积分的

11、定义,设函数f (x)在a,b上有界,在a,b中任意插入,定义,若干个分点,把区间a,b分成n个小区间,各小区间长度依次为,在各小区间上任取,一点,作乘积,并作和,记,如果不论对,(1),(2),(3),(4),第五章 定积分,51,被积函数,被积表达式,记为,积分和,怎样的分法,也不论在小区间,上点,怎样的取法,只要当,和S总趋于确定的,极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间a,b上的,定积分.,积分下限,积分上限,积分变量,a,b积分区间,定理1 (原函数存在定理),从而,53,推论,?,54,3.牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法和分部积分法,定理2（牛顿-莱布尼茨公式）,如果,是连续

12、函数,的一个原函数,则,55,例,解,由图形可知,第15页，三大题10，11小题,56,为了方便起见, 规定:,对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式,57,证,因此,收敛,其值为,发散.,例 证明反常积分,*,课本166页例5-35,第1页，二大题1小题,58,机动 目录 上页 下页 返回 结束,X 型平面图形,所围图形的微元,和面积为：,由,定积分的应用,59,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Y 型平面图形,微元和面积为：,由,所围图形的,定积分的应用,60,当考虑连续曲线段,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一周围成的立体体积时,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,3. 旋转体的体积,有,有,定积分的应用,旋转,61,例 求由曲线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,所围图形绕 x,一周所成旋转体的体积.,轴旋转,定积分的应用,第4页，四大题,第8页，四大题,第12页，四大题,62,如果一阶微分方程,等式的每一边仅是一个变量的函数与这个,可分离变量的方程,或,可以写成,的形式,易于化为形式,特点,变量的微分之积.,两端